CB = ÂB' *^'°^ ^^* = DE X AB
Ajoutant membre à membre ces deux égalités, on obtient
ÏC*-fBC* = ADX AB+DB X AB = ( AD+DB)X AB
__ = AB X AB = ÂbI Or AC , BG , AB mesurent respectivement l'aire
des carres construits sur les trois côtés du triangle ; le carré construit sur l'hypoténuse équivaut donc à la somme des deux autres.
(V. une autre démonstration de ce théorème, p. 1 061) Corollaires. — I. Les deux premières relations démontrent en même temps que chnque côté de l'angle droit est moyen proportionnel entre sa projection sur l'injpoténuse et iliypoténuse entière. n. Des deux relations ci-dessus on déduit IC^ AD X AB AD BG" ~ BB X AB ~ BD ' c'est-à-dire que les carrés des deux côtés AC et BC de l'hypoténuse sont entre eux comme les segments AD et BD de l'hypoténuse.
111. Les deux triangles partiels, semblables au triangle total, sont semblables entre eux; et, en comparant leurs côtés homologues, on obtient
êïï = i - CD^ = ADXDB
c'est-à-dire que la perpendiculaire CD est moyenne proportionnelle entre les deux segments de l'hypoténuse.
1. Deux polygones semblables sont entre eux comme les carrés de deux côtés homologues.
On a vu (V. Polygones, p. 16G3) que doux polygones semblables peuvent toujours se décomposer en un môme nombre de triangles semblables chacun à chacun. Soit P l'aire du premier polygone, T, T', T", etc., les aires des triangles dans lesquels il est décomposé, A, B, C, etc., des côtés appartenant respectivement à ces triangles ; et soient p, t, t', t", etc., a, b, c, etc., les grandeurs homologues dans le second polygone. En vertu de la proposition démontrée au n" 6, on aura
et ainsi de suite.
Mais les seconds rapports étant tous égaux, puisque les polygones sont semblables, il en est de même des premiers, et l'on peut écrire
rp rrrf rp//
ou, en vertu d'une propriété connue des proportions (V. Proportions),
— èl
ou, ce qui revient au même,
P Af^
Ce qu'il s'agissait de démontrer.
Remarques. — L Si les côtés homologues étaient dans le rapport de 1 à 2, les surfaces des polygones semblables seraient dans le rapport de 1 à -4. Si les côtés étaient dans le rapport de 1 à 3, les surfaces seraient dans le rapport de 1 à 9. Si les côtés étaient dans le rapport de 1 à 10, les surfaces seraient dans le rapport de I à lOO. Et ainsi de suite.
Si, au contraire, on voulait que les surfaces fussent dans le rapport de 1 à 2, il faudrait que les côtés homologues fussent dans le rapport de
1 à \ 2. Pour que le rapport des surfaces fût celui de I à 3, il faudrait que le ragport des côtés homologues fût celui de 1 à y 3. Pour que le rapport des surfaces fût celui de 1 à 10, le rapport
des côtés devrait être celui de 1 à V'iO. Et ainsi de suite.
IL Au lieu des côtés homologues on pourrait
AIRES — 3Î
considérer les diagonales homologues, car elles j sont proportionnelles aux côtés homologues.
8. Deux pol'igones réguliers d'un même nombre de côtés sont entre eux comme les carrés de leurs ' rayons ou comme les carrés de leurs apothèmes. \
Deux polygones réguliers d'un même nombre de ; côtés sont des figures semblables (V. Pob/gones ■ réguliers ; et si Ton mène des raj'ons à tous les . sommets, les triangles ainsi obtenus dans les deux polygones sont des triangles semblables, dont les hauteurs sont les apothèmes ; ainsi les côtés, les rayons et les apothèmes sont proportionnels.
Si donc P représente l'aire du premier polygone, c son côté, R son rayon, /i son apothème, etP', c',R',/i' les quantités ana'logues pour le second polygone, on aura d'abord, en vertu de la proposition du n" 7,
) — AIRES
Une seconde construction semblable réduira le quadrilatère AIDE à un triangle ; la moyenne proportionnelle entre la base et la moitié de la hauteur de ce triangle sera le côté du carré demandé.
Mais, puisqu'on a
on peut écrire
Ce qu'il s'agissait de démontrer.
9. Deux cercles so7ît entre eux comme les carrés de leurs rayons, ou comme les carrés de le rs dU/metres.
Car, si A et A' désignent les aires de deux cercles, R et R' leurs rayons, on a
A = •âRî et A' = -R-s, d'où
A 7^ R2 A' ~ 7:R'2 ~ R's" Les diamètres, étant le double des rayons, sont dans le même rapport ; en les désignant par D et D', on peut donc écrire aussi
10. La comparaison des aires donne lieu à divers problèmes, dont les plus usités doivent être traités
Construire un carré équivalent à un rectangle donné.
Soient B et H la base et la hauteur du rectangle, et X le côté du carré demandé. On devra avoir
c'est-à-dire que le côté cherché est la moyerine proportionnelle entre la base et la hauteur du rectangle (V. Lignes proportionnelle-').
