Exercices et problèmes. — Soustraire | de l (Rép

Soustrai7'e l de \^ (Rép. ^^)

Soustraire 4| de 11 | (Rép. 7 ||)

Soustraire 4 | c/e 1 1 | [l\ép. 6 |i)

Un voyageur a fait successivement J, i, i e< | du chemin qu'il avait à faire ; quelle portion de ce chemin a-t-il à faire encore ? [Rép. ^)

Un ouvrier, qui avait à faire 25 mètres d'un certain ouvrage, en a fait successivement 4 |, 5 A, 3 1, 6 i; qu'i lui resie-t-il à faire encore? (Rép. 5 |)

Trouver le résultat du calcul indiqué ci-dessous:

4|-3|+7A 5|+2l (Rép.5f|) Trouver le résultat du calcul suivant : 5i-4l-f 3i-2| (Rép.l^)

Comparer les deux quantités { + jq el l + ^ (Rép. : elles sont égales.)

Cotnparer les deux quantités ^ + 1 ^"^ § — ^ (Rép. : elles sont égales.)

De combien la quantité ^ -\- ji surpasse-t-elle la quantité } — {^1 (Rép. ff)

18. — Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on a vu qu'il suffit de multiplier son numérateur par ce nombre entier, ou, si cela est possible , de diviser son dénominateur. • Soit, par exemple , à multiplier ^ par 8 ; on pourra multiplier le numérateur par 8 , ce qui donne || ; on peut aussi diviser le dénominateur par 8, ce qui donne |.

Les fractions || et | sont, en effet, équivalentes ; on s'en assurerait en réduisant la première à sa plus simple expression.

On trouvera de même que -^ multiplié par donne || ou ^ ; que -Jg multiplié par ou|; que I multiplié par 11 donne ^; etc.

Remarque. — On peut remarquer que pour multiplier une fraction par son dénominateur, il suffit de le supprimer, car le quotient de ce dénominateur par lui-même est l'unité.

Ainsi, 8 fois | donnent ï ou 5; 12 fois -\ donnent 7 ; 15 fois ^ donnent 8 ; etc.

19. — Lorsqu'il s'agit de multiplier un nombre entier par une fraction, il est nécessaire d'étendre le sens qu'on a attribué jusqu'alors au mot multiplier.

Soit à multiplier 20 par | ; on entend par là prendre les | de 20, ou 3 fois le 5* de 20 ; ce qui donne 12. De même, multiplier 16 par |, c'est prendre les g de IG, ou 7 fois le 8* de 16, ce qui donne 14. Et ainsi de suite. Multiplier un nombre entier par une fraction, c'est prendre une poriion du multiplicande exprimée pur le multiplicateur, ou diviser le multiplicande pat le dénominateur, et multiplier le quotient par le numérateur. Pour multiplier, par exemple. 13 par |, il faut prendre le quart de 13, ce qui donne ^^-, et multiplier ce

donne —

FRACTIONS

résultat par 3, ce qui donne ^^ ou 9 |. On aurait pu multiplier d'abord le nombre 13 par le numérateur 3, et diviser le produit par le dénominateur4; le résultat eût été le môme En général on peut dire que, pour multiplier un nombre entier pur une fraction, il faut multiplier ce nombre enner par le numérateur, et diviser le produit par le dénominateur. Ainsi

^xi = f =3i;etc.

L'observation faite ci-dessus montre qu'o/i obtient le même résultat en vniltipiidnt un nombre eiitier par wie fraction qu'en multipliayit la fraction pur le nombre entier.

•20. — Mais on peut se demander pourquoi l'opération qui consiste à prendre, par exemple, les | do "0 porte le nom de multiplication, puisqu'elle a pour effet de donner un résultat plus petit que le multiplicande. On a été conduit à cette dénomination par une raison d'analogie. Si le mètre d'une étoffe coûtait 20 fr., pour obtenir le prix de 2, 3, 4 mètres, etc., il faudrait multiplier 20 fr. par 2, 3, 4, etc. Si l'on veut obtenir le prix de | de mètre, il faut évidemment prendre les | de 20 fr. On a conservé le nom de multiplication à l'opération qui résout le même problème, que le multiplicateur soit un nombre entier on une fraction. On peut d'ailleurs réunir les deux cas dans une même définition en disant : la mulnplicaiion est hne opérutioti qui a pour but de trouver un nombre, appelé produit, qui soit composé avec le multiplicande comme le niultipdcalmr est composé avec l'unité. Si le multiplicateur se compose d'un certain nombre do fois l'unité, le produit se composera du même nombre de fois le multiplicande; si le multiplicateur est une fraction de l'unité, le produit sera la même fraction du multiplicande.

21. — Soit maintenant à multiplier une fraction par une fraction, par exemple | par |. C'est, d'après la définition, prendre les | de 1, ou répéter 3 fois le 5*= de g. On divisera | par 5 en multipliant son dénominateur par 5, ce qui donne

et l'on répétera ce résultat par 3 en multipliant par 3 son numérateur, ce qui donne

On voit que, pour micltiplier deux fractions l'une par Vautre, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, et de réduire ensuite la fraction obtenue à sa plus simple expression, s'il y a lieu. On trouvera ainsi que

On peut remarquer que, d'après cette règle, l'ordi'e des facteurs est indifférent, car on aura toujours pour numérateur le produit des numérateurs, et pour dénominateur le produit des dénominateurs.

Remarques. — I. Le produit d'une fraction par une fraction est ce qu'on appelle quelquefois une fraction de fraction.

II. Si l'on multiplie une fraction par l'expression fractionnaire inverse, on obtient pour produit l'unité. Ainsi

22. — On peut avoir à multiplier un nombre entier suivi d'une fraction par un autre nombre entier suivi d'une fraction. Le plus simple, dans ce cas, est de réduire chaque entier et la fraction qui l'accompagne en une seule expression fractionnaire, et d'opérer comme pour des fractions. Soit, par exemple, à multiplier 4 | par 3 g. On commencera par substituer à ces expressions les expressions équivalentes x^^ ^' ^^ en les multipliant terme îi terme on obti<?ndra

On peut avoir à faire le produit d'un nombre quelconque de fractions ou d'expressions fractionnaires , on fera le produit des deux premiers facteurs, on multipliera ce produit par le troisième facteur, puis ce nouveau produit par le quatrième facteur, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait employé tous les facteurs. Supposons, par exemple, que les facteurs soient

le produit définitif aura pour numérateur le produit de tous les numérateurs, et pour dénominateur le produit de tous les dénominateurs; ceseradonc

- — — -, ou, en effectuant, 5--

Le résultat est indépendant de l'ordre aes facteurs .

23- — Exercices et problèmes. — Quel est le produit de ^ par 1 ? (Rép. 1 \.)

Quel est le produit de 15 par |? (Rép. 10)

— - 36 par II (Rép. 25 f

— —1806 par j| (Rép. 1106)

- - A par il (Rép. i)

A par II (Rép.l)

- - 8fpar6| (Rép. 68 i) - 2^x|x^x|f (Rép.A)

Une fontaine fournit par heure 15 hectolitres ^] combien fournira-t-elle en 3 heures ^^ (Rép. 57 hectolitres.)

Un voyageur fait régulièrement les | d'une licue en une heure; quel chemin fera-t-il en 5 heures Y^ (Rép. 4 lieues |.)

On tire d'un tonneau les | de la quantité de liquide qu'il contenait, puis les | de ce qui reste, puis encore les | de ce second 7'este, enfm le ^ du dernier reste ; on demande quelle fraction de la quantité de liquide primitive renferme encore le toîineau après cette dernière opération? (Rép. g^.]

24. — Pour diviser une fraction par un nombre entier, il suffit de mulliplier son dénominateur par ce nombre entier, ou, si cela est possible, de diviser S07i numérateur. Ainsi le quo-

tient de — par 7 est jr^ — -, c'est-à-dire — -■> ou 4;) 4d X 7 315

bien — ; ces deux expressions sont, en eflfet, équivalentes.

On verrait de même que le quotient de || par S

est^.oUgV

25. — Quand le diviseur est une fraction, il est nécessaire, pour bien saisir le sens de l'opération.

FRACTIONS

de se rappeler cette définition générale de la divi- j ^ • ^ ^ ^ 7x8x6 sion : cette opération a pour but, étant donne un j produit de deux facteurs, et l'un de ces factews, de trouver l'autre facteur. Soit, par exemple, à diviser 8 par |, D'après la définition, si l'on connaissait le quotient, en le multipliant par | on aurait le dividende 8. Il en résulte que les 1 du quotient cherché étants, par conséquent \ du quotient vaut le tiers de 8 ou ^, et les f du quotient, ou le quotient tout entier, vaut 5 fois |, c" est-à-

(Rép. è) (Rép. 13i) (Rép. M) (Rép. 1 \) (Rép. 1 ^,,)

dire

-^OUy, SOltlS-.

On peut remarquer que, pour obtenir le quotient demandé, on a opéré comme s'il s'agissait de multiplier 8 par |, c'est-à-dire par la fraction diviseur renversée. On trouvera de même que le quo-

lient de 15 par- est — r — > c'est-à-dire 27. y o

•26. — Soit maintenant à diviser une fraction par une fraction ; par exemple ^ par | ; le raisonnement sera le même que ci-dessus. D'après la définition, le quotient cherché, multiplié par |, doit donner pour produit ■—', on peut donc dire : les 4 du quotient valent ^ ; donc 4 du quotient

vaut 4 fois moins, ou -l et les r du Quo-

lo X 4' 3

tient, c'est-à-dire le quotient tout entier, vaut

5 fois plus ou -: -•

On voit que, pour trouver le quotient demandé, il faut multiplier ^ par |, c'est-à-dire par la fraction diviseur renversée. On trouve |^ ou |.

On verrait de même que le quotient de —