GE
KR (@+nË) het
les coefficiens (271), (472), etc., étant ce que deviennent (ml), (ml), etc., dans le cas de m=—£
Mais en substituant £ à la place de 72 dans les expressions (b) (voy. FacromeLre, 14) qui donnent les valeurs de Gal), (ml), etc., on voit que tous ces coefficiens deviennent des multiples de cette quantité infiniment
petite et qu’ils sont tous affectés du signe —; désignons
d . a L 1 È onc par —0,, —-6,, — 6: etc., ce que devien-
nent daus ce cas les quantités (m[1), (m2), etc., eten di-
visant de part et d'autre par - nous obtiendrons les
relations suivantes (s)
E = 0,—30,+430, 3 = 0:—/40:4603—49, & = 0,—b0,1003—10044-59% GC. —= etc.
et en général
mou Li + ONE SEE RE
Si, à l’aide de ces relations, on effectue le calcul des
quantités 0,, 9, etc., on verra que toutes celles d’un
FA
indice impair, comme #3, 45, 6, etc., seront égales À zéro , excepté le première 9,, et que toutes celles d’un indice pair sont alternativement positives et négatives.
On trouve aïn$si
I I 0, =+-, G—.2 ; 2 240 I 1 0,=+ — 010 = Host SF 132 I Got = — Hi FE) = — 120 E 32760 = + — É— —— — — 152 ? à 12 etc. LC:
Ces nombres, d’un grand usage dans le caleul som: matoire, sont connus sous le nom de nombres de Bernourllr.
L'expression (r) devient donc
A2 Sn:
(x Hnëf"® = (xd-né) a0, si Rae dard nt ar nes la suite ë Le æ+nE
aa Te ap Ton re
et, remarquant que d’après la théorie des logarithmes (Voy. ce mot),
(x+n£) = 1 EL log. (né) |
nous obtiendrons définitivement l’expression (4)
(æ-ngÿ 142 log. CEE
c’est-à-dire (4') fac. élém ETES US log. (x + ne EE ‘a re 1 x+YnË
Nous verrons ailleurs dés applications importantes de ces expressions (7’oy. SÉRIES HARMONIQUES).
Pour obtenir maintenant le facteur élémentaire de la
faculté ox *, développons gte-n£)lé
mentale (7)
par la loi fonda-
mit Ë #3 £3 px —= N, + NS + UE rar ne + etc. :
et, pour obtenir les valeurs des quantités M(2),, M(m);, |
etc., dans le cas de »3—}, partons des relations connues
qui existent entre ces quantités et les nombres de Bernouïlli, savoir:
Mn) = 3m —0,n1,
Mn), = 4 m3 — 0m 4-20,m,
Mn), = 2 mi— 05m. +3 Dim? — 3 05m,
nel
‘etc:
et en général
Mn)" «mnt — bin ee 0 mir
22 HE Op mms +. Hi )Onpre
C'est à l’aide de ces relations qu’on peut effectuer facilement l'évaluation numérique des quantités M{2),, Mr). etc. pour toutes les valeurs de m positives ou négatives, entières ou fractionnaires.
Faisant donc m—%, nous trouverons
Mr 18e s
MG =+20,.5 MG = +30: x Mas 4 à
(TE etc.
Les expressions générales (p) deviendront en y substituant ces valeurs
D nu a] log. g(+ni p(x+né) JE di AR + 1 Mrs d log. p(x+n£) 1 ile LS a [ee dx? Er | . Nos bu 3 y s je log. Es] Co BRE etc.—=;, te.
et remarquant , en outre, que
No—yxtné) = 1 + 2 log. ox né)
on obtiendra définitivement
fac. élém. QarE = 1 de log. Q(x+n£) — d'log otr+n?) o [AE st ie üg d log. p(x+né) “ne
. dx 7
6, [en serie Pee
+ etc...
En faisant dans cette expression gx = x, on retrouvera le facteur élémentaire des factorielles donné ci-dessus sous la marque (/').
20. Pour compléter la théorie des facultés algorithmiques, il nous resterait à examinerle cas des fonctions de plusieurs variables recevant chacune un accroissement différent, et surtout le cas plus général où les accroissemens de ces variables sont eux-mêmes des quantités variables; mais cet examen nous entrainerait trop loin, et nous sommes forcés de renvoyer nos ecteurs à l'ouvrage déjà cité de M. Wronski (Réfutation de la théorie des fonctions analytiques ). Si nous nous sommes attachés à démontrer rigoureusement les propriétés fondamentales des facultés pour les valeurs fractionnaires des exposans, c'est que cela n’avait point encore été fait , et que l'extrême importance de ces fonctions nouvelles repose, principalement , sur les quantités érrationnelles supérieures auxquelles l'extraction de leurs bases donne naissance ; cette considération nous fera pardonner les détails, peut-être minutieux, dans
lesquels nous sommes entrés,
Nous verrons ailleurs le rang que les facultés occupent dans la science. Voyez MATRÉMATIQUES.
Facurrés ExrONENTIELLES. Facultés dont l’exposant est une quantité variable ou une fonction d’une quantité variable,
FAGNANO (LE COMTE JULES-CHARLES DE) ; marquis de Taschi et de San-Ifonario, est remarquable parmi les géomètres italiens les plus distingués de lafin du XVII du XVII.
Dès l’année 1719 il a publié dans les journaux italiens et les actes de Leipsig des mémoires fort remarquables sur divers problèmes de géométrie et d’algèbre. Ces
siècle et &Gu commencement
pièces furent publiées plus tard , réunies en deux volumes in-4°, par le comte de Fagnano lui-même sous ce simple titre : Produzzioni mathematiche, Pesaro , 1750; Parmi les nombreux sujets qui y sonttraités avec le plus de supériorité , on doit citer une Théorie générale des proportions géométriques , un traité des diverses propriétés des triangles rectilignes , et surtout des recherches sur les propriétés de Ja Lemniscate ; une figure de cette courbe orne le frontispice de son livre. Son fils, Jean-Frarçois de Taschi de Fagnano, archidiacre de Sinigaglia , s’est aussi distingué dans la même carrière, Les mémoires remarquables qu’il a publiéssur un grand nombre de problèmes qui intéressent la géométrie et la science des nombres, ont été insérés dans les 4ctes de (Foyez AcrA TRAD., 1774, 1775 1776.) Nous verrons à l’article Locanrrnme plusieurs expres-
Leipsig.
sions très-remarquables de la circonférence du cercle au moyen des logarithmes des quantités imaginaires , qui appartiennent à ces deux géomètres.
FAUSSE POSITION (Règle de).{4rith.) Opération dont le but est de résoudre, à l’aide des nombres seuls, et sans le secours des formules algébriques, tous les problèmes déterminés à uneseule inconnue qui conceïnent les quantités numériques.
Résoudre un problème numérique , c’est trouver un nombre qui satisfasseaux conditions énoncées dans ce problème. En algèbre, on désigne ce nombre inconnu par x, etaprèsavoir exprimé, à l’aide des signes algéhriques, les relations qui existent entre les quantités connues , qui sont les données du problème , et la quantité cherchéex, on obtient une équation dont la solution fait connaître la valeur de x. Si l’on demandait, par exemple, quel est le nombre dont les deux tiers surpassent la 7noitie d’une seule unité; en désignant ce nombre inconnu par æ, ses deux tiers seraient exprimés par
zæ . : :
.etl’on aurait la relation
22 53 3° sa MmOItIC par
ÉÉSTRRE
laquelle, traitée selon les règles des équations du premier degré ( loyez ce mot) , ferait connaitre la valeur dex , savoir : æ —6.
On fait une fausse position, lorsqu’au lieu de résoudre directement l'équation . on met à la place de l’inconnue æ un nombre pris entièrement au hasard. Si l’on examine ensuite ce que devient par cette supposition la condition énoncée, on trouvera ordinairement qu’elle n’en sera pas satisfaite; on verra conséquemment de combien ils’en faut qu’elle le soit, et cette quantité, exprimée en nombres, sera l’erreur de la fausse position.
Une seconde supposition également arbitraire, ou une seconde fausse position, fera connaître, de la même manière, une seconde erreur.
Ayant exécuté ces deux opérations préalables, voici la règle absolument générale à l’aide de laquelle on déterminera la véritable valeur de l’inconnue :
1° Si les deux erreurs sont de méme nature , c’est-àdire , sielles sont toutes deux en plus ou toutes deux en moins , >iultipliez chacune des suppositions par l'erreur que l’autre aura produite ; prenez la différence de ces
produits, et divisez-la par la différence des erreurs.
2° 191 les erreurs sont de nature différente, c’est. àdire l’une en plus et l’autre en moins, multipliez de méme chaque supposition par l'erreur de l’autre, prenez la somme de ces produits, et divisez-la par La somme des erreurs.
Dans les deux cas le quotientsera la véritable valeur de l'inconnue.
En prenant, par exemple, le problème ci-dessus,
FA
supposons d’abord que le nombre demandé soit 12: alors, comme les deux tiers de ce nombre sont 8, et que sa moitié plus 1 est, nous voyons que la condition du problème n’est pas remplie , puisque 5 surpasse 7 de 1. L'erreur de cette première fausse position est donc 1 en plus. Supposons maintenant que le nombre cherché soit 18: comme les deux tiers de 18 sont égaux à 12, et que sa moitié plus 1 est égale à 10, nous avons une seconde erreur en plus égale à 2. Ecrivons ainsi les résultats des fausses positions
1'° fausse position = 12, 1erreur = + r.
2° fausse position = 18, 2° erreur = + 2.
Les deux erreurs étant de même nature, multiplions 12 par 2, 18 par 1 , et divisons la différence 6 des deux produits 24 et 18, par la différence 1 des deux erreurs. Le quotient 6 est le nombre demandé. En effet, les
2 de 6 sont 4 , et sa moitié plus 1 est également 4.
La règle de fausse position ne donne des solutions rigoureuses que dans le cas où le problème proposé conduit à une équation du premier degré. Dans tous les autres cas, son application exige que par des moyens quelconques on se soit procuré une valeur approchée de l'inconnue , mais alors elle devient d’un usage d’autant plus précieux qu’elle égale au moins, si elle ne surpasse pas, toutes les méthodes algébriques connues en facilité.
Toutes les fois donc que l'inconnue déterminée par cette règle remplira la condition énoncée dans le problème , ce problème sera du premier degré ; si elle ne la remplit pas, il faudra conclure que le problème en question passe le premier degré.
Quant aux valeurs qu'on voudra supposer à l’inconnue , elies sont absolument arbitraires; tous les nombres possibles entiers ou fractionnaires conduisent également au but; mais comme les plus simples méritent la préférence , et qu'il n’en est pas de plus simples que zèro et ur , on simplifiera beaucoup l'opération en prenant zéro pour la première fausse position , et un pour la seconde; car l’un des produits devenant zéro, et l’autre étant seulement le produit de un par l'erreur résultante de la supposition zéro , c'est-à-dire cette premièreerreur ellemême , la règle pourra s’énoncer ainsi :
Divisez la première erreur par La somme ou la différence des deux erreurs, suivant que ces erreurs sont de nature différente où de méme nature.
Exemple. Partager 47 en deux parties telles qu’en divisant la plus petite par 3 et la plus grande par 5, la somme des quotients soit égale à 11.
Prenant o pour la plus petite partie, la plus grande sera 47. Or, o divisé par 3, donne o pour quotient, et 47 divisé par 5 donne o plus 4. Ainsi la somme des
FA quotients est 9 + ?, et diffère de r1 de r ++, ou de À
en moins.
Prenant 1 pour la plus petite partie, la plus grande séra 46. Il en résultera pour les quotients les fractions
* 4 143 ïet + dont la somme #3
est plus petite que 11 de 7%.
Nous avons donc :
1'*supposition —0o, 1'*erreur £,en moins.
2° supposition —=1, 2° erreur ?;,en/noins.
étant la même chose que % , la différence des erreurs est 2; ainsi divisant # par 4, nous obtiendrons pour quotient 12, qui doit être la plus petite des parties cherchées. En effet, 12 étant la plus petite partie , 35 sera la plus grande, et l’on a
Pour démontrer l'exactitude rigoureuse de cette règle dans toutes les questions qui ne passent pas le premier degré, remarquons que ces questions se résolvent à l’aide d’une équation dont la forme générale est
Ax+B—o
Or, en substituant successivement à la place de x la suite des nombres naturelso,1,2,3,etc., on voit que le premier membre de cette équation devient
Pourz—o, la quantité, B CIE FE A +B T—0), 2A+B Tite, 3A+B
etc. etc,
C'est-à-dire que les valeurs successives de ce premier membre, forment une progression arithmétique du premier ordre dont la différence est A, et dont le terme général est À x + B, x désignant l'in äce ou le rang des termes. Ainsi , la solution del’équation 4x + B =, se réduit à déterminer quel est le terme de la progréssion qui se réduit à zéro, ou eu dernier liex quel est l'indice x du terme zéro.
Cette question ne présente aucune diffculté:, car (voyez ProGression ) en désignant simplement par”
À, Ar, À; ; A3, Au, etci A;
les termes de la progression , nous savons qu’un terme quelconque À, est égal au premier plus autant de fois la différence de la progression qu'il y a de termes avant lui. Ainsi en désignant par D la différence, nous avons pour un terme quelconque A», l'égalité
An = A, - mD
et pour un autre terme quelconque An, l'égalité
An—=A,+nD ce qui nous donne pour la valeur de la différence D, l'expression D — An — An ME
Mais il est évident que pour trouver l'indice du terme zero de la progression, il suffit de diviser le terme A», ou leterme À, , pour la différence D ; car le quotient de cette division indiquera combien de fois il faut ôter la différence de chacun de ces termes, pour le rendre égal à zéro, et conséquemmenti l’éndice du terme zéro sera égal à l’un ou à l’autre desindices m, n diminués de ce quotient. Ainsi Am Ct An divisés par D, donnant respectivement
NA m — MA NAÂn—MAn
A nv A m An — À mn l'indice demandé sera NA yn— MA m NAn—MAn
ou An— Am ?
et par la nature du problème, ces deux expressions doivent être équivalentes. Elles se réduisent, en effet,
l’une et l’autre à
MA n—N An An—A mt
Ainsi pour trouver l'indice demandé, il faut multiplier chacun des deux termes par l'indice de l’autre, et diviser la différence des produits par celle des termes: ce qui est le principe de la règle de fausse position. Les conséquences ultérieures sont assez évidentes pour se passer de développemens.
Quelle que soit l'utilité de la règle de fausse position en arithmétique, son importance serait bien peu de chose si elle se bornait strictement aux problèmes du premier degré ; mais lorsque par d’autres procédés , ou seulement par le simple tâätonuement on s’est procuré une valeur approchée de l’inconnue , cette règle devient applicable à tous les problèmes déterminés quels qu'ils püissent être , et offre alors une ressource précieuse au calculateur, quand les moyens directs lui manquent ou sont trop compliqués. En effet, si dans une expression algébrique quelconque dépendant d’une quantité inconvue +, on substitue à la place de x une suite de nombres en progression arithmétique, les valeurs correspondantes de l'expression fnrmeront elles-mêmes une suite de termes qui se rapprecheront d'autant plus d'une progression arithmétique , que la différence de la pro-
