eoo

Ces deux expressions représentent l'une et l'autre, mais sous des formes différentes, la capacité de la première. On peut donc écrire l'équation

ou en divisant les deux dénominateurs par 5 72y 85y-f-3600

Des deux équations qui étaient la traduction du problème, on a ainsi tiré une équation ne contenant plus qu'une des deux inconnues. Il ne s'agit plus que de la résoudre. Voici le tableau des opérations.

73yX17 = 8%X13+3G00Xi3, 12+24y= lU-5.y + 46300, 1124y— llOôy = 46800, 119y=',680O,

La capacité de la deuxième barrique est 393 litres 2 décilitres. En employant l'équation ^3) on aura pour trouver la capacité de la première

Problème 8. — Un certain capital est placé à un certain taux. Retiré au bout d'un an et augmenté de 1000 francs, ce capital est placé à 1 de plus pour cent et produit à la fin de l'année un revenu supérieur de 80 francs au revenu précédent.

Au commencement de la troisième année, le capital est augmenté do 500 francs et placé encore à 1 de plus pour cent que l'année précédente; il produit alors 70 francs de plus que pendant cette année.

Calculer le capital primitif et le taux auquel il avait été placé. — {Académie de Nancy ; Brevet complet; aspi7a7its, 1876.)

Soit X le capital demandé et y le taux inconnu auquel il est placé. L'intérêt de ce ce capital au xy

bout de l'année est

luo

Le capital placé au commencement de la 2» année estx-|-l(i00, le taux est y + 1 ; l'intérêt de ce capital à la fin de la 2' année est donc

Or cet intérêt surpassant de 80 francs l'intérêt produit pendant la première année, on a l'équation

(x+1000)Xfy + l xy

Le capital au commencement de la 3* année est

X + 1500 ; le taux est y + 2 ; l'intérêt produit pen-

j . ** oe - .j (x-T- 1500)X iy-»-2) dant cette •>* année est donc -^ •

Cet intérêt surpassant de 70 + 80, c'est-à-dire de 150 francs l'intérêt de la 1" année, on a cett9 autre équation

(x+1500)Xfy + 2) xy 100 100

CALCUL

Il s'agit de résoudre les équations (1) et (2). Multipliant d'abord les deux membres par 100 dans cliacunc, on a

(x + 10QO)X{^ + i)—xy=fiOOO. (3) (a;4-1500)X(y + 2)— a;y=15000. (4)

Pour effectuer la multiplication indiquée au pr membre de chacune, on multiplie chaque terme du multiplicande par chaque terme du multiplicateur, et on trouve- ainsi

a;î/ + 1000y4-a;+ 1000 — a;y = 8000, (5) ffî/-i- 1500?/ + 2a; + 3000 — a;;/ =15000. (6)

Supprimant xy — xj/ qui se détruisent, puis diminuant de 1000 les deux membres de l'équation (5) ei de 3000 les deux membres de Téquation (6) on obtient

ou en divisant les deux termes de la 2° par 2

Les deux équations primitives se trouvent ainsi réduites à leur plus simple expression dans les équations (7) et (8) et le problème proposé se trouve transformé en celui-ci : un capital est placé à un certain taux; trouver ce capital et ce taux en sachant que ce capital augmenté de lOnO fois létaux vaut 7000 francs , et qu'augmenté seulement de 750 fois le taux, il vaut GOOO francs

Pour résoudre ces deux équations à deux inconnues, on pourrait, comme dans le problème précédent, tirer dans chacune la valeur d'x, comme si y était un nombre connu, et égaler l'un à l'autre les deux résultats. Ici il y a un moyen plus simple à employer parce qu'il y a le môme nombre d'à; dans les deux équations. En effet, si l'on retranche chaque membre de l'équation (8) du membre correspondant de l'équation (7), les restes seront encore égaux et on aura

d'où

250y = 1000, 2by = 100,

En remplaçant y par sa valeur 4 dans l'équation (7) on aura

4000 + x= 7000, d'où a; = 7000 — 4000,

et a; = 3000.

Ainsi le capital est 3000 francs; le taux est 4 °\„.

Problème 9. — On a deux lingots de même poids et de titres différents. Si on fond le l*'' lingot avec un quart du 2% on obtient un alliage au titre de (i,'Ju6; si on fond le 1"' lingot avec la moitié du 2*. on obtient un alliage au titre de 0,920. Quel est le titre de chaque lingot?

{Acad. de Nancy, 1876. —Aspirants; h-evet complet. — V. ci-dessus, p. 301.)

Pour simplifier le langage, désignons par p le poids commun des deux lingots, quoiqu'il ne soit pas demandé. Nommons x le nombre de millièmes qui exprime le titre du 1", et y le nombre de millièmes du titre du '1^.

Le poids de métal fin contenu dans le 1" est en millièmes px; le poids contenu dans le quart du

second est '-j-. Le titre du l'r mélange sera donc 4 o

I py py + -f

Comme il doit être égal à 936 millièmes, on écrit l'équation

, PV px + ^-^

Sans répéter la même explication sur le 2* mélange, on voit qu'il donne cette autre équation

px-\-

En multipliant le numérateur et le dénominateur de (1) par 4, ceux de (2) par 2, et en les divisant par j9, on trouve

^^■ + ^ = 936 ou ^£±-^ = 936, (3)

= 920 ou

Chassant le dénominateur des équations (3) et (4), on a

Retranchant membre à membre l'équation (6) de l'équation (5), on obtient

d'où

Le titre du l^' lingot est donc df3 960 millièmes.

Pour avoir le titre du 2* on remplace dans l'équation (fi) le terme 2a; par sa valeur 1920, ce qui donne

î/ = 8iO.

Le titre du 2* lingot est 840 millièmes.

Observation. — Le poids inconnu p de chaque lingot ayant disparu des équations, on en conclut qu'il est inutile au problème et qu'il est quelconque, pourvu qu'il soit le même pour les deux lingots. [G. Bovier-Lapierre.]

CALCUL MENTAL. — Arithmétique I-L. —Le calcul mental est applicable à tous les degrés de l'enseignement arithmétique. Il forme en quelque sorte un petit cours d'arithmétique élémentaire parallèle à l'autre. Nous ne pouvons présenter ici le tableau détaillé de cet enseignement purement oral ; nous nous bornerons à en esquisser le plan.

1° Au début les élèves énoncent les dix premiers nombres, en comptant des objets visibles, à leur portée, comme des jetons, de petits cailloux, des haricots, les doigts, etc., et en ajoutant successivement un objet de plus au nombre précédent; de la même manière les nombres depuis onze, douze, jusqu'à vingt ; depuis vingt-un jusqu'à trente, et ainsi de suite jusqu'à cent.

Le maître appelle leur attention sur les dizaines. Il leur en donne une image sensible, matérielle, par de petits paquets composés par exemple de dix bâtonnets comme ceux des allumettes ; il se sert aussi de la pièce de dix centimes qu'il met à la place de dix pièces d'un centime, en lui rendant son nom de décime qu'on a eu tort de lui enlever. Dans la dénomination des dizaines, on emploie encore en Suisse et dans une partie de la France les termes septante, huilante, 7ionante : le maître pourra s'en servir sans scrupule pour rétablir la ré-

CALCUL

gularité de la nomenclature, sauf à indiquer bientôt après les termes qu'un usage capricieux leur a

substitués.

2° Il exerce ensuite les élèves à trouver les valeurs que prend chaque nombre, quand il est augmenté de deux, de trois, de quatre, etc., sans toutefois dépasser cent. Il leur apprend le nom de l'opération qu'ils ont effectuée sur les divers problèmes qui leur avaient été posés et le nom par lequel on désigne le résultat. Qu'il ne se presse pas trop de venir au secours de l'enfant dans une addition où les nombres se composent de dizaines et d'unités. Celui-ci, guidé par son bon sens, parviendra toujours à sortir d'embarras, et découvrira môme la voie la plus naturelle.

Pour mettre plus de variété dans ces exercices, le maître fera entrer dans les probhNmes, outre les objets déjà indiqués plus haut, les mesures de temps, telles que le jour, l'heure et la minute ; le gramme, en disant que c'est le poids de la pièce d'un centime ; le franc, en ajoutant que cette pièce pèse cinq grammes et qu'elle vaut autant que cent centimes ; le mètre, le décimètre, et le centimètre en montrant à l'aide d'un mètre de bois ou de cuivre que le mètre se divise en dix décimètres et en cent centimètres; le litre en mettant sous leurs yeux une boîte cubique ayant un décimètre sur ses trois dimensions. C'est ainsi qu'il amènera les élèves à faire connaissance avec le système métrique, sans le leur présenter sous la forme d'un tableau scientifique, où les diverses mesures sont énumérées avec des étiquettes propres à effaroucher les enfants.

3° Par des problèmes analogues aux précédents, ils apprendront à diminuer de un, de deux, de trois, etc., un nombre donné, sans excepter le cas où dans le nombre à retrancher il y aurait plus d'unités que dans l'autre. Demandez à l'un d'entre eux par exemple ce qui reste de soixante-trois centimes, après qu'il en a dépensé vingt-huit. Il est presque certain qu'après un instant de réflexion, il ôtera d'abord vingt-trois centimes de soixante-trois, ce qui lui donne quarante centimes pour reste, puis qu'il ôtera encore cinq centimes de ce reste, pour arriver à trouver trente-cinq centimes, en moins de temps que nous n'en mettons ici à Texpliquer.

4° Ayant ainsi acquis la pratique intelligente de l'addition et de la soustraction, pour des nombres qui ne surpassent pas cent, les élèves vont être mis en face de nouveaux problèmes, sans être avertis qu'il s'agit d'une nouvelle opération, la multiplication.

Pour procéder méthodiquement, le maître leur fait d'abord découvrir combien valent 2 fois 1, 2 fois 2, 2 fois 3... jusqu'à 2 fois 9, au moyen de deux groupes composés chacun de deux petits cailloux par exemple, composés de trois, de quatre, etc. Il répétera les mômes questions, en les appliquant à d'autres objets, et quand il sera assuré que les élèves n'éprouvent plus d'hésitation pour énoncer les résultats, il leur enseigne de la même manière ce que valent 3 fois, 4 fois.... 9 fois chacun des neuf premiers nombres. Interrogés ensuite plusieurs fois sur des problèmes où les nombres sont pris dans un ordre quelconque, ils gravent les produits dans leur mémoire d'une manière aussi sûre et aussi rapide que l'ancienne méthode était lente et fastidieuse.

Ils remarqueront d'eux-mêmes qu'en tout cela ils n'ont fait autre chose que d'effectuer des additions dans lesquelles les nombres étaient égaux. A ce moment, on prononce le nom donné à cette addition abrégée en prenant la précaution de distinguer bien nettement le multiplicateur du multiplicande ; mais on démontre qu'ils donnent le môme produit quand ils sont mis l'un à la place de l'autre, et pour cela il suffit de faire voir aue

3 groupes de 5 haricots peuvent être remplacé» par 5 groupes composés de 3 haricots.

Au moyen de questions convenablement choisies, ils apprendront que le produit de deux facteurs devient double, triple, quadruple, etc., quand l'un des facteurs devient lui-même double, triple ou quadruple. Si on leur dit par exemple que chaque jour Pierre a écrit 3 pages et son frère Paul 6 pages, il n'en est aucun qui ne dise qu'à la fin de la semaine le travail de Paul est double de celui de Pierre. Ils auront ainsi un moyen de trouver plus promptement un produit sur lequel ils pourraient être un peu embarrassés. Aussi un élève, à qui on demande combien font 4 fois 16, se rappelant que 4 fois 8 valent 32, double aussitôt ce premier produit pour arriver à 64, après avoir observé que 1(J est le double de 8. Ils acquièrent de cette manière la pratique de cet important principe : pour multiplier un nombre par un autre qui est le produit de dfux facteurs, on peut multiplier ce nombre par le premier facteur et le résultat ensuite par le second.

5° Les élèves, sachant maintenant trouver le produit de deux nombres, vont être conduits, toujours par les questions du maître, à effectuer l'opération inverse. On propose à l'un d'entre eux de partager par exemple 8 billes à 2 camarades, 12 billes à 3, etc. Quand ils auront résolu une suite de problèmes semblables, ils connaîtront ce que c'est que la division. On leur indique alors les termes de divilcnde et de diviseur; mais on ne citera le nom de quotient qu'après avoir montré que le résultat de la division exprime combien de fois le dividende contient le diviseur. Ce sera ici le moment de dire ce qu'on anpelle demie, tiers, quart, cinquième, etc.

Ils ne trouveront pas plus de difficultés pour diviser par un nombre d'unités un dividende où le nombre des dizaines ne serait pas divisible par le diviseur, par exemple 65 francs à diviser entre

4 personnes. En regardant cette somme comme formée de 6 pièces de 10 francs et de 5 pièces de 1 franc, l'élève chargé d'effectuer le partage donnera d'abord une pièce de 10 francs à chaque personne; puis, remplaçant les 2 pièces de 10 francs qui restent par 20 pièces de 1 franc, il a encore à partager 2ô francs, ce qui fait 6 francs pour chaque personne, avec l franc de reste. En remplaçant aussi ce franc par 10 pièces de 1 décime, il donne 2 décimes à chacune, et enfin, s'il remplace encore les 2 décimes qui lui restent par 20 centimes, il a terminé la division et trouvé 16 francs et 25 centimes pour chaque part.

6» Nous ne pouvons indiquer ici les divers moyens par lesquels les opérations peuvent être abrégées dans certains cas ; la sagacité des maîtres saura les découvrir et les mettre au profit de l'élève. Nous appellerons plutôt leur attention sur l'importance et la simplicité des moyens qu'ils ont à leur disposition pour rendre les calculs sur les fractions aussi faciles que ceux qui ont été effectués précédemment. Qu'ils se gardent bien de commencer par parler de numérateur et de dénominateur; qu'ils ne prononcent pas môme le nom de fraction ; mais qu'ils proposent une suite de petits problèmes, tels que les suivants :

Combien une demi-heure vaut-elle de quarts d'heure?

Combien 2 heures et quart font-elles de quarts d'heure?

Combien y a-t-il de mètres dans une longueur égale à 8 tiers de mètre 'f

Quelle est la longueur formée par trois règles ayant,rune '6 huitièmes de mètre, l'autre 1 huitième de mètre, et la dernière 2 huitièmes de mètre?

Aucun élève ne sera embarrassé pour donner la réponse. Ils la trouveront aussi facilement pour ces autres oroblèmes :

CALENDRIER

Emile doit prendre les 3 quarts d'un sac de 24 billes; combien en aura-t-il?

On demandait son âge à une jeune fille ; elle répondit : les 5 huitièmes de mon âge font 10 ans.

Dans le premier ils diront : le quart de 2i est (i ; «lonc Emile aura 3 fois 6 billes ou 18 billes. Dans le second : puisque 5 huitièmes de l'âge cherche ioiit 10 ans, 1 huitième vaut 5 fois moins ou 2 ans ; donc l'âge est égal à 8 fois 2 ans ou 16 ans.

C'est maintenant qu'il y a utilité à employer les tioms de fraction, de numérateur et de dénominateur. — On pourra aussi aborder la réduction des fractions au même dénominateur, en apprenant à convertir des demies et des quarts en huitièmes, ties demies et des tiers en sixièmes, etc. — V. l'article Ca/cw/dans la 1" Partie.

[G. Bovier-Laplerre.]

Lectures et exercices. — On pourra quelquefois piquer l'émulation et la curiosité des élèves en leur racontant quelques exemples de ces tours de force de calcul mental accomplis par des enfants. En voici un ou deux que la très grande majorité <ie nos élèves ne résoudrait que la plume à la main.

En 1829, on entendit parler d'un enfant italien de sept ans, Vincent Zuccaro, qui avait une éton- '.lante facilité de calcul et qui, en quelques instants, résolvait de tête des problèmes compliqués. Une expérience publique fut faite à Palerme sous la surveillance de deux professeurs de mathématiques •en présence de plus de quatre cents personnes. Voici deux des problèmes qui furent posés à l'enfant :

l" problème. — Un navire est parti de Naples pour Palerme à midi, a fait 10 milles par heure. i,'n autre, qui fait 7 milles par heure, est parti au même moment de Palerme pour Xaples. A quelle heure se rencontreront-ils et combien de milles aura fait chacun d'eux, la distance entre les villes «tant de 18(J milles ?

Vincent Zuccaro répond aussitôt : Le premier îiavire aura fait 105 milles i|; le deuxième, 74 j%.

— Oui, mais à quelle heure la rencontre ?

— Cela s'entend : à 10 heures etp après le départ. L'enfant, ayant aperçu la liaison entre les deux

parties de la réponse, pensait que les assistants l'avaient comprise comme lui et qu'il était inutile de l'énoncer.

2* problème. — Dans trois attaques successives cntpéri le quart, puis le cinquième, puis le sixième des assaillants qui se trouvent alors réduits à 138. Combien ctaieni-ils d'abord?

L'enfant répond : .360.

D. Comment avcz-vous trouvé ce nombre ?

R. S'ils avaient été 60, il en serait resté 23 après les attaques; mais 23 est le sixième de 138, donc les assaillants étaient d'abord six fois 60, c'est-àdire 360.

D. Mais pourquoi avez-vous supposé 60 plutôt que 50 ou 70?

R. Parce que ni 50 ni 70 ne sont divisibles par 4 ni par 6.

iji' a.^vè?,\a.Revue encyclopédique,t.'X\A\l, p. 230.)

CALENDRIER. — Connaissances usuelles, VIII ; Cosmographie, m IV.- Etym. : du latin calendarvum, tableau des calendes. Les calendes (d'un mot grec qui signifie appel} étaient le 1" jour du mois, celui où les prêtres annonçaient au peuple assemblé les fêtes du mois.

Nous savons déjà ce que c'est que l'an?iée '. Si nous considérons une étoile placée, comme l'étoile polaire, par exemple, d'un côté de la route que suit la terre autour du soleil, nous reconnaîtrons qu'au commencement du printemps et au commencement de l'automne, la terre est à la même distance de cette étoile ; qu'au commencement de l'été, la terre est un peu plus loin, et au commencement de l'hiver, un peu plus près de l'étoile polaire.

Dans cette révolution, il arrive que l'équateur de la terre, prolongé jusqu'au soleil, conserve toujours dans le ciel la même direction et passe, au commencement du printemps, exactement par le centre du soleil ; au commencement de l'été, 23 degrés et demi environ au-dessous du soleil par rapport à l'étoile polaire ; repasse au commencement de l'automne, exactement par le centre du soleil, et, au commencement de l'hiver, se dirige à 23 degrés et demi environ au-dessus du soleil, entre celui-ci et l'étoile polaire.

On nomme année tropique le temps qui s'écoule depuis le printemps où l'équateur de la terre est dirigé vers le centre du soleil jusqu'au printemps suivant, où cet équateur est de nouveau dirigé vers le même centre du soleil. C'est cette année tropique qui règle le calendrier parce que c'est elle qui ramène les saisons dans le même ordre, avec une régularité parfaite. On conçoit facilement la nécessité, pour la vie ordinaire, de ramener les mêmes saisons continuellement aux mêmes mois de l'année, et, autant que possible, aux mêmes quantièmes de ces mêmes mois. Le trouble qu'apporterait dans 1 es travaux agricoles la présence, au bout de cinquante ou soixante ans, de l'été au mois de mai, par exemple, et plus tard au mois d'avril, frappera tous les esprits.

Le jour solaire est produit par la rotation do la terre sur elle-même : c'est l'intervalle de temps qui s'écoule depuis le moment où, par suite de cette rotation, un point de la terre est amené en face du centre du soleil, jusqu'au moment où il revient pour la deuxième fois en face du centre du soleil.

Si l'année tropique contenait un nombre exact de jours solaires, la question du calendiùer serait bien simple, le calendrier d'une année ressemblerait toujours à celui de l'année précédente ; surtout si le nombre de jours solaires de l'année tropique contenait un nombre exact de semaines.

Mais il n'en est pas ainsi. Dans l'année tropique, il y a 3fJ5 jours 242 millièmes 216 millionièmes et 6 dixmillionnièmes de jour. Les usages de la vie ne peuvent pas s'arranger d'une année fractionnaire comme celle-là, qui conduirait à commencer une année à minuit, l'année suivante à 5 heures 48 minutes 47 secondes et demie du matin, la suivante, à 11 heures 37 minutes 35 secondes du matin, et ainsi de suite. Depuis longtemps, les peuples ont reconnu la nécessité de créer une année civile composée d'un nombre exact de jours et il en résulte l'année civile comminie, de 365 jours.

Cette année est trop courte do 0 jour, 2'i22I66, et comme 0,2422 166 X -i = 0,9688(iG4 ou tout près d'un jour, on est convenu de faire, tous les quatre ans, une année civile de 366 jours par l'addition d'un jour au mois de février. On nomme cette quatrième année : année bissextile.

Puisqu'on était en retard de 0 jour,9688G6i et qu'on vient d'ajouter un jour, 1 — 0,96.ssè64 donnant 0,0311336, chaque période de 4 ans se trouve trop longue de 0 jour, 0311336. Il en résulte qu'au bout de 100 ans ou de 25 fois 4 ans, on se trouve en avance de 0,0311336X25 ou de 0,77834. Cette circonstance a fait admettre que chaque année de siècle, 1701', 1800, 1900, serait une année commune au lieu d'être une année bissextile, ce qui revient à retrancher un jour de chaque période de cent ans.

On se trouve ainsi en retard de 1 — 0,7783 i jour ou 0,22160 jour tous les cent ans. soit, au bout de quatre siècles, de 0,22160 X 4 ou 0,88604 jour. Alors il a été décidé que chaque quatrième année de siècle, 1600,2000,2400, etc., serait une année bissextile, contrairement à la convention précédente.

Tous les quatre cents ans donc, on se retrouve en avance de 1 — 0,88(i64 ou 0,11-'.3G. Il faut donc attendre 10 fois 400 ou 4000 ans pour que l'avance soit de 0,11336 X 10 ou 1 jour, 1336 ; mais nous avons bien le droit de ne pas nous préoccuper de si loin.

CALENDRIER

Toutes CCS règles sont contenues dans l'égalité que voici :

365,24221Ci6^.3G5+ i ^ + -^J^ lifM

que l'on peut lire en disant : l'année civile se compose de 3G6 jourSj avec un jour de plus ou une année bissextile tous les quatre ans, un jour de moins ou une année commune tous les cent ans au lieu d'une année bissextile, un jour de plus ou une année bissextile tous les quatre cents ans au lieu d'une année commune et 1 jour, 1136 dix-millièmes de jour à retrancher tous les quatre mille ans.

Dès le onzième siècle, les Perses suivaient une méthode plus simple et en même temps plus juste pour régler la succession des années communes et des années bissextiles. Ils font 8 années bissextiles dans 33 ans, de 4 en 4 ans pour les 7 premières, et en attendant 5 ans pour la huitième. L'erreur commise pour l'année commune étant de Ojour, 24221 06, sera pour 33 ans, de 0 242216() X 33 = 7,9931478. En faisant 8 années bissextiles, c'est-à-dire en ■ajoutant 8 jours dans cet intervalle, ils réduisent l'erreur à 8 — 7,9931478 = 0,00(i8522 tous les 33 ans, ce qui fait une erreur d'un jour tous les 4818 ans. Nous, avec une méthode relativement plus compliquée, nous avons une erreur d'un jour au bout de 3528 ans.

Historique sommaire du calendrier. — La division du temps en années est bien probablement la première |qui [ait existé pour les peuples qui ne faisaient qu'une récolte par an, qui ne voyaient le blé donner ses épis, la vigne ses raisins, etc., qu'unefoisaveclerenouvellement si marqué des quatre saisons.

La division en mois de 29 ou 30 jours, d'après la durée des phases de la lune, d'une nouvelle lune à la suivante, a dû venir ensuite. La division en semaines de 7 jours, correspondant aux quatre phases de chaque lunaison aura suivi les deux autres. Nous ne parlons pas de la division en jours, d'un lever du soleil au lever suivant, qui doit être aussi ancienne que l'homme.

Calendrier juif. — Depuis des temps que l'on ne peut évaluer, les hommes ont été préoccupés de la manière dont ils feraient concorder les années et les mois. Cette préoccupation s'est traduite par des complications d'une bizarrerie extrême, par exemple chez les Juifs qui ont actuellement six espèces d'années respectivement de 353, 354,35:>,383, 384 et 38.t jours.

Le système suivi par les premiers Juifs nous présente une particularité curieuse. Leur année commençait par un mois nommé Abid, et le seizième jour de ce mois, ils devaient faire la fête des épis, où devaient figurer des épis d'orge mûr. Or le mois qui précédait Abib se nommait Adar, et lorsqu'on Adar on voyait que les épis ne seraient pas mûrs pour le 16 A'bib, on doublait le mois d'Adar, en nommant le nouveau mois Ve Adar ou deuxième \dar.

Calendrier romain. — Notre calendrier nous vient des Romains. Ce fut d'abord une année lunaire, assez semblable à celle dos Juifs avec de nombreuses intercalations. Puis un désordre complet s'y introduisit ; la succession des mois, réglée d'après les fêtes religieuses, fut laissée aux caprices des prêtres qui, pour des motifs d'intrigue politique, bouleversèrent à leur gré le calendrier. Jamais, rapporte Suétone, la fête de la moisson ne tombait en été, ni celle des vendanges en automne.

En 46 avant notre ère, Jules César, aidé d'un astronome d'Alexandrie, voulut régulariser cet état de choses et en prévenir le retour. Pour ramener les saisons à leurs places dans l'ordre des mois, il lui fallut faire durer c(^tte année 445 jours. 11 fixa pour l'avenir l'année à 365jours, en donnant 31 jours aux mois do rang impair dans l'anncp. 30 jours au

mois de rang pair, sauf février, le mois néfaste des anciens Romains, qui n'eut que 29 jours, et il décréta que tous les quatre ans, ce mois de février aurait 30 jours et l'année 366. Par un amour-propre exagéré, le mois dans lequel Jules César était né, Ouindilis, reçue de lui le nom de Julius qui est devenu notre juillet. 11 en résulta qu'après la mort de César, son successeur Octave Auguste» jaloux de cette prérogative, commença à faire appeler Aur/u-stus, qui est devenu Août, le mois suivant. Ensuite, s'apercevant que le mois Julius, d'ordre impair, avait 31 jours, et ne pouvant souffrir cette infériorité pour son mois Augustus, il prit un jour à février, qui n'en pouvait mais, pour l'ajouter à Augustus, en réduisant septembre et novembre à 30 jours pour ne pas avoir trois mois de 31 jours de suite et élevant à 31 jours octobre et décembre.

La réforme ainsi opérée se nomme la réforme julienne, et le calendrier constitué sur ces bases, encore en usage aujourd'hui chez les Grecs et les Russes, a été appelé le calendrier Julien.

Calendrier grégorien. — En suivant la simple réforme julienne, il y avait, comme nous l'avons montré ,3 jours de trop en 400 ans. Au xiiie siècle, Roger Bacon réclamait déjà une réforme du calendrier. Au XII* siècle, cette erreur de 78 centièmes de jour par siècle avait fait reculer de 1*2 jours, les saisons sur les mois : le printemps commençait dans la première moitié de mars, au lieu de commencer dans la dernière moitié comme du temps de César et d'Auguste. Le pape Grégoire XIH, avec l'aide du savant Calabrais Lilio, voulut y remédier. Se trompant volontairement ou involontairement. au lieu de tenir compte des 12 jours, il ne tint compte que de 10, en décidant que le lendemain du 4 octobre 1582 se nommerait le 15 octobre 15S2. Il établit ensuite que chaque année de siècle serait commune au lieu d'être bissextile, sauf tous les quatre siècles.

t^est là la réforme grégorienne; le calendrier ainsi fixé fut adopté immédiatement par la France et par les Etats catholiques ; mais il fut repoussé par les protestants qui aimaient mieux, comme on le dit, ne pas être d'accord avec le soleil que de l'être avec le pape. Cependant ceux de l'Allemagne et du Nord s'y rallièrent au commencement du xiii'= siècle, l'Angleterre en 1752. Aujourd'hui, il n'y a plus que les Grecs et les Russes qui continuent à suivre le calendrier julien. L'écart, qui était d'abord un retard de 10 jours, s'est augmenté en 1700 et en 1800, puisque pour eux et non pour nous ces deux années ont été bissextiles. Ils sont aujourd'hui en retard de 12 jours (après 1900, il y aura 13 jours d'écart). C'est pour cela qu'il est d'usage de marquer les deux dates.

Quant au commencement de l'année, c'est un édit du roi Charles IX, publié en 15G3, qui l'a fixé au l«r janvier. Jusqu'en 1752, les Anglais commençaient leur année au 25 mars.

Calendrier républicain. — La dernière réforme tentée à propos du calendrier est celle qui fixait le commencement d'une nouvelle ère au 22 septembre 1792, jour de la proclamation de la première République française. Dans ce calendrier, les mois, parfiiitement bien nommés pour l'Europe, vendémiaire, brumaire, frimaire en automne (les vendanges, les brouillards, les frimas) ; nivôse, pluviôse, ventôse en hiver (la neige, la pluie, le vent) ; germinal, floréal, prairial au printemps (les germes, les fleurs, les foins) ; messidor, thermidor, fructidor en été, (la moisson, la chaleur, les fruits), ont chacun 30 jours, et 5 jours complémentaires, n'appartenant à aucun mois, terminent l'année. Lorsque les astronomes s'aperçoivent que l'année va commencer avant l'équiiioxe d'automne,, ce qui arrive ordinairement tous les quatre ans, un sixième jour complémentaire, ajipelé jour de la Révolution, s'ajoute à l'année. Le mois est divisé eu trois dé-

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cadcs ou périodes de dix jours. On trouvera a 1 article Ere républicaine (V. au supplément, p. 2398) un tableau de la concordance du calendrier républicain avec le calendrier grégorien pendant les quatorze années de 1T92 à 1806. [Joseph Vinot.]

CANAUX. — Géographie de la France, III. — Le mot canal, dans le sens propre, se dit dun con duit par où l'eau passe. Par extension, il sert à désigner une rivière artificielle creusée do main d"homme soit le long d'une rivière naturelle, soit entre deux rivières séparées l'une de l'autre-

i. Des canaux en général. — Leur utilité est bien aisée à comprendre.

Conditions de traction d'un corps flottant. — 1° Sur une eau courante. — Une rivière, suivant le. mot de Pascal, est un chemin qui marche. Abandonnez à son courant un morceau de bois, ou un bateau qui puisse y flotter, bateau et morceau de bois descendront sans vous coûter un seul effort, avec l'eau qui suit la pente naturelle de son lit, depuis sa source jusqu'à la mer.

2° Dans une eau tranquille. — Dans une eau tranquille comme celle d'un lac ou dun étang, qui n'est agitée ni par le vent ni par les courants, on fait avancer un bateau presque sans effort. La résistance que l'eau lui oppose s'accroît proportionnellement au carré de la vitesse ; mais avec une grande lenteur, la puissance de traction d'un homme ou d'une bête de trait est presque illimitée.

3° Contre un courant. — Pour remonter le courant d'une rivière, la résistance que rencontre un bateau se compose de deux éléments. Il s'élève verticalement comme le niveau do l'eau dan*^ les points par où il passe successivement et il exige pour cela un travail analogue à celui de tout corps pesant remontant le long d'un plan incliné. En second lieu, il marche en sens inverse de l'eau et éprouve de ce fait une résistance qui s'accroît proportionnellement à la somme des deux vitesses inverses du bateau et de l'eau de la rivière par rapport à un point fixe, de même que nous avons dit précédemment pour un bateau marchant dans une eau tranquille.

D'après ces considérations, on voit que la navigation ne peut avoir lieu à la remonte sur une rivière que si le courant de celle-ci est suffi-amment If^nt. Kn outre, les rivières dont le courant est très rapide n'ont généralement pas de profondeur. Car l'eau qu'elles débitent en une minute, par exemple, s'étale sur toute la longueur de leur lit qu'elles parcourent dans le même temps, tandis que, pour celles qui coulent lentement, l'eau débitée s'entasse sur un espace beaucoup plus restreint.

Canalisation des rivières et construction des canaux. — On est donc conduit, quand on creuse un canal, ou quand on veut améliorer la navigabilité d'une rivière, qui est alors dite canalisée, à établir une série de bassins où la pente et le courant de l'eau soient aussi faibles que possible, et où la profondeur soit suffisante pour faire flotter des baleaux, dont l'économie des transports tend chaque jour à faire augmenter les dimensions.

Barrages. — Pour canaliser une rivière, on établit en travers de son cours des barrages, en amont de chacun desquels l'eau s'accumule jusqu'à, ce que le débit de la rivière ait fourni assez d'eau pour qu'elle puisse se déverser en aval.

Biefs. — On appelle bief la partie de la rivière que limitent deux barrages consécutifs. Il est aisé de comprendre que plus les barrages sont rapprochés, et plus la profondeur d'eau augmente, plus la vitesse de son courant diminue. La rivière se trouve donc partagée en une série de biefs de niveaux différents. Nous expliquerons tout à l'heure comment les bateaux peuvent descendre ou remonter quant il s'agit de passer d'un bief au suivant.

Quand il s'agit de creuser un canal suivant la

pente d'une rivière, on le compose d'une série de biefs à peu près horizontaux, de manière à annuler le courant de l'eau.

Il arrive souvent que le long d'une rivière on se sert tantôt du lit même de la rivière, sur les points où il se prête à la canalisation, et tantôt d'un tronçon de canal entièrement artificiel. C'est ce qu'on nomme un canal latéral.

Ecluse-. — Sur la rivière canalisée, comme sur le canal creusé de main d'homme, les bateaux passent d'un bief à l'autre au moyen des écluses dont l'introduction en France est due au célèbre peintre Léonard de Vinci. Une écluse se compose d'un bassin nommé sas. qu'on creuse entre les deux biefs et qui est séparé de chacun d'eux par une porte mobile retenant l'eau en amont, mais pouvant donner passage au bateau quand on l'ouvre.

Par l'écluse, le bateau peut, à volonté, remonter du bief d'aval dans le bief d'amont, ou suivre la route inverse. Dans le premier cas, en ouvrant la porte du sas en aval, l'eau prend le même niveau dans le sas et dans le bief d'aval, et le bateau peut passer du second dans le premier. On referme alors la porte d'aval et on ouvre la porte d'amont. L'eau du bief d'amont entre dans le sas, en élève le niveau. Le bateau flottant toujours se trouve ainsi soulevé, jusqu'à ce que le même niveau se trouve établi entre le sas et le bief d'amont. Il peut dès lors passer sans difficulté dans celui-ci.

Nous avons expliqué théoriquement la manœuvre de l'écluse ; en pratique on n'ouvre pas tout d'abord la porte du sas, mais seulement une vanne plus petite, par où l'eau passe plus lentement, de manière à ne pas dégrader par ses tourbillons la maçonnerie de l'ouvrage. La porte entière ne s'ouvre que lorsque le niveau étant près de s'établir, le danger n'est plus à craindre. Dans le cas où le bateaudoit descendre l'écluse au lieu de la remonter, c'est la porte du sas en amont qu'on ouvre la première, et celle d'aval en second lieu.

On voit que chaque fois que les deux portes de l'écluse s'ouvrent, soit pour la remonte, soit pour la descente, il passe du bief d'amont dans le bief d'aval un volume d'eau équivalentau parallélipipède dont la base serait égale à celle du sas et la hauteur à la diflërence de niveau d'eau entre le bief d'amont et le bief d'aval.

On ne peut donc établir de barrage et d'écluse sur une rivière ou un canal, qu'autant 'que l'eau y sera en quantité suffisante pour alimenter ce débit.

Canaux à point de partage. — Ce qui précède s'applique aux rivières canalisées ou aux canaux qui n'ont à suivre qu'une seule pente. Mais pour réunir deux rivières différentes entre elles, il faut faire franchir au canal le faîte qui sépare leurs deux bassins. On n'y réussit qu'à la condition de pouvoir rassembler en un point de cette ligne de faîte une quantité d'eau suffisante pour alimenter deux canaux descendant en sens inverse de ce point vers chacune des deux rivières à réunir. C'est ce qu'on appelle alors canal à point de partage. Leur avantage est de réunir deux bassins différents. Leur construction est facile dans les paj's peu accidentés où le faîte de partage à franchir n'est pas élevé, comme entre la Seine et la Loire, ou d'une épaisseur assez faible pour être traversé en tunnel comme entre la Somme et l'Escaut. Les'Vosges ont également été percées pour donner passage au canal de la Marn ,' au Rhin.

II. Description des canaux de la France. — Voyons maintenant quels sont les principaux canaux de la France.

Jonction entre la Seine et la Loire. — C'est Henri IV qui a fait commencer le premier canal français, celui de Liriare. destiné à réunir la Loire à la Seine. Il quitte la Loire à Briare et se sépare à Moniargis en deux branches, le canal d'Orléans,

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qui rejoint la Loire à Orléans,et le canal du Loing, qui suit cette dernière rivière jusqu'à son embouchure dans la Seine k Moret.

La Seine est encore unie à la Loire par le canal du 2<ivernais qui atteint la Loire à Decize et l'Yonne à Clamecy.

Jonction entre la Seine et la Saône. — Elle communique avec la Saône par le canal de Bourgogne, qui quitte lYcnne à la Roche, entre Auxerre et Joigny, et atteint la Saône à Sami-Jean-de-Losne après avoir traversé Dijon.

Affluents navigables de la Seine. — La Seine canalisée depuis Troyes, l'Aube sur quelques kilooiètres en amont de son embouchure, l'Yonne, la Marne, amènent à Paris un important mouvement de batellerie. A Paris même, le canal de VOwcg débouche dans le bassin de la Villette, il sert à la fois à la navigation et à 1 alimentation de la ville •en eau. Du bassin de la Villette descendent deux ■canaux opposés : le ca?ial >^aint-Martin qui aboutit dans la Seine, au pont d'Austerlitz, et le canal Saint-Denis qui conduit à cette dernière ville. Ces deux canaux permettent h la batellerie d'éviter la traversée de Paris. Mais l'Oise est de toutes les rivières de France celle dont le tonnage est le plus ■considérable. Elle transporte annuellement près de deux millions de tonnes fournies surtout par •îes houilles du IS'ord et de la Bf^lgique.

Jon.tion entre la Sei?2e et la Meuse. — Par l'Aisne •et le canal des Ardennes qui atteint la Meuse à Donchery, entre Sedan et Mézières, la Seine et î'Oise communiquent avec la Meuse.

Par le canal de V Ais7ie à la Marne, qui traverse Reims, l'Oise et la Marne sont mises en communication directe.

Les deux bassins de la Seine et de la Meuse sont encore reliés par le canal de l'Oise à la Snnihre qui aboutit sur cette dernière rivière à Landrecies, •et forme la voie la plus directe entre le bassin houiller de Charleroy, en Belgique, et Paris.

Jonctiû7i entre la Sei7ie et la Somme. — L'Oise communique avec la Somme par le canal de Crozat qui va de la Fère, sur l'Oise, à Saint-Quentin sur ia Somme. Le canal latéral à la Somme conduit de Saint-Quentin jusqu'à son embouchure.

Jonction entre la Somme et l'Escaut. — Le canal de Saint-Quentin \a.&e la Somme à l'Escaut qu'il joint à Cambrai.

Canaux du Nord et du Pas-de-Calais. — Dans ies plaines de la Flandre et de l'Artois, les canaux sont fort nombreux. L'Escaut et ses deux principaux affluents français, la Scarpe et la Lys. sont tous trois navigables ou canalisés; l'Escaut se joint au canal de Saint-Quentin et traverse l'important bassin houiller de Valenciennes ; la Scarpe est canalisée depuis Arras, et la Lys depuis Aire.

L'Escaut se joint à la Scarpe, par le canal de la Sensée 'affluent de la Scarpe), qui se sépare de l'Escaut, entre Cambrai et Bouchain, et se réunit à la Scarpe, un peu en amont de Douai. : La Scarpe se joint à la Lys par le canal de la ■Deule. Cette rivière, affluent de la Lys, alimente le canal du même nom, qui va de Douai sur la la. Scarpe, à Deulemont situé au confluent de la Deule et de la Lys, sur la frontière de Belgique. Le canal de la Deule traverse Lille et est relié à l'important centre manufacturier de Roubaix, par le canal de Roubaix.

Par le canal à' Aire à la Bassée, le canal de la Deule est mis une seconde fois en communication avec la Lys, dont la navigation propre commence à Aire.

De là le canal de Neuff'ssé va gagnera Saint- Omer l'Aa. Ce petit fleuve est canalisé jusqu'à son embouchure dans la mer à Gravelines, et est relié avec le port de Calais par le canal de Calai<, et avec celui de Dunkerque par le canal de Bourhourg.

Jonction entre la Seine et le Rhin. — Le bassin de la Seine est relié avec celui du Rhin par le canal de la Marne au Rhin, qui quitte le canal latéral à la Marne à Vitry-le-Français, franchit la vallée de la Meuse, puis celle de la Moselle, dessert Nancy, traverse les Vosges dans un tunnel et aboutit au Rhin, près de Strasbourg.

Nouveau canal de P tst. — Des travaux en cours d'exécution auront bientôt rendu la Meuse navigable depuis Pagny où passe le canal de la Marne au Rhin jusqu'à la frontière belge, la Moselle depuis tpinal, la Mcurihe depuis Nancy. Pour remplacer l'ancien canal de l'Est ou du Rhône au Rhin, dont la partie alsacienne nous a été enlevée en 1S71, on creuse en ce moment le nouveau canal de l'Es', qui remonte la Saône, joint la Moselle près d'Épinal, projette un embranchement sur cette ville, un second sur Nancy, quitte la Moselle à Toul pour franchir la ligne de faîte entre la Moselle et la Meuse et redescend dans la vallée de ce fleuve à Pagny pour le suivre jusqu'à Givet.

Au moyen de ce canal les bassins houillers de Belgique, les hauts fourneaux des Ardennes, de Meurthe-et-Moselle et de la Haute-^Iarne seront mis en communication économique et directe entre eux et avec le midi de la France.

De l'ancien canal de l'Est, il ne reste plus à la France qu'un petit tronçon en amont de Montbéliard se dirigeant vers Mulhouse.

Jonction du Rhin, du Rhôue et de la Loire. — A partir de Montbéliard, le Doubs canalisé et la Saône forment une importante ligne de navigation jusqu'à Lyon.

Canal du Centre et canal latéral à la Loire. — Le canal du Centre ou de Digoin se détache de la Saône à Chalon et joint à Digoin la Loire ou plutôt le ca}ial latéral qui suit ce fleuve depuis Roanne jusqu'à Briare. Le canal du Centre dessert le Creusot, ses forges et l'important bassin houiller don', il est le centre.

Le Rhône. — A partir de Lyon, le Rhône ofi're un cours trop rapide et un débit trop irrégulier pour former une importante voie navigable. La batellerie le suit à la desencte, mais le trafic est pour ainsi dire nul à la remonte. Il est sérieusement question de construire un canal latéral qui pourrait servir pendant l'hiver à la navigation et pendant l'été à l'irrigation. Car c'est durant cette dernière saison que le Rhône et ses affluents gonflés par la fonte des neiges offrent un débit suffisant pour que le fleuve soit navigable.

A Givors, à quelques lieues en aval de Lyon, débouche dans le Rhône le canal de Givors qui amène, en suivant la vallée du Gier, les houilles et les fers de Saint-Étienne.

Jonction entre U Rhône et la Garonne. — Canai de Beiiucaire et des Etajigs. — A Beaucaire, une importante ligne de navigation quitte le Rhône, c'est le cnjial de Beaucaire qui, prolongé par celui des Etangs, atteint Cette, où commence le canal du Midi ou du Languedoc.

Canal du Midi. — Ce dernier s'appelle encore canal des deux mers parce qu'il joint la Méditerranée, à Cette, avec la Garonne, affluent de l'Océan Atlantique. Sa construction remonte au règne de Louis XIV, et a illustré le nom de Riquet, qui en fut l'auteur. Son alimentation sur la chaîne de partage entre le bassin de l'Aude et celui de la Garonne se fait au moyen de grands réservoirs trèscurieux.

Canal latéral à la Garonne. — Le canal du Midi finit à Toulouse dans le canal latéral à la Garonne qui suit le fleuve jusqu'à Castets, entre la Renie et Langon. Le Tarn, le Lot et la Dordogne sont en en partie navigables, mais il n'y a de navigation un peu importante que sur la Dordogne inférieure.

Canal du Berri. — Dans le bassin de la Loire,

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