Construire un polygone semblable à un poly
AIRES
AIRES
gone donné et qui soit avec lui dans le rapport des nombres p et q.
Soit P l'aire du polygone donné ; X celle du polygone demandé. On devra avoir
Mais si a est un des côtés du polygone donné et X son homologue dans le polygone demandé, on devra avoir
En comparant ces deux égalités, on en déduit
La question est donc ramenée à construire le côté X d'un carré, qui soit à un carré donné dans le rapport du nombre p au nombre q. C'est le problème ci-dessus.
Une fois le côté x obtenu, on construira sur ce côté, comme homologue de a, un polygone semblable au polygone donné.
16. Construire un carré équivalent à la somme de deux carrés donnés.
Construisez un triangle rectangle dans lequel les côtés de l'angle droit soient les côtés des deux carrés donnés ; l'hj'poténuse de ce triangle sera le côté du carré demandé.
17. Étrint donnés deux polygones semblables, en construire un troisième qui leur soit semblable et qui soit équivalent à leur somme.
Soient a et a' deux côtés homologues dos deux polygones donnés et x le côté homologue du polygone demandé. Les aires des polygones semblables étant proportionnelles aux carrés de leurs côtés homologues, si l'on désigne par P et P' les deux polygones donnés et par P" le polygone demandé, on aura
d'où
Mais dans cette dernière égalité les dénominateurs sont égaux; il doit donc en être de même des numérateurs. Ainsi le problème est ramené à construire le côté X d'un carré équivalent à la somme de deux carrés donnés; c'est le problème du n" 16. Une fois le côté X obtenu, on construira sur ce côté, comme homologue de a, un polygone semblable à P.
18. Tracer un cercle équivalent à la somme de deux cercles donnés.
Soient R et R' les rayons des deux cercles donnés, et X le rayon du cercle demandé. On devra avoir
nx* = nRî + itR'S d'où a;2 = R^ + R'^.
Le rayon demandé est donc l'hypoténuse d'un triangle rectangle dans lequel R et R' sont les deux côtés de l'angle droit.
19. On pourrait demander de construire un carré équivaleni à la différence de deux carrés donnés.
En appelant a et a' les côtés des deux carrés donnés, et x le côté du carré demandé, on devrait aToir
a;' ^ a* — a'*, ce qui suppose
La question revient donc à construire un triangle rectangle connaissant l'hypoténuse a et l'un des côtés de l'angle droit a', ce que l'on sait faire. Le 3* côté serait le côté du carré demandé.
Ceci permettrait de résoudre des problèmes analogues à ceux des n"' 16, 17 et 18, dans lesquels
la somme serait remplacée par une différence.
[H. Sonnet.]
Essai de simplification, à l'usage de l'enseignement primaire. — En considérant un mètre carré divisé en 100 décimètres carrés, on voit que le rapport entre les surfaces du décimètre carré et du mètre carré est j-*Q, pendant que le rapport de leurs côtés est seulement j^. La fraction jj^ étant le carré de la fraction ^, on peut dire que le rapport des aires des deux carrés est exprimé par le carré du rapport des longueurs de leurs côtés. Cette relation s'applique à deux polygones semblables quelconques ; de là ce théorème : le rapport de deux polygones semblables est égal au carré du rapport de leurs côtés homologues, ou, ce qui est lamême chose, au rapport des carrés de deux côtés homologue?,.
Nous le démontrerons : 1° pour deux triangles; 2° pour deux polygones semblables d'un Inombre quelconque de côtés.
1'' Soient deux triangles semblables T' et T, les côtés du plus petit T' étant par exemple les | des côtés homologues du plus grand T, ou comme on dit pour abréger, leur rapport de similitude étant | .
Désignons par b' et b deux côtés homologues pris pour bases dans les deux triangles et par k' et li les hauteurs. Le rapport ^ des hauteurs est égal à |, comme le rapport |- des bases.
On a pour les aires des deux triangles :
r,., b'yc^h' ^ bX h 1 ^ et 1 2
Divisant membre à membre la V égalité par la 2', on trouve
bXh b '^ h'
Ou, en remplaçant le rapport ^' par le rapport
égalf^
2° Soient maintenant deux polygones semblables P' et P, ayant un rapport de similitude égal, par exemple, à | ; imaginons qu'on mène les diagonales de deux sommets homologues. Le polygone P' sera décomposé en triangles a', b', c'.,.. et le polygone P en autant de triangles a,b,c... respectivement semblables à ceux de P'. D'après le cas précédent chacun des triangles a' b' c',... sera les |des triangles a, b, c... On aura donc
«Xg,
puis
etc.
Si l'on additionne ces égalités membre h. membre, on trouve, en mettant * en facteur commun :
ou P' = P X g ; ou encore p = g '
ce qui démontre le théorème.
Corollaires. — 1° Deux polygones réguliers ayant le même nombre de côtés sont semblables. Le rapport de leurs rajons et celui de leurs apothèmes sont égaux au rapport de leurs côtés ; donc le rapport de leurs aires est égal au carré du rapport des rayons ou du rapport des apothèmes.
2° Deux cercles étant deux figures semblables, le rapport de leurs aires est aussi égal au rapport des carrés des rayons ou des carrés des diamètres. — On peut le prouver directement. Soient deux cercles C et C, leurs rayons ;• et r' ; les aires seront :
C = itrî et C = T.r «, d ou ç-, = pi-
ALBIGEOIS — o
Applications. — 1° Si pour faire le dallage d'uni vestibule on emploie des carreaux hexagones réguliers dont le côté est la moitié de celui de carreaux 1 de même forme qu'on avait d'abord adoptés, le nombre des petits carreaux à employer sera quadruple du nombre des plus grands.
2° Un propriétaire qui a le plan de son domaine veut en faire une copie qui n'occupe sur le papier que la moitié de l'espace couvert par le plan ; comment doit-il opérer?
Soit a un côté quelconque du plan et x le côté homologue inconnu de la copie. Le rapport entre la surface de la copie et celle du plan doit être égal au rapport des cari'és de ces côtés, et par conséquent il est exprimé par ^. D'un autre côté, il doit aussi être égal à *.
On a donc
- = -, dou x^- = j-{l)
On peut maintement résoudre la question de deux manières : numériquement ou graphiquement.
Numériqueinent. — Pour éviter d'avoir un radical au dénominateur, prenons
œ' = — - au heu de a;- = -^ ;
ce qui donne, en extrayant la racine carrée,
Ainsi chaque côté de la copie doit être égal à la moitié du côté correspondant du plan, multiplié par V^, c'est-à-dire par 1,414, ou, ce qui revient au môme, doit être égal à 28 fois la 10* partie du côté du plan, si l'on se borne aux dixièmes.
Graphiquement. — En mettant l'expression (1) sous la forme
on voit que chaque côté de la copie doit être une droite moyenne proportionnelle entre le côté homologue du plan et la moitié de ce côté. Cette construction est très-facile à effectuer. Sur une droite AB égale au côté a et prise pour diamètre on décrit une demi-circonférence ; au centre on élève à ce diamètre un rayon perpendiculaire OC, et la corde AC est le côté cherché.
En suivant cette marche, il faudrait construire autant de demi-circonférences qu'il y aurait de côtés. Mais si on observe que le côté cherché AG est l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle dont les côtés de l'angle droit sont égaux à la moitié du côté du plan, on pourra simplifier la construction. Pour cela, on prolongera les côtés OC et OA de l'angle droit AOC ; puis, pour trouver le côté de la copie homologue du 2« côté 6 du plan, on portera la longueur b avec le compas sur les côtés de l'angle droit à partir du sommet O. Soient OA' et OC ces longueurs ; la distance A'C sera le 2'= côté.
ALBIGEOIS (Croisade des). — Histoire de
