GO 18GG

Mais, dans la plupart des cas ordinaires, on peut obtenir un dénominateur commun plus simple, à savoir le plus petit commun multiple des dénominateurs donnés. Ces dénominateurs, dans l'exemple actuel, étant décomposés en leurs facteurs premiers (V. Diviseurs), reviennent à

leur plus petit commun multiple est donc 23.32 ou 72. Pour réduire en 72'*|"';s chacune des fractions donnée^, on divisera 72 par le dénominateur, et l'on multipliera le numérateur par le quotient oblonu. Le quotient de 23.3- par 2^3 est 2.3 ou 6 ; on multipliera donc le numérateur de la première fraction par G, co qui donne 3'».

Lo quotient (Je •,;3 32 par 2.32 est 22 ou 4 ; le produit de 11 par 4 est 44.

Le quotient de 23.32 par 23.3 est 3 ; le produit de 17 par 3 est 51.

Enfin le quotient de 23.32 par 22.-32 est 2; le produit de 31 par 2 est G2.

Les fractions proposées sont donc respectivement équivalentes h

et elles se trouvent ainsi réduites à un dénominateur beaucoup plus simple.

On trouvera, de la même manière, que les fractions

7 n 23 ^ 10' 20' 3U' 45' peuvent être remplacées par

84 99 138 164 18O' IbO' 180 ' 180

11. — Voddition des fractions (ou des expressions fractionnaires) suppose quelles aient le njcme dénominateur, car on ne peut ajouter entre elles que des quantités de même espèce et de même dénomination.

Pour additionner des fraction? de même dénominateur, il suffit évidemment de faire la somine des numérateurs, et de donner à cette somme le d'îiominateur commun. Soit, par exemple, à additionner les fractions

T- et -- ;

la somme sera 7 dix-liuitiênies, plus 5 dix-huitièmes, ou 12 dix-huitièmes, soit

Il reste à réduire cette fraction, ce qui donne ^. On a donc

Si la somme obtenue surpassait l'unité, il faudrait en extraire les entiers. Si, par exemple, on lait la somme des fractions ~ et ^, on trouve ~, c'est-à-dire 1 unité et^.

12. — Lorsque les fractions à additionner n'ont pas le môme dénominateur, il faut commencer par les réduire au même dénominateur. Soit, par

exemple, à additionner ï et g ; ces fractions reviennent à 1^ et II, dont la somme est ||, ou 1 unité j-|.

Soient de même les fractions |^ ^^ ^o- P'Cduites au même dénominateur, elles deviennent || et |i, dont la somme est || ou 1 unité f-^, ou encore 1 unité p.

On peut avoir à additionner un nombre quelconque de fractions ; la règle à suivre est toujours la suivante : réduire les fractions données au même dénominateur, faire la somme des numérateurs, donner à cette somme le dénominateur commun, extraire les entiers, s'il y a lieu, et réduire la fraction à sa plus simple expre5i»ion.

Soient proposées, par exemple, les fractions

en les réduisant au même dénominateur, on trou

vcra

30 40 4ô 48 50^ 00 ' Go' Go' Go' GO'

Kl somme des numérateurs est 213; la somme demandée est donc^, ou, en extrayant les entiers, 3||, ou enfin, en réduisant la fraction à sa plus simple expression, 3 |A.

On trouvera de même, en appliquant la règle,

13. — Si l'on avait à additionner des nombres entiers accompagnés de fractions, on ferait d'abord la somme des fractions, et. si cette somme contenait des entiers, on les ajouterait à la somme des Oi)tiers. Soient, par exemple, îi additionner les quantités

On trouvera que la somme des fractions est |v ou 2 unités ^. On ajoutera donc 2 unités à la somme des nombres entiers 4, 3, 9 et 11, ce qui (ionnera 29 ^.

On trouvera de môme que 8 | et 9 -g donnent pour somme 18 l|.

14. — On pourra exercer les é èvcs à vérifier les égalités suivantes :

15^20^aO^40 1+1+1+1 '

Nous donnerons, à la suite de la soustraction des fractions, quelques énoncés do problèmes conduisant à des additions et à des soustractions de frac tions.

FRACTIONS

15. La soustraction des fractions exige, comme l'addition, que ces fractions aient le môme dénominateur. On retranche alors le plus petit numérateur du plus grand, on donne au reste le dénominateur commun, et Von réduit, s'il y a lieu, la fraction obtenue à sa plus simple expression.

Pour soustraire, par exemple, f^ de i|, on retranchera 5 de 11, ce qui donne 6 ; on écrira audessous le dénominateur commun, ce qui donne ^■. et, en réduisant cette fraction à sa plus simple expression, on obtiendra 1 pour la différence des deux fractions proposées.

On trouvera de même que y| — ^ = ^ ou |.

Quand les fractions données ont des dénominateurs dififérents, il faut commencer par les réduire ou même dénominateur. Soit par exemple à retrancher \ de g ; on réduira ces deux fractions au dénominateur 40, ce qui donnera ^ ci f§; en retranchant 16 de 35, on obtient pour reste 19 ; la différence des deux fractions proposées est donc |^.

On trouvera de même que | — | ^ îV-

16. — On peut avoir à soustraira un nombre entier suivi d'une fraction d'un autre nombre entier suivi d'une fraction.

Si la fraction qui accompagne le plus petit nombre est la plus petite des deux, on retranchera la plus petite fraction de la plus grande, et l'on joindra la différence de ces fractions à la différence des nombres entiers. Soit, par exemple, à soustraire 3 I de 7 ||. La différence des fractions est ^, et celle des nombres entiers est 4; le résultat de l'opcration est donc 4 j^.

Mais si la fraction qui accompagne le plus petit nombre est la plus grande, on ne peut plus opérer ainsi. Après avoir réduit les deux fractions au même dénominateur, on ajoute à la plus petite, pour rendre la soustraction possible, une unité mise sous forme de fraction ayant ce dénominateur commun ; on opère la soustraction des fractions ; mais, en passant à la soustraction des entiers, il faut ajouter une unité au plus petit nombre, pour compenser celle qui a été ajoutée à la fraction accompagnant le plus grand.

Soit, par exemple, à retrancher 3 | de 11 |. En réduisant les fractions au même dénominateur on les change en || et J-^. Ne pouvant retrancher 32 de 15, on ajoutera à la fraction H une unité sous la forme ^, ce qui donnera ||. On retranchera alors II de ||, ce qui donne ||. Mais il faudra ajouter une unité au plus petit nombre entier 3, et retrancher 4 de 11, ce qui donnera 7. Le résultat de l'opération sera donc 7 |~.

On trouvera de même que la différence entre 6 A| et 17 I est 10 ||.

Remarque. — On a souvent à retrancher une fraction de l'unité. Soit k retrancher, par exemple, Y5 de 1, on retranchera -^ de ^f, ce qui donnera ^. On voit qu'il faut prendre pour numérateur de la fraction cherchée la différence entre les deux termes de la fraction proposée, et écrire audessous le dénominateur de cette fraction.

= ITT : et ainsi de

Ainsi 1 — suite.

On s'appuie sur ce fait pour démontrer q-ue lorsqiyn ajoute un même nombre aux deux, term-is d'une fraction, ou d'une expression fractionnaire, elle se rapproche de l'uniti'; elle augmente par conséquent, si c'est une fraction, et diminue, au contraire,''si c'est une expression plus grande que l'unité. En effet, quand on ajoute un même nombre aux deux termes d'une fraction, ou d'une expression fractionnaire, la différence des deux

termes ne chango pas, mais le dcnominatour augmente ; il en résulte que la différence entre l'unité et la fraction ou expression fractionnaire proposée conserve le même numérateur, tandis que son dénominateur augmente ; cette différence va donc en diminuant.

Ainsi les fractions |, f , |, |, etc., vont en se rapprochant de l'unité. Il en est de même des expressions fractionnaires |, |, |, |, etc.