AB : BC = DE : £F

co qu'il fallait démontrer.

Kemarque. On a aussi la proponion AB : AC = ils devraient être tous deux perpendiculaires à la j DE : DF. droite BA abaissée du point B perpendiculairement , 18- ,- S^ deux angles ABC, DEF yfig. 9) ont, à MN. On pourrait donc, par un même point, me- \ dans l espa'je, leurs cotes parallèles et diriges dan^ ner deux plans perpendiculaires aune même droite, ce qui est impossible.

IL De"X plans parallèles ù un troisième so^H parallèles entre eux. Car si l'on mène une perpendiculaire au troisième, elle sera aussi perpenrdiculaire aux deux premiers; or, deux plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre eux.

IC. — Les portions AC et BD (fig. 7) de deux parallèles, comprises entre deui plans parallèles

le même sens, ils sont égaux, et leurs plans sont parallèles.

Prenons BA=ED.BG = EF; etjoignons AB,BE, CF, AD, DF. Les droites AB et DE étant égales et parallèles, la figure ABED estun parallélogramme. Par une raison analogue la figure BCFE est aussi un parallélogramme. lien résulte AD=-BE = CF. Par conséquent la figure ACFD est aussi un parallélogramme, et Ton aAC = DF. Dès lors les triangles ABC et DEF étant égaux comme ayant leurs côtés égaux chacun à chacun, il en résulte que les angles ABC et DEF sont égaux.

Les plans de ces angles sont en même temps parallèles. Car s'ils ne Tétaient pas, comme le plan ABC est mené par une droite AB parallèle à DE, il devrait couper le plan DEF suivant une parallèle à AB et par conséquent à DE: mais comme co même plan ABC est mené par une droite BC parallèle à EF, il devrait couper le plan DEF suivant une parallèle à EF. Ces deux conditions étant contradictoires, il s'en suit que le plan ABC ne saurait couper le plan DEF ; donc ces plans sont parallèles.

19. — Soit AO (fig. 10) une droite qui rencontre en O un plan MN. D'un point quelconque A de cette droite, abaissons sur le plan la perpendiculaire AC, et joignons OC. Cette droite OC est ce que Ton appelle la projection de la droite OA sur le plan MN.

On peut remarquer d'abord que cette projection

Fis.

MN et PQ, sont égales. Car si, par les deux parallèles AC et BD on fait passer un plan, il coupera les deux plans MN et PQ suivant deux parallèles AB et CD. La figure ABDC sera donc un parallélogramme, et l'on aura AC = BD.

Remarque. Le théorème subsiste lorsque les deux parallèles données sont perpendiculaires aux deux plans MNetPQ; mais alors ces perpendiculaires mesurent la distance des deux plans, puisque toute oblique serait plus longue. On peut donc directe deux plans parallèles sont partout également distants.

1 7. — Deux droites quelconques ABC, DEF (fig. 8) sont coupées proportionnel lemeyit par trois plans parallèles MN, PQ, RS. Menons, en effet, AHI parallèle à DEF. En vertu du théorème précédent on aura AH = DEetHI = EF Par les deux droites

rpste la même quel que soit le point de OA d'où l'on abaisse la perpendiculaire. Car si BD est une seconde perpendiculaire abaissée sur MN d'un point de OA, les deux perpendicuhiires sont parallèles

ri g. 10.

entre elles, et déterminent un plan, qui contient AB et par conséquent le point O ; l'intersection CD de ce plan avec le plan MiV passe donc par le point 0.

L'angle dune droite et d'un plan est Vangle que fait cette droite avec sa projection sur ce plan. Ainsi l'angle de OA avecle plan MN est l'angle AOC.

Cet angle est plus petit que celui que ferait OA avec une autre droite quelconque 01 menée dans le plan MN par le point O. Car si l'on prend 01 = OC et qu'on joigne BI, les deux triangles OBD et OBI auront deux côtés égaux chacun à chacun, savoir OB commun et 01 égal à OC ; mais le troisième côté de l'un, BD, qui est une perpendiculaire à MN, est moindre que le troisième côté de l'autre, BI, qui est une oblique. Il en résulte que l'angle BOD est moindre que l'angle BOI.

20. — L'angle de deux plans est le plus ou moin'' d'écart de deux plans qui se coupent. On donne à un pareil angle le nom d'angle dièdre (c'est-à-dire à deux faces) ; les deux plans sont les faces du dièdre, et leur intersection est Vare'le de ce dièdre. La figure 11 montre plusieurs

dièdres ayant une arête commune OD. Pour designer un dièdre on emploie quatre lettres, dont les deux extrêmes sont prises respectivement sur chaque face et les deux intermédiaires sur l'arête. Ainsi le dièdre formé par les deux plans AODE et BODF pourra être désigné par AODB; celui qui a pour faces BODF et CODG pourra être désigné par BODC; etc.

Pour comparer entre eux les angles dièdres, on leur substitue les angles plans formés par des perpendiculaires élevées dans chaque face par un même point de l'arête. Si, par exemple, OA, OB, OC sont des perpendiculaires à OD, il suffira, pour comparer les deux dièdres que nous venons de nommer, de comparer les angles plans AOB et BOC qui leur correspondent. On démontre, en effet,

que si l'on prend pour unité d'angle dièdre celui qui a pour angle plan l'unité d'angle, les angles dièdres sont proportionnels à leurs angles plans. Pour cela on montre d'abord que deux angles dièdres qui ont des angles plans égaux sont superposables : on démontre ensuite que si l'angle plan d'un dièdre contient un certain nombre de fois l'unité d'angle plan, le dièdre contient le môme nombre de fois l'unité d'angle dièdre.

Quand l'angle plan est droit, le dièdre prend le nom de dièdre droit, et ses deux faces sont dites perpendiculaires entre elles. Si, par exemple, l'angle .\0(; était droit, le dièdre AODC serait droit aussi, et les faces AODE, CODG de ce dièdre seraient perpendiculaires entre elles.

Deux plans perpendiculaires entre eux sont donc des plans qui forment un dièdre droit; c'est-àdire que si, par un même point de l'arête, on élève dans chaque face une perpendiculaire à cette arête, les deux perpendiculaires ainsi menées forment un angle droit,

21. —Si deux pkmsUyi et OP (fig. 12) sontper. pendiculaircs entre eux, toute droite AB, menée dans l'un de ces plans perpendiculairement à leur

intersection OD, est perpendiculaire à l'antre plan. Car si l'on mène dans le plan MN la droite BC perpendiculaire à OD, l'angle ABC sera l'angle plan du dièdre formé par les deux plans, et sera donc droit ; ainsi la droite AB, perpendiculaire aux deux droites OD et BG menées par son pied dans le plan MN, est perpendiculaire à MN.

Corollaires. I. — Si par un point B de l'inlersection on élevait une perpendiculaire au plan MN, elle serait tout entière dans le plan OP. Car, si elle difl'érait de BA, on pourrait en un même point d'un plan lui élever deux perpendiculaires, ce qui est impossible.

IL — Si par un point A, pris dans le plan OP, on abaissait une perpendiculaire sur le plan MN. elle serait toute entière dans le plan OP. Car si elle différait de AB, on pourrait, par un point pris hors d'un plan, lui mener deux perpendiculaires, ce qui est impossible.

22. — Tout plan OP (fig. 12), mené suivant une droite AB perpendiculaire à un plan MN, est lui' même perpendiculaire à ce plan. Car si l'on mène, dans le plan MN, la droite BC perpendiculaire à l'intersection OD, les angles ABC et ABO seront droits, puisque AB est perpendiculaire au plan MN. L'angle ABC sera donc l'angle plan du dièdre formé par les deux plans OP etMN, et puisque cet angle est droit, les deux plans sont perpendiculaires.

Remarques. — On peut énoncer ce théorème en disant que tout flan JIN perpendiculaire à une droite AB située dans un plan OP est perpendiculaire à ce plan.

23. — l'oitt plan perpendiculaire à deux pla/is qui se coupent est perpendiculaire à leur intersection. Car si, par le point de rencontre des trois plans, on élevait une perpendiculaire au premier, elle serait tout entière dans chacun des deux autres. Elle n'est donc autre que leur intersection.