ABC = AB X ^ A

et ACD

CD Xj^.

ABC -h ACD = ABCD = J A (AB 4- CD)

AB -f- CD

.est-à-dtre que l'ave du trapèze a pour mesure la demi-S'Hime de ses bases multipliée par sa hauteur (y .Polygones, p. 1G60).

On sait que cette demi-somme des bases équivaut à la droite qui joint les milieux des côtés non parallèles.

Si l'on a, par exemple,

128'°, CD = 94" et ^ = Sô"

la somme des bases étant 222°", la demi-somme sera 111", et l'aire du trapèze aura pour expression

lll^X^S" ou 943i"q.

En mesures agraires, ce nombre équivaudrait à 94 ares 35 centiares.

Remarque. — Quand le trapèze est rectangulaire, sa hauteur est la longueur du côté perpendiculaire aux deux bases.

5. Mesube d'ux polygone quelconque. — Pour mesurer l'aire d'un polygone quelconque, on peut le diviser en triangles, par des diagonales issues d'un même sommet, ou par des droites menées d'un point intérieur à tous les sommets. La somme des aires de ces triangles est l'aire du polygone.

Mais il est plus commode dans la pratique (et c'est le procédé qu'emploient les arpenteurs) de

diviser le polygone en trapèzes rectangulaires et en triangles rectangles. Pour cela on joint les sommets les plus éloignés A et E (fig. 5), et de tous les autres sommets on abaisse sur AE les perpeidiculaires B??i, Cw, Dp, Yq, Gr. On mesure ces perpendiculaires, ainsi que toutes les parties de AE, et l'on a tous les éléments nécessaires pour évaluer l'aire des iriangles rectangles et des trapèzes rectangulaires dans lesquels le polygone est décomposé y. Arpentage ,p. 191), 6. JIesure d'un polygone régulier. — Si l'on

Fig. 6.

joint le centre 0 (fig. 6) d'un polygone régulier ABCDEFG de n côtés à tous les sommets, on le divise en n triangles isocèles égaux AOB, BOC,^ etc. Pour évaluer l'aire du polygone, il suffit donc d'évaluer celle de l'un de ces triangles, et de la répéter n fois. Le triangle BOG, par exemple, a pour mesure

BG X 5 01, la droite 01 étant l'apothème CV. Polygones réguliers); l'aire du polygone sera donc exprimée par BG X :; 01 X n, ou par BG X « X :; 01.

Or BG X n représente le périmètre du polygone ; on voit donc que l'aire a'un p'iygone régulier a pour mesure le produit de son périmètre par la moitié de son apothème.

Prenons pour exemple l'hexagone régulier. Si W désigne le rayon du cercle circonscrit, R représentera aussi le côté du polygone, et OR sera son périmètre. Pour obtenir soii apothème, on remarquera qu'il est l'un des côtés d'un triangle rectangle (ana-

AIRES

logue à BIO) dont l'hypoténuse est R et l'autre côté de l'angle droit -R; en appelante l'apothème, on a

Aî = R. 1r2=^R2, d'où h = '^-

L'aire de rhexagone a donc pour expression - . 6R . ou '- , ce qui revient à peu près

7. Aire nu cercle. — Un cercle peut être considéré comme un polygone régulier dont les côtés sont infiniment petits et en nombre infiniment grand; son aire peut donc être mesurée comme celle d'un polj'gone régulier. Mais le périmètre devient ici la circonférence du cercle, et l'apothème se confond avec le rayon ; on peut donc dire que l'ai7-e d'un cercle a pour mesure le produit de sa circonféi'ence par la moitié de son rayon.

Si le rayon est R, le diamètre est 2R, et la circonférence est 2R X TT, en désignant par n le rapport de la circonférence au diamètre, ou 3,1415926... ou à peu près 3,1416. L'aire du cercle a donc pour

expression 2R X 7t X ^R ou "R*- C'est-à-dire qu'on

obtient l'aire du cercle en mvltipliant le carré de S071 rayon par le rapport de la circonférence au diamètre.

Soit, par exemple, R = 4", on aura pour l'expression de l'aire :

le-nqX 3,1416 ou 50'°'î26'î'!56ci.

7. Mesure d'une aire terminée par un contour crnviLiGXE QUELCOXQUE. — On peut toujours, par un procédé analogue à celui que représente la figure 5, diviser la figure en triangles rectangles ei en trapèzes rectangulaires dont un seul côté est curviligne. Et comme le cas du trapèze comprend celui du triangle, puisque c'est celui où l'une des bases du trapèze s'annule, tout revient à savoir évaluer l'aire d'un trapèze curviligne tel que celui qui est représenté par la figure 7.

Fig. 7.

Pour y parvenir, on divise la droite al en parties égales assez petites pour que, en élevant par les points de division des perpendiculaires à al, on obtienne des arcs AB, BG, etc., que l'on puisse regarder comme sensiblement rectilignes ; on n'a à évaluer alors qu'une somme de trapèzes rectangulaires. Soit e leur hauteur commune, et désignons par ho, hi, h^, . . . , hn leurs bases. Ces trapèzes auront successivement pour mesure

\e.{K + K), \e{hi + h^), \e{hi + h)....

|e(/jn-l -f hn),

dont la somme peut s'écrire

c'cst-à-dirc qu'i/ faut prendre la demi-somme des bases extrêmes, y ajouter la somme de toutes les autres bases, et multiplier le total par la distance de deux bases consécutives.

8. On nomme aussi aire la superficie des surfaces courbes (V. Corps ronds). [H. Sonnet.^

AIRES (Comparaison des). — Géométrie, XVII , — Les relations que cette comparaison peut mettre en évidence sont en nombre indéfini; mais en n'insiste que sur celles qui sont d'une application continuelle.

1. Le rapport de deux rectangles est égal au rapport de leurs bases midtiplié par le rapport de leurs hauteurs.

Soient, en effet. A, B, H, l'aire, la base et la hauteur d'un rectangle, A', B', H' les quantités analogues pour un second rectangle ; on aura (V. Aires [Mesure des])

A = B X H et A' = B' X H',

d'où, en divisant membre à membre, A A'

Corollaires. — I. Si les hauteurs sont égales, les rectangles sont entre eux comme leurs bases ; si les bases sont égales, les rectangles sont entre eux comme leurs haideurs.

2. Le rapport de deux parallélogrammes est égal au rapport de leurs bases multiplié par le rapport de leurs hauteurs.

Même démonstration et mêmes corollaires qu'au n" 1.

3. Le rapport de deux t)'i angles est égal au rapport de leurs bases multiplié par le rapport de leurs hauteurs.

Même démonstration et mêmes corollaires qu'au n" 1.

4. Deux triangles qui ont un angle commun sont entre eux comme les produits des côtés gui comprennent l'angle commim.

Soient, en effet, ABC et \mn (fig. 1) deux triangles qui ont un angle commun A. Tirons mC Les deux

Fig. 1.

triangles Amn et AmC, ayant le sommet m commun et leurs bases An et AC sur une même hgne droite, ont même hauteur, et sont par conséquent entre eux comme leurs bases. On a donc

Amn Aw

KmC " AG* Par une raison semblable, les triangles AmC et ABC, qui ont le sommet C commun, sont entre eux comme leurs bases Am et AB. On a donc AmC __ Am ABC " AB' Si l'on multiplie membre à, membre les deux relations ainsi obtenues, et que l'on supprime le facteur AmC devenu commun aux deux termes du premier membre, il reste

Amn Am X An ABC "" AB X AC* Remarque. — La même proposition s'applique à deux triangles séparés qui auraient un angle égal; car on le rendrait commun en superposant les deux triangles comme dans la figure 1.

5. Deux triangles semtAables sont entre eux comme les carrés de deux côtés homologues.

AIRES

Soient A et A' les aires de deux triangles, o, b, c les côtés du premier, a', b', c' les côiés homologues du second. Les angles opposés aux côtés homologues a et a' étant égaux, on a, en vertu de la proposition du n" 4 :

Mais les triangles étant semblables ont leurs côtés homologues proportionnels (V. Po/î/5ro?ie5, p. 1G62);

on peut donc remplacer le rapport - par son

peut

et il vient

ou —, =

Ce qu'il s'agissait de démontrer.

On aurait de même

Remarque. — On peut, au rapport de deux côtés homologues, substituer le rapport de deux hauteurs homologues.

G. Théorème de Pythagore. — Dans un triaiigle rectangle ABC (fig. 2) le carré de l'hypoténuse équivaut à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit.

Fig. 2.

Abaissons, en effet, du sommet C de l'angle droit la perpendiculaire CD sur l'hypoténuse AB.

Le triangle ACD, rectangle en D, a l'angle en A commun avec le triangle total; ces triangles sont donc semblables; et l'on a, en comparant leurs cotes homologues,