GEOMETRIE DESCRIPTIVE

Une ligne droite peut occuper plusieurs positions particulières par rapport aux plans de pro-

Fig. 4.

Fig. 7 bh

Fiç. 3.

jection. Ainsi, elle peut ôtre parallèle au plan horizontal et oblique au plan vertical 'Ex. : la lirine ab, a'b', fig. 8); elle peut être parallèle

III. Les lignes. — Pour 'Construire les jrojections d'une ligne quelconque de Vespacc, on délermine

les projections d'un certain nombre de points, qw \ l'on réunit ensuite par un trait continu. Dans le "

cas particulier d'une ligne droite, il suffit de projeter deux points et de les joindre.

ab, a'b', fig. 8); elle peut être parallèle

vertical et oblique au plan horizontal 'Ex. :

^ ab, a'b', fig. 9) ; elle peut être parallèle ai

au plan

la ligne

aux deux

plans de projection et, par suite^ à la ligne de terre (Ex. : ab, a'b', fig. 10); elle peut être per-

j pendiculaire au plan horizon'.al et reposer sur ce plan horizontal Œx. : n, a'b' . fig. 11). ou perpendiculaire au plan horizontal sans toucher ce plan

I (Ex. : a, a'b', fig. 12); elle peut être perpendiculaire au plan vertical et être appliquée ou non contre ce plan vertical Ex. : ab, a', fig. 13); enfin

■Ainsi les figures G et 6 bis représentent, en perspective et en projection, une courbe quelconque ABC de l'espace, et les figures 7 et 7 bis représentent de la môme manière une ligne droite AB de l'espace.

Fig. Il,

elle peut être située dans un plan dit de profil, c'est-à-dire perpendiculaire aux deux plans do projection (Ex. : ab, a'U , fig. 14 et 14 bis).

traces du plan. Exemple, le plan PMN, fig. 17 et 17 bis.

Fig. 14.

I^' Les polygones. — Pour construire les projections rl'nn contour polygonal quelconque, il su/'/it (le déterminer et de joindre les projections de tous les sommets de ce contour.

Fig. 13 bis.

Ainsi les figures 15 et 15 bis représentent en perspective et en projection un hexagone régulier construit sur le plan vertical, et les figures 16 et 16 bis un cercle tracé sur ly pian horizontal.

V. Le plan. — Si Ton coupe le dièdre droit représentant les plans de projection par un plan illimité passant par un point quelconque de la ligne de terre, on obtient, comme intersections, deux lignes droites illiinitées qui se rencontrent évidemnicnisiir cette ligne de terre, et qu'on appelle les

Fig. 17 6(4-.

Les plans employés dans les problèmes théoriques sont génévaXameni illimités ai fictifs, ou si l'on veut transparents, c'est-à-dire qu'ils n'empêchent pas de voir les figures situées au-dessous ou en arrière ; tandis que, dans les applications, les plans, qui forment les faces des solides, sont nécessairement limité^ et supposés opaques, c'est à-dire qu'ils cachent certaines parties des figures, que l'on représente en tndts ponctués. Ainsi la ligne ah, ab', figures précédentes, est vue bien que située en arrière du plan PM\.

Le plan, comme la ligne droite, peut occuper plusieurs positions particulières par rapport aux plans de projection.

Si un plan est parallèle à l'un des plans de projection, il n'a pas de trace sur ce plan, et sa trace sur l'autre est parallèle à la ligne de terre. Exemple , le plan PM.\, parallèle au plan ve^

Fi?. IS bis.

tical et représenté par sa trace horizontale M.\^ parallèle à LT, figure 18 et 18 6îv.

Lorsqu'un plan est parallèle à la ligne de terre»

ses deux traces sont parallèles à cette ligne de terre. Exemple, le plan PM, PIM , ligures 19 et 19 Ois.

Fis. 19 bis.

Lorsqu'un plan est perpendiculaire à l'un des plans de projection, sa trace, sur l'autre plan, est perpendiculaire à la ligne de terre. Ainsi, dans les figures 20 et 20 bis, le plan PMN est perpendicu-

Fig. 20.

Fi g. 20 ôici.

laire au plan horizontal et le plan PiMjNj perpendiculaire au plan vertical. Quant au plan PjMgN^. qui a ses traces en ligne droite, c'est un plan de p- ofil, perpendiculaire aux deux plans de projection.

Remarque. — Il arrive quelquefois, après 1© rabattement du plan vertical, que les deux traces d'un plan quelconque se trouvent en ligne droite sans être perpendiculaires à la ligne de terre: c'est lorsque ces traces font, avant le rabattement, des angles supplémentaires avec la ligne de terre.

Fig. 21.

Ainsi, dans la figure 21, si l'on suppose que

PMT + TxMN= 2 droits.

l'angle PMT, qui est contenu dans le plan vertical, ne change pas de grandeur dans le rabattement et l'on obtient une ligne droite PMN pour les traces du plan (figure "2 : his^ .

Fig. 21 Us.

VI. Les cor.ps géométriques. — Le but principal de la géométrie descriptive est la représentation des figures qui ont du relief. L'étude du point, de a ligne et du plan conduit naturellement à cette représentation et forme ce qu'on peut appeler l'alphabet de la science intéressante qui nous occupe. Nous avons déjà mis un parallélipipède et un cylindre en projection ; nous allons étudier d'autres solides isolés, tels que le prisme, le cône et la sphère, puis nous terminerons cette revue rapide par la mise en projection de corps assemblés .

La figure 22 représente un prisme hexagonal régu'\er reposant sur le plan horizontal: la projection horizontale est la base supérieure en vraie grandeur; la projection verticale ou élévation se compose de trois faces latérales du prisme, l'une en vraie grandeur parce qu'elle est parallèle au plan vertical, les deux autres réduites parce qu'elles sont obliques à ce plan.

Si l'on fait tourner le prisme précédent autour de son axe de manière à l'amener dans la position indiquée par la figure 23, la projection horizontale est toujours l'hexagone de base, mais, en projection vi-rticale, les arêtes irivisitles, c'est-à-dire situées en arrière du solide, no se trouvent plus vis-à-vis des arêtes visibles, situées en avant, et doivent être indiquées par des lignes ponctuées.

La figure 2-i représente un cône droit reposant sur le plan horizontal, et la figure 25 une sphère ayant 12 millimètres de rayon, dont le centre est à îO^^au-rlcssus du plan horizontal et à lô""" en avant du plan vertical.

VII. Application. — Projections d'une ferme de charpente Les toits des maisons sont soutenus de distance

en distance par des pnns de bois verticaux appelés fermes, qui vont d'une gouttière à l'autre et qui sont généralement composés des pièces suivantes repré-

Fig. 22.

Fig. a.

sentées en projection horizontale et en projection verticale : le tirant A, S', qui s'appuie sur les murs et qui a pour effet de détruire les forces compo-

fig. 24 lig. 25.

santés horizontales provenant du poids de la toiture et tendant à renverser les murs en dehors; le poinçon B'B', pièce verticale qui pénètre dans le milieu

uAn

Fig. 26.

du tirant par un tenon simple, et qui est relié avec ce tirant par une bande de fer deux fois recourbée, appelée étrier; les deux ar h nié trier s, C,G', qui sont

deux pièces latérales, parallèles aux lignes de plus grande pente du toit, pénétrant dans le tirant pir un embrèvement avec encastrement, et dans le