TOME

comme d’uue nouveauté d'autant plus remarquable,

qu'il connaissait, disait-l, trois méthodes différentes d'arriver à ce résultat, de sorte qu’il s'était peu attendu qu’on en trouvât une quatrième. Encouragé par ce premier succès, Leibnitz poursuivit avec ardeur ses spéculations sur les différences des nombres, qui lui semblaient si fécondes, et ce fut ainsi qu’il fut amené à la découverte du Calcul différentiel (Foy. ce mot).

Nous n’entrerons pas plus avant dansles détails de cette discussion. Ce fut, pour ainsi dire, une guerre scientifique nationale , dans laquelle les savans anglais revendiquaient avec une chaleur qui les rendit trop souvent injustes envers Leibnitz, les droits de Newton à la découverte du calcul différentiel. Mais pourquoi a-t-on cherché à rabaisser ces deux grands hommes, en les présentant nécessairement comme ayant abusé l’un et l’autre de confidences qui leur auraient inspiré la même idée et les auraient ainsi rendus plagiaires l’un de l’autre ? Leur génie n’a til donc pu se rencontrer en ce point ? Leibnitz et Newton étaient également dignes par leur génie, également appelés par leur savoir et leurs prodigieux talens, d’apporter dans la science ce principe quia été si fécond en grands résultats. À la rigueur, tous deux pourraient, s’il est permis de s'exprimer ainsi, se partager cet honneur, sans que la gloire de l’un ou de l’autre en fût diminuée. Néanmoins , si une telle question pouvait être tranchée par des dates , il n’y aurait pas de doute que l’antériorité ne fût en faveur de Leibnitz. Mais pourquoi n’auraient-ils pas conçu simultanément cette haute pensée? Tous deux l’ont d’ailleurs développée sous un point de vue différent, et c'est une circonstance qui domine toute cette discussion; elle a été passée sous silence par tous ceux qui s’en sont fait les historiens. Admettons donc que Newton et Leibnitz aient les mêmes droits à se prévaloir de la découverte du calcul différentiel; il est évident que Newton n'a aperçu dans sa théorie qu'une méthode de calcul qui devait faciliter la solution des hauts problèmes géornétriques , qu’en d’autres termes, c’est dans un sens concret qu'il en a conçu l’application. Mais Leibnitz a saisi dès le principe la nature abstraite de ce calcul, il en a embrassé le sens philosophique, et sous ce rapport , il n’y a aucun moyen d'établir entre lui et son illustre compétiteur un parallèle raisonnable. (Foy. Dirr., 52.)

Il existe entre le génie de Descartes et celui de Leiboitz, un point de conformité plus facile à établir, c’est que dans ces deux grands hommes, quoiqu'ils aient créé deux écoles rivales, les systèmes philosophiques et mathématiques sont rigoureusement unis et ne paraissent être que les déductions d'un seul et même principe. Tous deux ont voulu que les mathématiques empruntassent de caractère

la philosophie Île transcen -

dantal et l'autorité de ses plus hautes spéculations, et

170 LE que la philosophie se soumit, dans la recherche de la vérité, à la précision des mathématiques, et qu’elle revêtit ses énoncés du caractère d'évidence et de certitude qui distingue dans leur application les propositions de cette science. Impatient, suivant Brocker , de voir la métaphysique dégénérer dans les écoles en vaines subtilités, Leibnitz conçut son plan général de réforme, à commencer par la notion de substance qu’il regardait comme le principe et la base de toute science réelle. Ce grand homme expose ainsi l’idée fondamentale de sa doctrine métaphysique. « Pour éclaircir l’idée de substance, il faut remonter à celle de force ou d'énergie , dont l'explication est l’objet d’une science particulière , appelée dynamique. La force active ou agis: sante n’est pas la puissance nue de l’école; il ne faut pas l'entendre, en effet, ainsi que les scolastiques , comme une simple faculté ou possibilité d'agir, qui, pour être effectuée où réduite à l'acte, aurait besoin d’une excitation venue du dehors, et comme d’un stémudus étranger. La véritable force active renferme l’action en elle méme : elle est entcléchie, pouvoir moyen entre la simple faculté d'agir et l’acte déterminé ou effectué : cette énergie contient ou enveloppe l’effort, et se porte d’ellemême à agir sans aucune provocation extérieure. L'énergie, la force vive, se manifeste par l'exemple du poids suspendu qui tire ou tend sa corde; mais quoi: qu’on puisse expliquer mécaniquement la gravité ou la force du ressort, cependant la dernière raison du mouvement de la matière n’est autre que cette force imprimée dés la création à tous les êtres, et limitée dans chacune par l'opposition ou la direction contraire de tous les autres. Je dis que cette force agissante est inhérente à toute substance qui ne peut être ainsi un seul instant sans agir, et cela est vrai des substances dites corporelles , comme des substances spirituelles. La est l’erreur capitale de ceux qui ont placé toute l'essence de la matière dans l'étendue ou même dans l'impénétrabilité, s’imaginant que les corps pouvaient être dans un repos absolu; nous montrerons qu'aucune substance ne peut recevoir d’une autre substance la force même d'agir, et que son effort seul , ou la force préexistente en elle ne peut trouver au dehors que des limites qui l’arrêtent et la déterminent. » Leibnitz expose ensuite ses théories si remarquables sur les idées et les monades. Suivant sa doctrine, il existe des idées indépendantes de l'expérience, qui ont leur unique source dans l’esprit humain lui-même ; les idées sont obscures ou lucides, confuses ou coordonnées. Confuses, elle dérivent des sens ; coordonnées , elles appartiennent à l’entendement seul.

Le principe de non contradiction est la pierre de touche de la vérité; on y arrive par l’analyse, en réduisant le composé à ses élémens. Les vérités contin-

LE

gentes sont prouvées par le principe de la raison suffisante, laquelle nous mène à une cause absolue placée hors de la série des êtres contingens. Les idées qui se rapportent aux objets extérieurs à l’ame, sont en harmonie avec ces objets, autrement elles ne seraient que des illusions. La raison suprême des principes nécessaires est en Dieu, source de toute vérité, nécessaire et éternelle. Il y a des monades primitives, infinies , et des monades limitées qui se distinguent entre elles par la puissance et la qualité de leurs perceptions. Les monades sans perception sont les corps inertes; les animaux des monades n’ayant qu’une perception confuse; les êtres rationnels, les esprits, des monades à perception distincte: Dieu les reuferme toutes, ii est la mouade absolue. (L. F, Schon). Ce système philosophique que nous ne pouvons exposer ici dans tous ses développemens excita, disent tous les biographes de Leibnitz, tous les historiens de la science , un enthousiasme universel. Il a été en Allemagne le principe d’un grand et beau mouvement intellectuel auquel l'humanité a dû successivement Kant, Fichté et Schelling.

La vie de Leibnitz est semée de peu d’événemens. Nous avons rapporté ceux de sa Jeunesse , et énoncé quelques-uns des immenses travaux qui ont illustré sa carrière. Cet homme extraordinaire est sans contredit un de ceux qui ont le plus honoré l'intelligence humaine, et ila laissé dans le monde un nom qui ne mourra jamais. Îl succomba à une couite maladie le 14 novembre 1716, à l'âge de soixante-dix ans. Un monument, construit en forme de temple, lui a été élevé aux portes d'Hanovre; on ylit cette simple et éloquente inscription : Ossa Leibnitit. (Voyez la vie de Leibnitz, par Brucker, et son éloge, par Fontenelle.)

C’est aux soins de Louis Dutens qu’est due la collection la plus étendue des œuvres de Leibnitz: Go. Gal. Leibnitii opera omnia. Genève 1763. 6 vol. in 4°. Le troisième volume est consacré aux mathématiques; la philosophie est dans le second.

LEMME. (de x«p£avv, j'admets.) Proposition préliminaire qu’on établit pour servir à la démonstration de quelque autre proposition, quoiqu’elle n'ait cependant qu’un rapport indirect avec le sujet de cette dernière, et qu’elle ne soit employée que subsidiairement, soit pour la démonstration d’un théorème , soit pour la solution d’un problème.

LEMNISCATE. (Géom.) Nom d’une courbe qui a la forme d’un 8, et dont le comte de Fagnano {voy. ce mot) s’est particulièrement occupé.

Si nous prenons À pour l’origine des coordonnées, et que nous désignions AP par æet PN pary, l'équation de la lemriscate sera

LE

ay = 2V ax a désignant la ligne constante AB ou AC.

Cette équation, à laquelle on peut donner la forme æy° — ax? — x, nous apprend que la courbe est une ligne du quatrième ordre, et qu’elle est quarrable (Foy. QUADRATURE), Car son

élément est » qe yax = - dxV'&—x a

dont l'intégrale complète est (Foy. Ix-

TÉGRAL, 10)

+ 3 ‘ ainsi en faisant z—a, on obtient pour l'aire de la par-

tie BNA , la valeur l'aire totale est donc — le,

Une ligne droite telle que mg peut couper la lemniscate en 4 points, »m,n,p,q. Le point A est considéré comme double (Foy. Murripre). Il existe d’autres courbes, et la cassinoïde est de ce genre, qui ont la forme d’un 8 ; mais celle-ci est la plus simple.

LENTILLE. ( Dioptrique. ) On donne particulièrement ce nom à un morceau de verre taillé en forme de lentille, c’est-à-dire, doublement convexe, et dont la propriété est de faire converger les rayons de la lumière qui passent au travers, de manière à les réunir en un seul point qu’on nomme le foyer de la lentille. Par extension , on a coutume d'appeler verres lenticulaires où lentilles tous les verres sphériques que l’on classe ainsi qu'il suit : (Voy. fig. 2, PL. 45.)

1° Plan convexe, verre dont une surface est plane et l’autre convexe : A, présente sa section ou son profil.

2° Convexe-convexe , ou doublement convexe, B.

3° Plan concave, C.

4° Doublement concave, D.

Il existe une autre classe de verres lenticulaires dont l’une des surfaces est convexe, tandis que l’autre est concave: tel est E; mais ceux-ci prennent le nom de Ménisques. (Voy. ce mot.)

Les verres convexes ont seuls la propriété de faire

| converger les rayons lumineux ;les verres concaves , au

contraire, les rendent divergens. Nous allons examiner ces deux classes de verres.

Lentilles convexes. Si l’on expose à la lumière du soleil un des verres des formes A ou B, et que l’on reçoive

| | sur une surface les rayons lumineux quile traversent, ces

rayons projettent sur la surface une image lumineuse dont la grandeur varie selon que cette surface est plus

| ou moins près du verre. Ainsi, en supposant qu’on ait

d’abord placé la surface très-près du verre, et qu’on

l'en éloigne ensuite peu à peu, oufivoit l'image lumineuse augmenter successivement d'éclat, tandisqu’elle diminue de grandeur jusqu’à ce qu’elle occupe le moindre espace possible; au-delà, la lumière s'affaiblit et devient divergente.

Le point où l'image lumineuse est la plus petite possible se nomme le foyer, et sa distauce à la surface du verre, tournée de son côté, prend le nom de distance focale.

La distance focale est la même, quelle que soit celle des surfaces qui reçoit les rayons lumineux , lorsque le verre est symétrique ; mais les verres non symétriques, c’est-à-dire, ceux dont les surfaces sont différentes, ont deux distances focales. Cependant la différence entre les deux distances focales d’un même verre, est toujours une quantité très-petite.

On désigne particulièrement sous le nom de surface antérieure du verre , celle qui est tournée vers l'objet qu’on regarde, et sous celui de surface postérieure, celle qui est tournée du côté de l'œil.

L’effet le plus remarquable des verres convexes est de grossir les objets, et c’est sur cette propriété qu'est fondée la construction des lunettes ; il résulte de la double réfraction que subit un rayon lumineux dans son passage au travers de la lentille, cette double réfraction réunissant sous des angles plus grands les rayons de toutes espèces, soit parallèles, soit convergens, soit divergens. Par exemple ( pl. 45, fig. 3) les rayons parallèles bD, bE, qui sans la réfraction ne se réuniraient jamais, en traversant la lentille DE, se réunissent en f'; les rayons convergens AD, 4«Ë, dont le point de concoursest eng, par l'effet de la lentille se réunissent en h, en faisant un angle DAE plus grand que Aga; et enfin les rayons divergens cD, cE qui, sans la réfraction, iraient toujours en s’écartant, vont se réunir en g : la portion cc de l'objet paraît donc sous l'angle Aga et par conséquent de la grandeur Aa.

L'image de cet objet paraît derrière la lentille dans un endroit plus éloigné que celui où l'objet est placé. Cela vient de ce que lesrayons de chaque faisceau, partant de chaque point de l’objet, deviennent par les réfractions moins divergens , et ont par là leur point fictif de réunion plus éloigné. Le point B (fig. 4, pl. 45) vu au travers de la lentille paraît donc en b. Mais pour que l’image de l'objet soit vue derrière la lentille, il est nécessaire que cet objet soit placé plus près de la lentille que le foyer des rayons parallèles. Car si l’objet était en B (fig. 5, pl. 45) plus loin que ce foyer, les rayons de chaque faisceau, en arrivant à la surface de la lentille, étant trop peu divergens , deviendraient , en latraversant, parallèles ou même convergens, et n'auraient pas de point fictif de réunion; on ne verrait donc point l'image derrière la lentille. Toutefois, si ces rayons de-

venaient convergens, l'image pourrait se faire voir en deçà de la lentille, entre la lentille et l'œil. Supposons O, (fig. G, pl. 45) le foyer des rayons parallèles de la lentille DE, et AB un objet placé au-dela ; les faisceaux derayons AF, BD, partant de chaque point , étant trop peu divergens, en arrivant à la lentille, deviennent convergens à leur passage et vont tracer en ab une image renversée, qu'un œil placé en F peut apercevoir. Cette image est nécessairement renversée, parce qu’il n’y a que les rayons qui se soient croisés entre l’objet et la lentille qui puissent ensuite converger au même œil. C'est cette image et non le corps lui-même qui est l’objet immédiat de la vision, au travers d’une lunette. (Foy. ce mot.)

Les lentilles faisant entrer dans l’œil beaucoup de rayons qui n’y entreraient pas sans elles , nous font voir les objets avec plus de clarté et nous offrent ainsi un moyen précieux de remédier à la faiblesse de la vue; cependant l'usage des lunettes simples ou besicles présente de graves inconvéniens qui ne peuvent être évités qu’en partie, et en employant des verres bien purs et parfaitement taillés.

Le grossissement des lentilles est d'autant plus considérable que la distance focale de ces verres est plus petite. On leur donne le nom de loupe quand la distance focale est au-dessus de 6 lignes et ne dépasse pas quelques pouces, et on les appelle microscopes simples, ou lentilles microscopiques , lorsque la distance focale est inoindre que 6 lignes.

Lentilles concaves. Un verre de cette espèce, présenté au soleil, transmet sur une surface opposée une image lumineuse qui paraît diverger comme si elle provenait d’un point situé dans la concavité du verre, Ce point se nomme le foyer négatif, et sa distance à la surface qui reçoit la lumière, distance focale négative. Les objets vus à travers une telle lentille paraissent plus petits et plus proches ; aussi ne s’en sert-on isolément que pour les bésicles destinées à corriger le vice de l’organe de la vue, nommé myopie.

Pour résoudre tous les problèmes qu’on peut se proposer sur les verres lenticulaires, il suffit de déterminer les relations géométriques qui existent entre les rayons des surfaces, les distances focales et le rapport de réfraction de l’air dans le verre. C’est ce que nous allons faire, en considérant une lentille quelconque MN (fig. 7 pl. 45), dont nous supposerons différentes les courbures MAN et MBN de ses surfaces.

Soit R le centre de la surface postérieure MAN , etr celui de la surface antérieure MBN, la droite qui passe par ces points sera l’axe de la lentille.

Si d’un point quelconque F de l’axe on imagine un rayon lumineux Fg qui rencontre le verre en g, et que du point g on mène gr, cette droite sera la normale au

LE

point g; et comme le rayon réfracté fait avec la normale un plus petit angle dans le verre que dans l'air (voy. RérracrioN), soit gh sa direction dans le verre, par le point k, où il sort du verre, menons la normale AR, et comme il doit s’écarter de cette normale, représentons par hf sa direction au sortir du verre; f sera donc le point où le rayon lumineux, deux fois réfracté , rencontrera l'axe.

Remarquons d’abord que puisque tout angle extérieur d’un triangle est équivalent à la somme des deux angles intérieurs opposés (ANGLE n° 9); les angles de la figure nous donnent les égalités suivantes :

Feg = gr + grF S'hp —hfR+ AR/, d'où Fgg + fhp = 8Er + 85€ + AfR + AR.

On a aussi grf + ARf = gOR = Ohg + Ogk.

Maintenant, si nous remarquons que la courbure des arcs MAN, MBN doit être toujours très-petite, pour que les verres puissent donuer des images distinctes, nous verrons que les angles aigus de la figure sont aussi toujours très-petits ;, et qu'on peut substituer à leurs rapports celui de ieurs sinus sans erreur sensible ; aivsi, en admettant que le rapport constant qui a lieu entre le sinus d'incidence et celui de réfraction de l'air dans le verre soit x : 1, nous pourrons poser

Fgq : Ogh::n:1 fhp: Ohg':in:1 ce qui donne

Fgg + fhp : Ogh + Ohgiin:1, et, par conséquent , en vertu des égalités précédentes , gEr + grE HR AfR + ARS: gif + hRf::n:r.

En composant les rapports on obtient (a), gEr + hfR : grf HhRf:: n—1 11.

Or, tous ces angies étant très-petits ; et les arcs Bg et

Ah pouvant être considérés comme des droites perpen-

diculaires à l'axe, on a sensiblement

gFr proportionnel à son sinus. — .

BR fiat Aa Eur 2 does Ée

Ainsi substituant ces rapports dans la proportion (a)

elle devient

LE Be Ah Be , Ah HBdoa Dai AR 0 0) et fournit l'égalité (b) Bg(n—:) Ah(n—1) __ Bg Ah NUS T ad) LU7

Désignons maintenant par R le rayon AR de la surface postérieure; par r celui Br de la surface antérieure , par a la distance FB, et par x la distance /A. Remarquons de plus que l’on a, à très-peu près, Bg — Ah, car les points g et À sont presque coïncidens à cause de la très-mince épaisseur du verre. Substituant dans (b), nous obtiendrons définitivement l’équation très-simple, (c),