Il peut se présenter une circonstance dont
EQUATIONS
ÉQUATIONS
îl est bon d'être prévenu. Les deux équations proposées étant mises sous la forme ax + 6.y= c, il peut arriver que les coeftic.ients des deux inconues soient proportionnels; et alors, en multipliant en croix, comme il a été expliqué plus haut, les premiers membres des deux équations deviennent identiques. Il faut alors distinguer deux cas : ou les seconds membres deviennent identiques aussi, et, les deux équations se réduisant à une seule, le problème est iiidtiterminé : ou les membres sont différents, et alors les équations proposées sont incompatibles, et le problème n'admet aucune solution.
Soient, par exemple, les deux équations
IOj: — 2Gy = ?n et lôx — SOy = n.
En multipliant la première par 3 et la seconde par 2, on obtient
30a: — 18y = Zm et 30a; — 78y = 2n.
Les premiers membres étant identiques^ si 3m est égal à 2'» il y a indétermination ; si Zm est différent de 2u il y, a incompatibilité.
10. — Equations du premier deqré à plus de 2 inconnues. — Une équation à plusieurs inconnues est du premier degré lorsque, après avoir fait disparaître les dénominateurs, les inconnues n'y entrent qu'à la première puissance et n'y sont pas multipliées entre elles. Une équation du premier degré à trois inconnues, quand on a fait passer tous les termes affectés de l'inconnue dans un même membre, les quantités connues dans l'autre, et opéré les réductions, est de la forme
ax + ôy -j- cz=d,
a, b, c, d étant des quantités connues. Lorsqu'un problème comporte trois inconnues, il faut qu'il fournisse trois opérations, car, s'il n'en fournissait que deux, on pourrait attribuer une valeur arbitraire à l'une des inconnues et l'on aurait deux équations pour déterminer tes deux autres. Supposons donc que l'on ait trois équations du premier degré entre les trois inconnues x, y, z, on ramène ce cas à celui de deux équations à deux inconnues, en éliminant l'une des trois inconnues, s par exemple, deux fois, entre l'une des trois équations et les deux autres. Quand les inconnues x et y ont été déterminées, on substitue leurs valeurs dans l'une quelconque des équations primitives, qui donnera la valeur de z.
Supposons, par exemple, qu'un problème ait conduit aux trois équations
2x -f 3y — 2: = 3 ■àx — iy + 4z= 14 bx + 2y + Zz = 31
Si l'on multiplie la première par 2 et qu'on l'ajoute à la seconde, on obtient
Si l'on multiplie la première par 3 et la troisième par 2 et qu'on les ajoute, on trouve
Ces deux équations en x et y donnent a;^ 2 et y = 3, et, en mettant ces valeurs dans l'une quelconque des équations proposées, on en tire 2 =. 5.
11- — Voici quelques problèmes conduisant à trois équations du premier degré à trois inconnues :
I. — Un bassin reçoit l'eau par trois robinets. Si on les ouvre respectivement pendant 2, 3 e< 4 heures, on obtient un débit de 798 litres ; si les temps sont respectivement 3, 4 ei 2 heun-s, le débit est de 86 i litres, et si les temps sont respectivement 4, 2 et
3 heures, le débit est de 876 litres. On demande combien chacun des robinets fournit d'eau par heure? En désignant par x, y, z les trois inconnues, on a immédiatement les trois équations
En éliminant z deux fois, entre la seconde et les deux autres, on obtient les deux équations à deux inconnues
qui donnent x = 120 et ,y= 90. Ces valeurs mises dans l'une des trois équations primitives donnent z~ 72.
II. — lin nombre est composé de trois chiffres dont la somme est 21; si l'on permute les deux premiers chiffres ù gauche, il auqoteyite de 180; et si on le retourne complètement, il augmeiite de 396 ; quel est ce nombre ?
Soit r le chiffre des centaines, y le chiffre des dizaines et z le chiffre des unités.
La première condition donne
La seconde donne
100y + JOx-f ;=r=il00x + 10!/ + z -1-180 ou 80;/ — 90 J = 180,
ou encore y —x ==2. (2)
La troisième fournit l'équation
1002 + 10y + x = lOOx + lOy + z + 396
ou plus simplement
Ici la méthode d'élimination se simplifie ; car on tire des équations (2) et (3) :
y = x + 2 et z = X + i,
valeurs qui, substituées dans (1), donnent
a; = 5, d'où y = l et z = 9.
Le nombre demandé est donc 579.
III. Un marchand opère dans son commerce sur trois qualités de drap : dans une semaine il a vendu liO mètres de la première qualité et 40 de la seconde, et acheté 110 mètres de la troisième; dans une autre semaine il a vendu 20 mètres de la première, 100 mètres de la troisième, et acheté 70 mètres de la seconde ; dans une troisième seinaine, il a vendu 60 mètres de la secojide et 40 mètres de la troisième, et acheté 30 mètres de la première ; la recette a surpasse' la dépense de 116 fr. la première semaine, de 480 fr. la seco7ide, et de 798 fr. la troisième. On demande le prix d'achat de chacune de ces trois qualités de drap, sachant que le prix de vente a dépassé de 20 pour 100 le prix d'achat.
Soient x, y, z les prix d'achat d'un mètre de chacune de ces qualités de drap ; le prix de vente s'en déduira en s'augmentant de 20 p. 100,
c'est-à-dire de - ; le prix de vente sera donc pour
chacune -x, - y et r =, ou 1,2j-, l,2y 1,22. Dès
lors les trois conditions fournies par l'énoncé donneront les trois équations :
ÉQUATIONS
ÉQUATIONS
60.1, 2j; + 40.1,2?/ — nOc = 776, 20.1,2a: + 100.1,23 — 70//= 480, 60.1,2y + 40.1,2z — 30a; = 798, ou 72x + 48y — 110j=776, (1)
On élimine x entre (I) et (2) en multipliant (2) par 3, et retranchant, ce qui donne
470z — 258y = 664 ou 235z— 129;/ = 332.
On élimine x entre (2) et (3) en multipliant (2) par 6 et (3) par 4, et ajoutant, ce qui donne
792z — 62y = 5592 ou 396z — 31?/ = 2796.
On tire de ces deux dernières ?/= 12 et 3 =: 8 ; l'une quelconque des équations primitives donne alors X = lô.
