IV. On a trois lingots qui contiennent

le premier 2 k. d'or, 3 \i.(T argent, 4 k. de cuivre le second 3 — 4 — ô —

le troisième 4 — 5 — 9 —

Combien fuut-il prendre de chactm d'eux pour former un quatrième lingot qui contienne

75^ d'or, lOO^' d'argent et 149^' de cuivre?

Soient x, y, z les nombres de grammes de chacun des trois premiers lingots qu'il faut prendre pour former le quatrième. On remarque que, dans le premier lingot, il y a i^ d'or sur ;; -|- 3 + 4 ou 9'',

c'est-à-dire que l'or y entre pour -. Dans le se-

cond lingot l'or entre pour — , et dans le troi-

sieme pour — . Ce métal entrera en mêmes pro-

lo

portions dans les parties x,y,z qu'on prendra des trois lingots; on devra donc avoir

En raisonnant de même pour l'argent et pour le cuivre, on obtiendra les équations

En réduisant tout au dénominateur 36, et multipliant par 36, on met ces équations sous la forme

ix+ 9^-f 83 = 2700, (1)

12x-t- 12(/-fl03 = 3600, ■ (2

En éliminant x entre (1) et (2) et entre (1) et (3), on obtient :

3?/ -f- 43 = 900 et 3y — 2z = 36,

d'où 3=- 144, puis ?/=l08.

Dès lors l'équation (1) donne x = 72.

12. — Si l'on avait à résoudre quatre équations du premier degré entre quatre inconnues, on ramènerait le problème au cas de trois équations à trois inconnues, en éliminant l'une des quatre inconnues trois fois, entre l'une des équations données et les trois autres.

Nous ne croyons pas nécessaire de développer ici cette question.

13. — Equations du second degré. — Une équation aune inconnue est dite du second degré lorsque, après avoir fait disparaître les dénominateurs, l'inconnue y entre à la seconde puissance.

La plus simple des équations du second degré est une équation de la forme x^ =: 49. On voit, dans ce sens, que x représente un nombre qui, élevé au carré, donne 49, ainsi a; = 7 est une solution. Mais il est évident que x ^ — 7 en est une autre, car, d'après la règle des signes, le produit de — 7 par — 7 est aussi -+-49. On réunit ces deux solutions en écrivant

14. Lorsque, dans une équation du second degré, on a opéré toutes les réductions, elle ne peut contenir que trois espèces de termes : des termes en x-, des termes en x, et des termes indépendants de X. Telle est par exemple l'équation

que l'on peut écrire, en divisant par 3,

On ramène la résolution de cette équation à celle d'une équation de la forme (i) en remar-

quant que x^ — - x sont les deux premiers termes

du carré d'un binôme dont le premier terme se-

raitxetlesecond-I;carona:

Si donc nous ajoutons -- aux deux membres

de l'équation (3), ce qui n'altérera pas l'égalité, nous aurons

et, par conséquent, en extrayant la racine carrée des deux membres.

d'où enfin

On conclut de ce calcul que, dam une éq'ialion de la forme (3), r inconnue est égale à la moitié du coeflicient de la première puissance de x, changé de signe, plus ou moins la racine carrée du cai'ré de cette moitié, suivi du terme indépendant de x, p?'is avec un signe contraire à celui qu'il avait dans le premier membre.

En réduisant sous le signe radical v , on

trouve ^„ y dont la racine est ^ ; les deux valeurs 36 t)

de l'inconnue sont donc

On peut vérifier, en eflfet, que ces deux valeurs satisfont à l'équation (1). On pourra proposer aux élèves les exemples

a;2 — 7x4-12 = 0, d'où x = 3 et x = 4.

ÉQUATIONS

EQUATIONS

2a;j 9x— 143 = 0^ d'où a: = ll Ct a; = — 6--

7x* + 2x — 185 = 0, d'où x = b et x = — oz- Sx»— 9x+6=0, d'où x=I et a; = 2.

15. — Il peut arriver, dans ce calcul, qu'on ait à extraire la racine d'une quantité qui n'est point un carré exact; on sait que, dans ce cas, la racine ne peut être obtenue exactement ; c'est ce qu'on appelle une quantité incommensurable. Mais on peut en approcher autant qu'on le veut: on peut toujours trouver deux quantités commensurables, différant entre elles d'aussi peu qu'on le voudra, et dont les carrés comprennent entre eux la quantité dont on veut extraire la racine. Les valeurs approchées ainsi obtenues vont en se rapprochant, et tendent vers une limite commune qui est ce qu'on doit entendre par la valeur de la quantité incommensurable.

Nous donnerons pour exemple l'équation

d'où l'on tire

625 ,,, 1h±\jb 15o = •

Si l'on calcule la racine de 5 à un dix-millième près, on peut écrire

25 db 2,2309 x= ,

ou a;= 13,6154... et x= 12,3815...

IG. — Il peut arriver aussi que, dans la valeur de X obtenue, le radical porte sur une quantité négative; dans ce cas le problème n'admet aucune solution. Il n'existe aucune quantité réelle, soit positive, soit négative, dont le carré soit négatif;

ainsi une expression telle que y — 3, k — 7, etc.^ ne représente rien de réel; c'est ce que l'on appelle une quantité imaginaire. Cependant les valeurs imaginaires obtenues pour x satisfont à l'équation qui les a fournies, pourvu que l'on convienne d'appliquer aux quantités imaginaires les mômes règles de calcul qu'aux quantités réelles;

K — 1 étant regardé simplement comme une expression dont le carré est — l.

On peut même se servir des quantités imaginaires pour démontrer certaines propriétés des quantités réelles; mais ceci n'entre point dans notre sujet.

17. — Voici quelques exemples de problèmes conduisant à une équation du second degré à une inconnue :

I. — Une personne, qui a 1 20 000^ de capital, en a fait deux parts qui lui rapportent l'une 2 800' par an et l'autre 2 bOO'; on demande à quel taux la première est placée, sachant que la seconde e^t placée à un taux plus élevé de l'.

Soit x le taux demandé. La première part rapportant annuellement 2 .SOO', on aura cotte première part en multipliant l'intérêt par 100 et divisant par le taux, ce qui donne

On trouvera de même que la seconde part a pour expression

En écrivant que la somme de ces deux parts forme le capital de 120 000', on a l'équation

ou

ou encore 12x2 — ^ix — 23 = 0,

d'où Ion tire x = i, et une valeur négative étrangère à la question.

II. — Partnger 13 en deux parties telles que 2 fois le carré de la première plus 3 fois le carré de lasecojide fasse ï42.

Soit x la première partie ; la seconde sera 13 — x; et l'équation du problème sera

Effectuant les calculs et réduisant, on obtient

d'où l'on tire x = 5 et x = 10-«

III. — Partager li en deux parties telles que la somme de leurs cubes fasse 407.

Soit x la première partie; la seconde sera 11 — x; on aura donc

x' + (ll — x)3 = 407, ou, en développant et réduisant

33xî — 363x-f 924 = 0, ou encore x^— llx-|- 28 = 0,

d'où l'on tire x=:4 et x = 7.

Ces deux solutions ne correspondent qu'à un même mode de partage, parce que les deux parts entrent symétriquement dans le calcul.

18. — Il n'entre pas dans le cadre de cet article de traiter d'une manière générale des équations du second degré à 2 inconnues. Nous nous contenterons de donner deux exemples de ce calcul :

I. — Trouver la base et la hauteur d'un rectangle saclumt que son périmètre a 38 mètres et que sa surface C't de 84 mètres carrés.

Soient X la base et y la hauteur; on aura les deux équations

2x -f- 2î/ = 38 et xy = 84.

La première peut s'écrire x +y = 19, d'où y = 19 — X.

Si l'on met pour y cette valeur dans la seconde équation, elle devient

x(19 — x) = 84 ou x2 — 19x -f 84 = 0,

d'où X = 7 et x= 12,

par suite y = 12 et y = 1'

II. — Pour clore un terrain de 360" de tour, on a employé des planches toutes de même largeur, et r<,n remarque que si les planches avaient eu 6 centimètres déplus en largeur, on aurait nnplyé 200 pUmches de 7noins. On demande le nombre et la largeur des planches employées.

Soient X la largeur des planches, exprimée en centimètres, et y le nombre des planches employées ; on a d'abord

xy = 36000. (1)

La seconde condition est exprimée par l'équation

ou xy + 6y — 200x — 1200 = 36000

Or, en remarquant que, en vertu de l'équation (1), celle-ci se réduit à

Oî/ — 200x=l200 ou 3y— 100x=600 (2)