V. — Un fermier qui a emprunté 15000' pour

ans veut s- libérer de 3000' au bout de 18 ans; qu'aura-t-il à payer, et de combien son annuité ^era-t-elle réduite?

Réponse : 11 aura à payer 2"-90',9G ; et son annuité sera diminuée del74',G3.

CRISTAL

VI. — Un propriétaire qui a emprunté 200 000' pour 5» ans (d'à près le 2* 7nof/e) veut se libérer de 40 00U' au bout de 25 ans; qu'oura-t-il à payer, et de combien son annuité sera-t-elle réduite?

Réponse: Il aura à payer 32 802', 05; et l'annuité sera réduite de 2 000'.

[H. Sonnet.l CRISTAL ET CRISTALLISATION. — V. Minéralogie, p. 1312. — La cristallisation est l'opération pendant laquelle un corps prend de lui-même la forme qui lui est propre, et devient un cristal. Tant que dure leur état gazeux ou liquide, les particules d'un corps sont maintenues à un degré extrême de division ; elles se meuvent avec la plus grande facilité les unes par rapport aux autres. Lorsqu'elles passent à l'état solide, elles peuvent le faire de deux manières : ou bien instantanément ; elles sont alors saisies brusquement, pour ainsi dire, dans la position qu'elles occupaient; ou bien lentement ; c'est la condition la plus favorable à la cristallisation ; car elles s'orientent les unes par rapport aux autres, et la masse qui résulte de leur agrégation revêt une forme extérieure géométrique.

Le sel marin, appelé aussi à cause de ses usages sel de cuisine, composé de chlore et de sodium, estsoluble dans leau; une partie d'eau peut dissoudre environ 27 fois son poids de sel marin à la température ordinaire; mais, lorsque l'eau s'évapore, le sel, qui est bientôt en proportion trop forte, reprend son état solide, et se présente alors en parallélipipèdes, c'est-à'dire en petits solides à 6 faces parallèles deux à deux et rectangulaires entre elles.

L'eau elle-même, lorsqu'elle est suffisamment refroidie, devient solide, et porte le nom de glace. La glace est cristallisée. Les cristaux qui composent la neige se montrent souvent groupés en forme de polygones étoiles, qu'on peut toujours décomposer en 6 parties semblables.

Du soufre fondu dans un creuset, abandonné à un refroidissement lent, cristallise aussi : si l'on perce la croûte solide dans le creuset, avant la solidification de toute la masse, et si l'on fait écouler par ce trou la partie restée liquide, on voit, en sciant le creuset, sa paroi intérieure tapissée d'aiguilles cristallines, de parallélipipèdes, dont deux faces très étroites sont obliques sur le prisme formé par les quatre autres faces. L'arsenic volatilisé peut être sublimé sur des surfaces froides, et se présente en jolis cristaux qui appartiennent à ce qu'on nomme en cristallographie le système rhomboédrique. Le verre n'est pas cristallisé ; les particules qui le composent sont associées pêlemêle, irrégulièrement; aussi le verre ne présentet-il jamais naturellement une forme extérieure régulière. On le taille à facettes, et sous cette forme, on l'appelle cristal ; mais les verres ainsi taillés ne sont que des imitations de cristaux. Le caractère d'un cristal, c'est que non seulement sa forme extérieure, mais toute sa masse est soumise à un arrangement symétrique et régulier.

On a pu amener à l'état cristallisé presque tous les composés chimiques connus. On sait que chacun d'eux peut se présenter sous des aspects très variés au premier abord ; mais ces formes, quelquefois très nombreuses, peuvent toujours, être ramenées à un type commun dans les échantillons de même composition chimique, au moyen des lois suivantes :

1" Les cristaux sont des polyèdres réguliers, dont les faces sont normalement planes.

2° Ce sont des polyèdres convexes, c'est-à-dire

des polyèdres tels que si on applique un plan sur

une de leurs faces, tout le polyèdre est situé d'un

seul et même coté de ce plan.

3* Si l'on mesure les angles de deux faces dans

une forme déterminée d'une certaine substance, par exemple du soufre fondu, et refroidi lentement, on voit que cet angle est toujours le môme, quel que soit l'échantillon sur lequel on le mesure. Cet angle varie au contraire d'une espèce à une autre. Le cristal de i-oche ou quartz a la forme de prismes hexagonaux terminés par des pyramides à six faces. Dans tous les cristaux de quartz, quelle que soit leur couleur, quelle que soit leur provenance, l'angle d'une face de la pyramide et d'une face adjacente du prisme est constamment de 141°, 4T. Dans le phosphate de chaux, appelé ojDrtfiYe, la forme générale est la même; mais l'angle d'une face du prisme et d'une face de la pyramide est de 130", J3', et il a cette valeur dans tous les cristaux d'apatite. Cette loi de la constance des angles dans la même espèce est fondamentale. C'est à Rome de Lisle qu'on en doit l'énoncé.

Les autres lois qui ont élucidé toute la cristallographie ont été formulées nettement pour la première fois par Hatiy. Elles sont connues sous le nom de lois de symétrie. Elles suffisent pour faire comprendre comment toutes les formes observées dans les corps cristallisés peuvent être ramenées à six types principaux. L'ensemble d'un type et des formes qui s'y rattachent en obéissant à ces lois constitue un système cristallin. En vertu de ces lois, une des formes du système étant connue, on peut prévoir toutes les autres. Avant de les exposer, abordons l'étude des systèmes cristallins.

Premier système: système cubique. — Le type est le cube, parallélipipède à faces égales et rectangulaires entre elles. Exemples: le sel marin ou sel gemme, chlorure de sodium ; la galène ou sulfure de plomb ; la fluorine ou fluorure de calcium; les aluns.

La galène est souvent cristallisée en cubes; sou-

Fig. 1.

Cube tancent à l'ociaèdre.

vent aussi les angles des cubes sont remplacés par des facettes planes triangulaires (V. figure du cubo-octaèdre). Le cube a huit angles, et ces

Tétraèdre.

Fij?. 3. — Cube.

huit angles sont tous modifiés; on conçoit qu'il en doit être ainsi; car il n'y a pas de raison pour qu'un angle porte une facette plutôt qu'un autre, puisque dans un cube tous les angles solides à

CRISTAL

trois faces sont composés d'angles plans égaux :i ÎIO". Les angles solides sont semblables. Ils se modifient tous à la fois, et tous de la môme façon. Si l'on suppose maintenant que les facettes triangulaires qu'on voit naître sur les angles ou sommets du cube se développent davantage, les petits côtés de l'octogone qui a remplacé chaque face du cube deviennent de plus en plus longs et les faces du

Fig. 4. — Cubo-octaèdre.

Fig. 5. — Octaèdro-cube.

cube de plus en plus courtes. La figure de l'octaèdro-cube nous montre les huit faces placées sur les angles plus développées; elles se coupent mutuellement et leurs lignes d'intersection dessinent déjà la forme suivante (fig. de l'octaèdre), tandis que les faces du cube primitif sont réduites à de petits carrés. Dans la figure de l'octaèdre, les facéties symétriques enveloppent et masquent les

Fig. 6 —Octaèdre. Fig.7.— Dodécaèdre rhomboïdal.

faces du cube. Les faces de cet octaèdre sont, comme on voit, également inclinées sur les trois faces adjacentes concourant à former l'angle solide du cube qu'elles remplacent. Si au lieu de pose;un plan sur l'angle du cube, on le pose sur une arête ; comme toutes les arêtes ont la même longueur et correspondent à des angles dièdres de :90°, égaux entre eux dans le cube, toutes les arêtes devront porter un plan dans la même position. Puisque les deux faces qui forment l'arête ne diffèrent en rien l'une de l'autre, le plan devra être également incliné à droite et à gauclie de l'arête ; si les douze plans dont chaque arête est ainsi chargée se rencontrent, ils se coupent quatre à quatre au-dessus des faces du cube, trois par trois vis-à-vis de ses angles, et donnent lieu au solide qu'on appelle dodécaèdre rliomboïdal, parce qu'il est formé de douze faces, et parce que ces faces ont la forme de losanges ou de rhombes, comme l'indique la symétrie (fig. 7).

La méthode que nous avons employée pour j montrer le passage du cube à l'octaèdre régulier s'appelle méthode des troncatures; elle repose uniquement sur l'application des lois de symétrie. Ces lois sont des plus simples, elles portent : 1° que toutes les parties semblables d'une forme se modifient ensemble; 2» qu'elles se modifient toutes de la même façon. Pour être semblables, les faces doivent avoir la même forme et la même étendue ; les arêtes doivent être de même longueur et correspondre à des angles dièdres égaux ; les angles solides doivent être formés du même nombre d'angles plans égaux semblable ment disposés.

La seconde méthode, celle que nous avons appli-

quée pour faire concevoir la formation du dodécaèdre rhomboïdal, est dite méthode des plans tangents. Les plans, au lieu d'enlever peu à peu les angles ou les arêtes, leur sont tangents. Les lois do symétrie sont également la base de cette méthode.

Enfin, il est un troisième moyen de concevoir les connexions du cube, de l'octaèdre régulier, du dodécaèdre rhomboïdal. Si l'on mène une droite du milieu d'une face du cube au milieu d'une face opposée, comme toutes les faces sont semblables, et qu'elles sont au nombre de six, il y aura dans un cube trois de ces lignes qu'on appelle des axes. Les axes sont, comme il est facile de le voir, des lignes menées par le centre parallèlement aux arêtes : ils sont égaux et rectangulaires entre eux. I/octaèdre régulier n'est pas autre chose que l'ensemble de huit plans qui rencontrent les trois axes à des distances égales du centre. Le dodécaèdre rhomboïdal, c'est un solide formé de douze plans parallèles à l'un des axes, et coupant les deux autres à des distances égales, en comptant toujours ces distances à partir du centre.

Le système cubique se compose non seulement du cube, de l'octaèdre régulier, du dodécaèdre rhomboïdal. mais encore de formes à :2i ou à 48 faces. 11 est toujours facile de reconnaître que ces formes appartiennent au système cubique, fn étudiant la composition de leurs angles solides, de ceux surtout qui comprennent le plus d'angles plans, ou mieux encore, en menant, par le centre du cristal, des axes qui joignent les sommets de CCS angles solides. On voit aisément qu'une de ces formes, le cube pyramide, peut être considérée comme un cube dont toutes les faces seraient surmontées de petites pyramides à quatre faces triangulaires. C'est par les sommets de ces pyramides que passent nos trois axes rectangulaires. Les quatre angles dièdres qu'on observe autour de soi, en se plaçant par la pensée dans l'un de ces axes, sont égaux pour chacune de ces pyramides.

Deux autres formes ont aussi 24 faces ; dans l'une, nommée traj>é:oèdre, les faces sont des quadrilatères ayant leurs côtés adjacents égaux deux à deux ; elles se rencontrent aux e.xtrémités des axes, autour desquelles elles donnent lieu à quatre angles plans et à. quatre angles dièdres égaux. Dans l'autre, les faces sont des triangles isocèles ; autour des axes, on observe huit de ces faces ; cette forme est appelée octolrièdre.

Enfin, an système cubique appartiennent encore les scalénoèdres, composés de 4S faces, qui se coupent liuit par huit autour des axes précédents.

Toutes ces formes peuvent se combiner par deux, trois, etc.; l'on en observe par conséquent une grande variété, qu'on peut toujours reconnaître au moyen des trois axes, et de la disposition symétrique des groupes de quatre angles dièdres égaux qui les entourent.

Deuxième si/stètne : système qiadp.atujue. — La