FE

gression des nombres substitués sera plus petite. Aussi, l'application de la règle de fausse position à des questions au-dessus du premier degré, devra-t-elle donner des résultats d'autant plus près de la véritable valeur cherchée, que les suppositions seront elles:mêmes plus près de cette valeur.

Ayant donc trouvé une valeur approchée de l’inconnue, on en choisira une seconde prise à volonté, mais différant très-peu de l’autre; on appliquera à ces deux valeurs la règle de fausse position Le résultat sera déjà plus proche de la véritable valeur que les deux nombres qu’on avait supposés. Cette seconde valeur approchée en fera trouver une troisième, par une nouvelle application de la règle , et ainsi de: suite, jusqu'a ce qu'on ait obtenu une approximation suffisante. Dans la plupart -des cas , la troisième valeur sera exacte jusqu’à la sixième et même à la septième décimale.

L'exemple suivant suffira pour montrer la marche des opérations:

Exemple. On demande un nombre tel , que si de son cube , on Ôte sa racine carrée, il reste 1.

Ce problème conduit à une équation du sixième degré, et la science ne possède encore aucun moyen direct de le résoudre. On voit facilement que le nombre demandé est plus grand que r et plus petit que 2, eten poussant un peu plus loin Je tâätonnement on reconnaît qu'il doit être un peu moindre que 1,3; ainsi

1° supposition, x = 1,3; on trouve xŸ—92,1097 et Va— 1,140155, la différence de ces nombres est 1,026825 , il y a doncuneerreur en plus de 0,056825.

2° supposition,x =1,29; on trouve x? — 2,140689, V2 = 5, 140195; la différence de ces nombres est 1,010997, il y a donc uncerreuren plus deo ,o010g07.

Appliquant la règle, nous trouverons :

Différence des produits —0,0391251 Différence des erreurs = 0,045918

Ja divisou donne 1,28:6 pour valeur approchée de j’'inconnue. En effet, faisant x — 1,28:6, on a

a3—92,13472996 ; et V/x=1,13472464,

quaatités dont la différence 1,00000512 ne diffère en plus de l'unité que de 0,00000513. Une seconde opération en prenant pour seconde supposition x=1,28759, ferait trouver la valeur de l’inconnue avec au moins dix

décimales exactes.

FÉVRIER (Calendrier). Second mois dé l’année, côntenant 28 jours dans les années communes , ‘et 29 dans les années bissextiles. Foyez GALENDRIER.

FERMAT (Prenns), né à Toulouse vers l'an 1590, est un de ces grands géomètres du XVII° siècle,»dont

l'histoire dé la science honore le plus la mémoire et les importans travaux. On ignore dans quelles circonstances le goût des mathématiques putse développer en lui. Quoi qu'il.en soit, les travaux de Fermat ont largemeut contribué aux progrès extraordinaires de l'algèbre et de la géométrie, à l’époque où l’illustre Descartes opérait une si heureuse révolution dans ces branches de la science. Fermat , qui,occupait une charge de conseiller au parlement de Toulouse, ne révéla d’abord le génie dont il était doué que dans sa correspondance avec le père Mersenne et d’autres savans. Ses lettres forment un recueil important pour l'histoire des mathématiques. Dans le temps même où Cavalleri appliquait sa géométrie, à la recherche. des solides formés par les sections coniques, Fermat et d’autres géomiètres français cherchaient à s’élever à la considération d'une multitude de courbes , comme ils $’appliquaient à déterminer leurs tangentes, leurs centres de gravité, et les solides formés par leur révolution. Dans une lettre adressée au père Mersenne, vers le milieu dé l’année 1656, Fermat annonça qu’il avait considéré une spirale différente de celle d’Archimède. On sait, en cffet, que dans cette nouvelle courbe, les arcs de cercle parcourus depuis le commencement de la révolution par l’extrémité du rayon, ne sont point, comme dans celle du géomètre de Syracuse , en même raison que les espaces parcourus par le point décrivant; qui s’avance du centre vers la circonférence; mais en raison des carrés de ces espaces, de sorte que les arcs de cercle qui mesurent sa révolution, croissant uniformément, ce sont les carrés des distances au cehtre qui croissent aussi uniformément. On trouvera dans les lettres de Fermat la mesure de ces espaces, et la solution d’une foule de problèmes aussi difficiles que nouveaux, dont la considération des courbes était l'objet, et entre autres sa méthode pour trouver les centres de gravité des conoïdes ; nous devons ÿ renvoyer le lecteur.

Le génie de Fermat avait pour ainsi dire devancé celui de Descartes: sa correspondance, dont nous venons de parler, constate qu'il fut de bonne hewe en possession d’une grande partie des plus brillantes propositions, que l’illustre auteur du Discours sur La méthode avance dans son Traité de géométrie, entreautres de la méthode des Mazximis et minimis, de celle des tangentes et de celle de la construction des lieux solides. Ua historien des mathématiques a donc eu raison de s’écrier, dans son admiration pour ce célèbre géomètre : « Si Descartes eût manqué à l'esprit humain, Fermat l'eût remplacé en géométrie. » Cependant ces deux hommes si supérieurs, si dignes de s’apprécier , eurent ensemble plusieurs démêlés, dans lesquels ils soutinrent tous deux leur opinion avec plus ou moins de raison ou debonheur, mais avec une irritation peu philosophique.

FE Nous né pouvons entrer dans ces détails qui m’intéressent qu'imparfaitement aujourd’hui histoire de la science.

Pierre Fermat est mort au mois de janvier 1665; il laissa la réputation d’un juge intègre et éclairé ; aussi bien que d’un grand géomètre, car jamais ses études scientifiques ne lui firentoublier un momentses devoirs de magistrat. Il écrivait avec une élégance remarquable, non-seulement pour un géomètre, mais encore pour les littérateurs de son temps ; ilavait l'esprit vif et brillant, et à ses connaissances profondes en mathématiques, il joignait celle de plusieurs langues anciennes et modernes qu'il parlait et écrivait avec une égale facilité. L’académie de Toulouse qui comprit enfin la perte que les sciences avaient faites en cet homme aussi distingué par son caractère que par ses talens, proposa long-temps après sa mort, pour sujet d’un prix qu'elle institua, l'appréciation de ses travaux ; il était énoncé sous cette forme: De l'influence de Fermat sur la géométrie, de son temps. Ce fut la dissertation de Genty que l’académie couronna.

Les œuvres de Fermat furent recueillies et publiées à Toulouse en 1669 sous ce titre: Opéra malhematica, 2 vol. in-4°. Outre son édition annotée de l'algèbre de Diophante, qui fut publiée séparément en 1670, ce recueil contient les ouvrages spéciaux suivans : 1. Aéthode pour trouver la quadrature de toute sorte de paraboles. II. Méthode des maxima laquelle sert non-seulemént pour la détermination des problèmes plans et solides, mais encore pour mener des tangentes aux courbes , trouver les centres de gravité des solides et la solution de questions concernant les nombres. Cette dernière méthode a paru assez semblable à celle des

fluxions de Newton, pour que quelques mathématiciens

modernes aient voulu présenter Fermat comme le véritable auteur du calcul différentiel, prétention qui ne repose sur aucun fondement si l’on considère la nature abstraite de ce calcul tel qu’il a été découvert par Leibnitz. II. Une introduction aux lieux géometriques plans ët solides. IN. Un traité sur les tangentes sphériques, où il démontre pour les solides ce que Viète avait démontré pour les plans. V. Une restauration des deux livres d’Apollonius sur les lieux plans. VI. Une mé- Thode générale pour la dimension des lignes courbes, et enfin un grand nombre de mémoires et de lettres scientifiques.

FERNEL (Jæan ), médecin et mathématicien , s’est rendu célèbre par la première mesure d’un degré terrestre du méridien, qui ait été tentée en France, On a de lui un ouvrage de mathématiques pures, intitulé : De proportionibus libri W, Paris, 1528 in-fol. et deux ouvrages astronomiques le Monalospherion ét la Cosmotheoria: ces écrits sont aujourd'hui complètement

oubliés, Voici lemoyen qu'employa Fernel pour déter-

miner la grandeur dela terre, par la mesure d’un degré du méridien. Il alla de Paris à Amiens, villes qui se trouvent à peu près sous le même méridien, et comptant avec exactitude les tours de roue de. sa voiture, ils’avança vers le nord jusqu’à ce que. la, bauteur solsticiale du :soleil fût. d’un. degré moindre qu'à Paris, et trouva ainsi, pour le. degré d'Amiens, 57070 toises. On sait que Picard détermina, depuis, ce degré à 57,060 toises. Et quoique cette détermination ait depuis subi quelques modifications, il est au moins curieux que Fernel ait pu arriver aussi près de la vérité, à l’aide d’une méthode si erronée et si insuffisante, On doit du moins lui savoir gré de sa tentative, en attribuant à un pur hasard le résultat qu’il obtint. Fernel,

qui était né en 1497, mourut en 1558.

FERRARI (Lotis), né à Milan en 1522, suivant Cardan, et à Bologne suivant Bombelli, est regardé comme le premier inventeur de la révolution des équations du quatrième degré. Cardan rapporte que Ferrari entra à son service à l’âge de quinze ans, les dispositions extraordinaires qu'il remarqua dans ce jeune homme le déterminèrent à le tirer de sa condition servile pour donner des soins à son éducation. Son généreux maître favorisa les penchans qu’il mantfésta pour les mathéma-

tiques, et Ferrari profitasi bien de ses leçons, qu’à l’âve ques, cons; 6

‘ de r7 ansil fut en état de professer cette science. Depuis

cette époque, la fortune de Ferrari devint plus brillante que celle de son maitre. Le cardinal de Mantoue, qui l'avait admis dans son intimité , lui fit obtenir du prince de Gonzague, son frère, l’importante mission de dresser la carte du Milanais. Il employa huit années à l’achèvement de ce travail, et après avoir meué une vie licencieuse et une conduite peu louable envers ses bienfaiteurs, il mourut âgé de 43 ans, empoisonné, dit-on, par une sœur que l'espoir d'obtenir sa riche succession avait excitée à commettre ce crime,

Ferrari fit sa découverte à l’occasion d’un problème proposé par Jean Calla et qui divisa quelque temps les mathématiciens. Il s'agissait de trouver trois nombres continuellement proportionnels, dont la somme fut 16, et le produit du second par le premier fut 6. Ferrari, X Pinstigation de Cardan, s’occupa de ce problème et entrouva une solution ingénieuse. Elle consiste à ajouter à chaque membre de l'équation ordonnée d’une certaine manière, des quantités quadratiques et simples qui soieut telles que l'extraction de la racine carrée de chacun soit possible. (Voy. Biquadratique. )

FERREO (Scarow) de Bologne, géomètre du XVI° siècle, est connu dans l’histoire de la science, comme ayant résolu le premier, les équations du troisième

degré, (Voyez AuGÈvre et Canpan.)

FIGURE. Nom que l’on donne quelquefois, en arithmétique, aux chiffres simples o, 1,2,3,4,5,6,7,8,9

de notre échelle numérique.

ligue en géométrie, désigne généralement la forme d’une partie de l'étendue, limitée par des ligues droites ou courbes, si c'est une surface; et par des surfaces planes ou courbes si c’est un solide,

FIGURE DE LA TERRE. Voy. TERRE.

FIGURE (Sciences des nombres). Onappelle nombres figures des suites de nombres formant des progressions arithmétiques de divers ordres, dérivées les unes des autres par une loi constante.

Soit: 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, etc., la suite des nombres naturels. Si l’on ajoute ensemble les termes de cette suite depuis le premier jusqu’à un terme quelconque, il en résultera les nombres 1, 3, 6, 10, 15, 21, etc. qui sont les nombres figurés du second ordre, nommés aussi nombres triangulaires.

Ajoutant de même les termes de cette dernière série, il en résultera la suite 1, 4, 10, 20, 35, 56, etc. qui sont les xombres figurés du troisième ordre; on nomme encore ceux-ci nombres pyramidaux.

De nouvelles additions des termes de cette dernière suite donneront les nombres 1, 5, 15, 35, 70, 126, etc. qui sont les nombres figurés du quatrième ordre.

Continuant de la même manière pour les ordres supérieurs et disposant ces suites par colonnes verticales,

on formera le tableau suivant :

qu'on peut prolonger à volonté. Les noms de nombres triangulaires et de nombres pyramidaux, donnés aux nombres figurés des second et troisième ordres, reposent sur des considérations géométriques aujourd’hui insignifiantes.

Ces suites, dans lesquelles le terme général de chacune est la mème chose que le terme sommatoire de celle qui la précède, ont beaucoup occupé les premiers algébristes parce qu’elles leur donnaient le moyen de former ai-

FI s

sément les puissances successives d’un binome. En effet si l’on exainine la formation de ces puissances

(a+b} = a +b (a+-b} — (a+) = a+3a b+3ab +

(aHb} = ai ab+46ab+ ab Lbi

(ab) = a +5aibHioab+ioab+5abi tb

etc. ete.

on reconnait aisément que les coefficiens numériques des seconds termes, sont les nombres figurés du premier ordre, ou les nombres naturels; que ceux des troisièmes termes sont les nombres figurés du troisième ordre, et ainsi de suite, de sorte qu’en disposant ces nombres en forme de triangle, comme il suit :

VAT VAR OV Tr VAI

on trouve immédiatement les cocfficiens numériques d’une puissance de binome, en prenant les nombres situés dans la colonne horizontale dont le premiernombre est l’exposant de cette puissance. Mais depuis la découverte du développement général douné par la formule de Newton, toutes ces considérations sont de peu d’importance. Nous verrons aux mots ProGnessiox Ariru- MÉTIQUE €t SOMMATOIRE , comment on obtient le terme général de chaque suite des nombres figurés.

FINÉ (OnoncE), mathématicien et littérateur, né à Briancon en 1494, doit être misau nombre des savans de cette période qui ont contribué par leurs travaux à répandrele goût des mathématiques et par conséquent à favoriserles progrès de cette science. Son mérite le fit choisir par François I" pour professer les mathématiques au col-

lége royal, on a de lui plusieurs traités sur les mathématiques, l'optique, la géographie et l’astronomie, où plutôt l'astrologie, car sous ce dernier rapport, Oronce Finé, n’était point au- dessus des erreurs de son siècle. Il mourut en 1555. Ses divers écrits ont été réunis et imprimés sous ce titre un peu ambitieux : Oronti Fine, Delphinaleis protomathesis, Paris,1532, 42 et 56, in-fol.

FINI. Tout ce qui a des limites est /êni. Foy. CarcuL DES DIFFÉRENCES 24, la distinction transcendantale des idées du jéni et de l'infini.

FIRMAMENT (4str.). Nom par lequel on désigne souvent le ciel en général.

FIXE (4str.). On nomme étoiles fixes, les astres qui paraissent n’avoir aucun mouvement propre. #oyez Érorcx.

FLAMSTEAD (JEan), célèbre astronore anglais, né le 19 août 1649 (1646?) dans une petite ville du Derbyshire, s’est surtout rendu recommandable par ses importantes et nombreuses observations. Un penchant naturel à la solitude et à la méditation le porta de bonne heure vers la contemplation du ciel. Le hasard ayant fait tomber dans ses mains , un traité de la sphère de Sacro- Bosco, il le lut avec avidité et ce fut son premier guide dans l'étude sérieuse de l'astronomie, à laquelle il se livra dès-lors avec toute l’ardeur dont les esprits austères et mélancoliques sont susceptibles. On ne sait point de quels maîtres il sollicita les conseils, ni quels instrumens ileut d’abord à sa disposition; mais ses progrès furent rapides, etil entra en maitre dans la noble carrière que son génie lui avaitouverte. Dès l’année 1669, Flamstead présenta à laSociété royale de Londres des éphémérides pour l’année suivante; travail remarquable qui appela l'attention des savans sur le jeune astronome, et procva qu'il avait simultanément embrassé l'étude théorique de la science, et celle qui résulte de l’observation des phénomènes célestes. En 1672, il publia un mémoire sur l'équation du temps qui ajouta beaucoup à sa ré putation et le mit en relation avec les principaux astronomes de l'Europe. Quelques années après, Flamstead publia un traité sur la théorie de la lune d'Horoxes. Get astronome n'avait pas eu le temps d’en calculer les tables, et Flamstead, adoptant l’hypothèse qu'il proposait pour expliquer les mouvemens de ce corps céleste, remplitla lacune importante qu’on remarquait à regret dans son trayail.

Déjà l’Angleterre comptait Flamstead parmi ses savaus les plus remarquables; il vint à Londres vers l’année 1673, et sans abandonner ses études favorites il entra dans les ordres et fat pourvu d’un bénéfice qu’il laissa bientôt après pour les fonctions de directeur du nouvel observatoire royal de Greenwich, fondé par Charles IT. Ce prince dissipé secondait ainsi le génie de l'illustre nation sur laquelle il régnait, et qui tient une