GO

et se présente pour se faire rembourser 48 semaines après le premifir dépôt ; quelle somme recevra-t-il ? Réponse: 194",90.

IV. — Un ouvrier place tous les dimanches, pendant un an, une somme de 6 fr. à la Caisse d'épargne ; à combien s'élève son avoir à la fin de l'année, capital et intérêts compris?

Réponse: 317",36.

V. — Le compte d'un déposant s'élève, à la fin de l'année, à 1 143'%50; s'il laisse écouler trois mois sans réclamer ses fonds, à combien son compte sera-t-il réduit après l'achat d'une rente de lu fr. au cours de 91^', 00 ? (V. Rentes )

VI. — Un petit marchand a déposé à la Caisse d'épargne, savoir :

120 fr. Il semaines après le commencement de l'année ;

130 5 — après le premier dépôt ;

100 3 — après celui-ci ;

Il a retiré 75 4 — après ;

11 a replacé 180 5 — —

Il a retiré 65 3 — après ce dépôt ;

11 a replacé 114 5 — après; et enfin 90 2 — —

On demande de faire son compte à la fin de l'année.

Réponse: 1 010'^13.

VII. — Si le marchand dont il vient d'être question ne se présente que trois mois après pour demander son remboursement, à combien son compte sera-t-il réduit, les 10 fr. de rentes 4 1/2 p. 100 ayant été achetés au cours de 92'',75"?

Réponse : srî'SSS.

VIII. — On suppose qu'un ouvrier dépose teus les dimanches 6 fr. à la Caisse d'épargne, mais qu'il retire ses fonds à la fin de chaque année pour les placer à 4 1/2 p. i 00 et à intérêts composés. On demande de quelle somme il pourra disposer au bout de 30 ans?

RépoJise : 19361'S2-2.

IV. — On suppose qu'un ménage d'ouvriers dépose tous les dimanches à la Caisse d'épargne, savoir : le mari 6 fr. et la femme 3 fr.,mais qu'ils retirent leurs fonds à la fin de chaque année pour les placer à 4 1/2 p. 100 et à intérêts composés. De quelle somme pourront-ils disposer au bout de 30 ans; et quelle rente 4 1/2 p. 100 pourront-ils acquérir avec cette somme . la rente étant supposé au pair ?

Réponse : 29 041'',83, qui permettraient d'acheter 1 SOo'^SS de rentes,

X. — Quelle somme faudrait-il placer tous les dimanches à la Caisse d'épargne pendant 30 ans pour que, en retirant ses fonds tous les ans, et en les plaçant à 4 1/.' p. 100 et à intérêts composés, on pût disposer au bout de ce temps d'un capital de 24 000fr. ?

Rép07ise : ""■,437... Il faudrait donc tâcher de déposer chaque dimanche 8 fr.

Dans ce cas le capital obtenu ne serait plus 24 000 fr., mais 25 Sli^/ob. [H. Sonnet.]

CALCUL

CALCUL ALGEBRIQUE, APPLIQUE AUX PRO- BLÈSIES D'ARITIIMÉ TIQUE ET DE GÉOMÉTRIE DE L'ENSEIG.NEMEAT PRIMAIRE. — Xous n'avoiis point à refaire ici le cours d'algèbre élémentaire à l'usage des écoles normales et supérieures, dont le plan et les développements essentiels sont résumés dans ce dictionnaire même avec une si grande autorité. — (V. Algèbre et Equations.)

Mais nous croyons devoir indiquer plus particulièrement les procédés pratiques par lesquels, même dans l'école primaire proprement dite et à plus forte raison dans les classes pour les adultes un peu avancés, dans les cours complémentaires, tels que ceux du volontariat, et dans la préparation pour l'admission aux écoles primaires supérieures), on pourra, on devra amener les élèves de plain-picd sur le terrain de l'algèbre et leur faire résoudre des problèmes par des équations sans leur laisser soupçonner qu'ils font autre chose que de l'arithmétique.

Nous supposons des élèves qui ne connaissent encore aucun des termes de la langue algébrique, et nous allons voir cominent peu à peu et sans passer par l'ensemble de l'enseignement méthodique ■qui est nécessaire au maître, on peut leur apprendre chemin faisant et les mots techniques et les règles dont ils auront à se servir.

Problème 1. — Nous prenons pour exemple un problème d'arithmétique comme en fait tous les jours un élève d'école primaire, un problème quelconque d'intérêt simple. L'élève sait la règle :

Pour trouver l'intérêt d'un capital, il faut multiplier le capital par le taux et par le nombre de jours et diviser le produit par 36 000.

Demandons-lui s'il n'y aurait pas moj'en d'écrire en abrégé cette longue phrase. Les mots multiplier, diviser, etc., peuvent être remplacés par les signes qui lui sont familiers X,.*, etc. Chacune des quantités qu'il doit passer en revue ne pourraitelle pas aussi être désignée abréviativement par la lettre initiale de son nom: l'intérêt par /, le capital par c, le taux par t, le nombre de jours par n ? La règle précédente peut donc se présenter ainsi.

. e-XtXn

Cette expression aussi claire que concise est appelée formule; elle montre enmême temps ce que c'est qu'une égalité. On indique à ce moment les dénominations de premier membre et de second membre données aux deux parties qui constituent l'égalité.

Maintenant sera-t-il besoin d'arrêter les élèves pour leur faire, avant de passer outre, l'exposé complet et théorique des propriétés d'une égalité ? Non, car ils les connaissent déjà implicitement par l'arithmétique; ils les appliqueront pour ainsi dire par intuition au fur et à mesure qu'elles vont se présenter: on va le voir.

Dans l'égalité

.cXtXn

qu'arriverait-il si nous supprimions le dénominateur du second membre? Tous les élèves le diront aussitôt : ce second membre serait multiplié par 3G000. Par conséquent que faut-il faire pour rétablir l'égalité? Multiplier aussi le premier nombre par 360U0. Voilà la nouvelle égalité trouvée :

36 000 i=cXtXn

Ce qui signifie : le produit du capital par le taux et par le nombre de jours est égal à 36 000 fois l'ijitérêt.

A cette occasion on apprend aux élèves que lorsque les facteurs d'un produit sont représentés par des lettres, on peut supprimer le signe X entre eux, et écrire ctn au lieu de c X <X ?2."lls ac quièrent ainsi la règle dite règle des lettres de la multiplication.

2e Pautie.

Ils ont tout à l'heure afCrmé sans hésiter qu'ojt peut multiplier les deux membres d'une égalité par un tnême noynbre sans altérer Ve'galité. Ils ne seront pas plus embarrassés pour reconnaître qu'on peut pareillement les diviser par un rnêni'i nombre sans altérer l'égalité. Grâce à cette propriété, nous allons pouvoir dégager et énoncer à part la valeur de chacune des trois quantités en divisant successivement les deux membres de l'égalité

ctn = 36 000 i,

par fn, puis par en et par c^ La suppression des lettres qui figurent à la fois au numérateur et au dénominateur n'a rien qui les surprenne ; ils entendent bien

que — = c. Donc nous obtenons les trois égalités : 3GO0O i

En traduisant ces formules en langage ordinaire, les élèves y trouvent les règles à suivre pour connaître, sans répéter de longs raisonnements, le capital, ou le taux, ou le nombre de jours dans tous les problèmes d'intérêt simple.

A ce moment on dit aux élèves qu'on appelle équalio7iune égalité dans laquelle se trouvent une ou plusieurs lettres représentant des quantités inconnues ; que ces lettres sont ordinairement les dernières de l'alphabet, x, y, z; que tirer la valeur de l'inconnue de l'équation où elle se trouve, c'est ce qu'on appelle résoudre une équation.

On les exercera à regarder une équation comme l'énoncé d'un problème écrit en langue algébriqtie, à le traduire en langage vulgaire. Par exemple l'équation

signifie : trouver un nombre tel que son triple diminué de 2 soit égal à son double augmenté de 3. Ces deux autres équations

37/ — 7x = 4, 2y-i-bx = 22,

se traduiront ainsi : trouver deux nombres tels que l'excès du triple du premier sur 7 fois le second soit égal à 4 et que le double du premier augmenté du quintuple du second soit égal à :22.

Réciproquement on les habituera à écrire sous forme d'équation l'énoncé d'un problème, en s'attachant d'abord aux questions les plus faciles.

A ce principe fondamental : 07i peut multiplier ou diviser les deux membres d'une égalité ou d'une équation sans altérer l'égalité, on joindra avant d'aller plus loin cet autre principe aussi évident que le premier : 07i peut augmenter ou diminuer d'une même quantité les deux membres d'une égalité ou d'une équation sans altérer l'égalité lies deux: membres.

On en fera l'application à la résolution d'une équation simple comme l'équation ci-dessus :

Supprimant les 2a; au deuxième membre pour que l'inconnue X ne se trouve qu'au premier, on devra diminuer ce premier membre aussi de 2x, ce qui donne

Puis, pour faire disparaître le terme con'nu -^ 2

qui est au premier membre, il suffit d'augmenter

I ce premier membre de 2 : car alors 2 — 2 se dc-

CALCUL

truisent ; on augmentera aussi le deuxième membre de 2 et on a alors

Zx — 2x = 2 + 2.

On déduit de là la règle de la transposition des termes : pour faire passer un terme d'un membre dans l'aub-e, on le supprime clans le membre où il est et on l'écrit dans l'autre avec U7i signe contraire, c'est-à-dire en lui donnant + quand il avait — et — quand il avait +.

Du premier principe on déduit la règle par laquelle on peut chasser les dénominateurs d'une équation, ce qui rend les calculs plus faciles : pour chasser les déno' ànateurs d'une équation, on réduit tous les termes, les termes entiers aussi bien que les termes fractionnaires, au même dénominateur, et on suppinme ce dénominateur commun.

Pour terminer la résolution, il n'y a plus qu'à opéi'er la réduction en un seul terme des nombres d'vC qui sont dans un membre et celle des nombres connus qui sont dans l'autre et à tirer enfin la valeur de l'inconnue par une simple division.

Ce n'est pas le moment de parler du changdment qui survient dans la nature de l'équation, quand la quantité par laquelle on multiplie les deux membres est l'inconnue elle-même ou une quantité qui contient l'inconnue.

Maintenant, pour mettre de la précision dans le langage, il importe qu'on sache bien que les termes sont les quantités séparées par les signes + ou — , et qu'on ait une idée nette de l'origine et de la nature du terme appelé négatif. C'est d'un problème familier qu'il convient de la déduire. On supposera, par exemple, qu'un homme n'ayant que 5 francs doive 8 francs ; ce qu'il possède à ce moment peut être représenté par 5 — 8. En donnant ses 5 francs, il n'a plus que zéro et une dette de 2 francs, et on lui ôtera ces 3 francs quand cela sera possible ; pour le moment on l'indique en écrivani 0 — 3 ou plus simplement — 3, puisque le zéro est ici toui à fait inutile. Le terme négatif — 3 représente donc le reste d'une soustraction dans laquelle le plus grand nombre devait être retranché du plus petit . Dans ce cas on retranche le plus petit du plus grand, et on donne au reste le signe — - Un terme négatif peut être regardé comme exprimant une dette, tandis que le terme positif exprime un avoir.

Nous pourrions suivre maintenant l'ordre méthodique du cours d'algèbre pour joindre à chaque partie de ce cours les applications du calcul algébrique qui s'y peuvent rapporter. Mais nous croyons faire mieux ressortir la portée de ces applications et la possibilité pour le maître d'en tirer les plus heureux effets, même pour des élèves étrangers à l'algèbre proprement dite, en donnant quelques exemples de problèmes dans lesquels, comme dans le précédent, le calcul algébrique abrège ou éclaircit singulièrement les opérations de l'arithmétique pure. — V. aussi dans le Dictionnaire, à la suite de l'article Algèbre, notre paragraphe sur la préparation aux examens.

Problème 1. — On veut faire de l'argent au titre de 0,835 en fondant ensemble de l'argent au titre de 0,9 et du cuivre. Combien faudra-t-il prendre d'argent au titre de 0,9 et de cuivre pour avoir 1 kilogramme d'argent au titre de 0,S35? (Problème donné à Paris en 1877 aux uspiruntes; brevet supérieur. — V. ci-dessus, o. 302.)

Soit X le nomore de grammes d'argent a 0,9. Le poids d'argent pur qu'il renferme est x X 0,9. Le quotient de ce nombre divisé par le poids totnj 1000 grammes devant être le titre 0,83ô, on a l'équation :

Multipliant les deux membres par 1 000, puis par 10, on trouve :

Le poids d'argent est donc927^',778.

Celui du cuivre est H)00 — 927, mS^ 72«',222.

Problème 2. — On partage une somme de 10 000 francs entre quatre personnes. La r* aura 2 fois autant que la 2', moins 2 000 francs ; la 2* aura 3 fois autant que la 3', moins 3 000 francs ; la 3* aura 6 fois autant que la 4*, moins 4 000 francs. Quelle est la part de chaque personne? — (Problème donné dans Y Académie de Besançon, 1878. — Aspirantes ; bre-.-.et supérieur. — \. ci-dessus, p. 302.)

Désignons par x le nombre de francs que doit avoir la 4* personne; la part de la 3» sera 6a; — 4 000.

La 2* aura (G-î; — 4 000) X 3 — 3 000. Le produit de (ix — 4 001» par 3 doit être égal à 3 fois (ix, moins 3 fois 4 OOo ; car Gx devant d'abord être diminué de 4 000, le produit l8x est trop fort de '■> fois 4 000 ou de 12 000. On a donc pour la part de la 2«:

ou 18x— 15000.

La première aura

(ISx — 15000)X2 — 2000

c'est-à-dire

La somme des quatre parts devant être égale à 10000, on peut écrire :

Par la réduction on a

puis d'où

La part de la A' est donc de 1 000 francs. On trouvera ensuite : pour la 3' , 2 000 francs. — pour la 2% 3 000 francs.'— pour la 1", 4 000 francs.

Observation. — Des explications données plus haut, il est bon de déduire la règle suivante : pour multiplier par un nombre positif une quantité composée de plusieurs termes , onmultipUe chaque terme du multiplicande, en lui conservant soji signe, par le multiplicateur.

Pi'obleme 3. — A quel moment, entre 2 heures et 3 heures, les deux aiguilles d'une montre sont-elles en ligne droite?

Paris, 1876. — Aspirants ; brevet simple. — V. ci-dessus, p. 284.)

Les deux aiguilles peuvent être : l» l'une sur l'autre ; 2° l'une sur le prolongement de l'autre.

Premier cas. — Soit x le nombre des minutes du cadran qu'aura à parcourir la grande aiguille à partir de 2 heures, c'est-à-dire à partir du n" 12, pour atteindre la petite entre le n° 2 et le n° 3. Le nombre de minutes parcourues par cette dernière aiguille sera a; — 10. Or, la vitesse de la grande aiguille étant 12 fois plus grande que celle de la petite, le nombre x de minutes que parcourt la première vaut 12 fois le nombre a; — 10 de minutes parcourues dans le même temps par la seconde.

On peut donc écrire l'équation

x=(a;— 10)XI2.

CALCUL — 323

En effectuant la multiplication, on trouve

puis 120= lia;,

d'où

CALCUL

Les deux aiguilles sont donc l'une sur l'autre à 2h !0'°i5.

Deuxième cas. — Désignons par x le nombre de minutes comprises entre le n° 12 et le point où la grande aiguille est sur le prolongement de la petite ; le nombre des minutes parcourues dans le même temps par la petite est x — 10 — 30 ou x — 40. Comme dans le cas précédent, a; vaut 12 fois x — AO, et on a l'équation

On trouve ensuite

a;=:12x — 4S0, 480= lia-,

Ainsi, les deux aiguilles sont l'une sur le prolongement de l'autre à 4'' 43°' ^.

Problème 4. — Une personne place les f d'un capital h 4,75 ""/<, et le reste h 5,5 °/o ; elle retire ainsi 493'',"5 d'intérêt au bout de 7-' jours. Quel est ce capital? — (l'roblème donné dans l'Académie de Lyon, 1876. — Aspirants; brevet simple — V. ci-dessus, p. 286.)

Remarquons d'abord que 72 jours sont la 5^ par^ tic de l'année, et représentons par x le capital

cherché : les - de ce capital sont -r- et le reste

est 7'

D'après la règle ordinaire, l'intérêt de la !'• par-