TOME

LI AT la lune emploie le même temps pour tourner sur ellemême que pour décrire son orbite, dans le quart du temps de sa révolution périodique elle fait le quart d’un tour sur son axe, mais elle ne parcourt pas exactement le quart de son orbite; la portion de l’orbite parcourue est tantôt plus grande et tantôt plus petite que le quart, selon qu’elle se trouve vers le périgée ou l'apogée. Ces inégalités nous fonr successivement découvrir vers sa partie orientale et Vers sa partie uvcidentale des portions de sa surface que nous n’apercevions pas auparavant.

Où doit à Dominique Cassini la première explication satisfaisante du phénomène dela Zbration, dont la théorie complète a été donnée par Lagrange dans un mémoire qui remporta le prix proposé par l’Académie des sciences, pour l’année 1763.

LICORNE. (4st.) Nom d’une constellation méridiopale située entre le grand etle petit chien {(#oy. PL. 0), et près d'Orion. C’est une des onze constellations qu’Augustin Royer a ajoutées aux anciennes dans ses cartes ; elle fut formée en 1635 par Bartschius.

LIEU GÉOMÉTRIQUE. (Géom.) Ligne droite ou courbe dont la construction sert à résoudre un problème géométrique. (Ÿoy. APPLICAT. DE L’ALG. A LA GÉOM.)

Les anciens nommaient lieux plans ceux qui se réduisent à des droites ou à des cercles; et lieux solides, ceux qui demandent des paraboles , des hyperboles ou des ellipses.

Lieu d'une planète. (Ast.) C'est ordinairement sa longitude.

LIEUE. Ancienne mesure itinéraire. ( Foy. Mr- TRIQUE. )

LIGNE. (Géom.) Étendue qui n’a qu’une seule dimension , la longueur. (Foy. Norioxs PRÉLIM. 2; et GÉOMÉTRIE.)

LIGNE. Nom que l’on donne souvent à l'équateur par abréviation de ligne équinoxiale.

LIMBE. (45t.) Bord extérieur du soleil et de la lune. On donne aussi ce nom au bord extérieur gradué d’un cercle ou de tout autre instrument de mathématiques.

LIMITE. (4{g. et Géom.) Expression dont on se sert en mathématiques pour désigner la grandeur dont une quantité variable peut approcher indéfiniment, mais qu’elle ne peut surpasser.

Si l’on considère, par exemple, deux polygones, l’un inscrit et l’autre circonscrit à un cercle, il est évident que le premier est plus petit que le cercle, et que le second est plus grand. Or, si l’on augmente successivement le nombre des côtés de ces polygones , le polygone inscrit deviendra de plus en plus grand, et le polygone circonscrit deviendra de plus en plus petit, sans cependant qu’ils puissent jamais, le premier devenir plus grand , et le second devenir plus petit que le cercle. Le

178 LI cercle est donc la Limite de l'augmentation du polygone inscrit et de la diminution du polygone circonscrit.

S'il s’agit d'une expression algébrique V'a—x: dans laquelle x est une quantité variable, on voit que sa valeur est d'autant plus grande que celle de x est plus petite, et que cette valeur ne peut surpasser V/4* ou a; « est donc la limite de Var.

La Méthode des limites a été presque généralement adoptée par les mathématiciens modernes pour servir de base au calcul différentiel, et dans le but de se débarrasser des infiniment petits dont la conception ne leur paraissait ni assez claire, ni assez rigoureuse. Nous croyons avoir déjà suffisamment démontré le peu de fondement de la prétendue inexactitude qu’on a cru découvrir dans les principes fondamentaux du calcul de l'infini, et nous allons seulement examiner en passant si ceux de la méthode des limites sont plus clairs et plus rigoureux.

Désignons par y une fonction quelconque de la variable x, x? par exemple, et supposons que y devienne +’, lorsque x reçoit un accroissement À, nous aurons

donc F'=(a+h) = 2x hr + Si de cette équation nous retranchons l’équation primitivey=x*, il restera.

et en divisant par X

+ = 32 + 3xh +R,

or y'— y étant l’accroissement de la fonction y correspondant à l'accroissement À de la variable x, il est évi-

’ dent que”? est le rapport de l'accroissement de la fonction y à celui de sa variable x. Ainsi considérant le second membre de la dernière équation, on voit que ce rapport diminue d'autant plus que À diminue et que lorsque À devient nul , ce rapport se réduit à 3x*.

3x? est donc la limite du rapport? ; c'est vers ce terme qu'il tend lorsqu'on fait diminuer 4, et lorsqu’enfin k= o,ona F'—Y 9 2 —— = 92".

h C'est de cette manière, et nous n’avons fait que citer, que les auteurs modernes de traités sur le calcul différentiel parviennent à l'expression dela valeur des dérivées différentielles d’une fonction, car de l'équation précédente ils passent ensuite à celle-ci :

ce quileur donne eufu la différentielle : dx’) = 3x°dx. Mais en suivant la marche de l'opération qui nous a conduit à

car lorsque À — 0, on a aussi y — y — 0. Nous sommes doncarrivés à considérer le rapportde deux quantités zulles, conception qui n’est ni plus claire, ni plus rigoureuse que celle du rapport de deux quantités infiniment petites. Bien plus , l'équation !

TT Rs n’a aucun sens si 2 est un zéro absolu, car alors la variable ne reçoit pas d’accroissement, et conséquemment aussi la fonction y, et le rapport de deux accroissemens qui n’existent ni réellement ni idéalement, n’a absolument aucune signification.

On prétend que l'équation = = 3x2 ne présente rien

«ce “ . 0 de difficile à concevoir , parce que le symbole — peut représenter toutes sortes de quantités. IL est vrai que ce prétendu symbole à cette propriété, mais quelle analogie peut-il exister entre les quantités de la forme

A(x— an B(x—a)"

. : OU PSS: SUR :

qui deviennent - , c’est-à-dire seulement indétermi-

nées lorsque x — a et le rapport de deux quantités nulles, non parce qu’elles ont un facteur commun qui devient zéro, mais nulles par elles-mêmes ?

La valeur de la fonction

3x h+3xh + D

= 32° + 3xh +

est bien réellement 3x°, dans le cas de A—o, mais pour arriver à l'égalité («),

Y'—Y 32 h43xh hs LOTS h

il a fallu supposer que A a une valeur quelconque différente de zéro , car si k est zéro (x + A)’ est simplement x, et iln’y aplusaucun moyen de déduire cette égalité. Comment se fait-il donc que l'égalité (a), obtenue uniquement dans l'hypothèse de k, quantité différente de zéro , subsiste encore lorsqu'on détruit l'hypothèse sur laquelle elle est établie ?

C’est cependant sur ce rapport inconcevable de deux quantités nulles, non relativement comme le sont les quantités infiniment petites par rapport aux quantités finies (x0y. Dirr., 24), mais »ulles absolument, c’està-dire de vrais zéros réels et absolus, que se trouve fondée la méthode claire et rigoureuse des limites ! Quelle profonde métaphysique!

Liurres des racines des équations. On donne ce nom à deux nombres dont l’un est plus grand qu’une des racines d'une équation, et l’autre plus petit. C’est sur la recherche de deux tels nombres qu'est fondéela résolution des équations numériques. (Joy. APPROXIMATION.)

On démontre, dans tous les Ælémens d’ Algèbre, que si deux nombres p et g substitués à la place de x dans une équation numérique d’un degré quelconque X —0, dounent deux résultats de signes contraires , ces deux nombres comprennent au moins une racine réelle de la proposée.

Ainsi, en prenant pour exemple l'équation

x—2x—5=o, si nous substituons successivement à la place de x la suite des nombres naturels 0, 1, 2, 3,4, etc., en les prenant

tant positivement que négativement, nous trouverons, désignant par X le premier membre, que pour

x—0,onaX—— 5; x— o,onaX —— 5.

Li, X=— 6,z—— 1, X = — 4, Li 2), X—=— 1,x—— 2, X=— 9.

Ti —3, X= +16; x——3, X = — 26 æ = 4, X=+5r;x—— #4, X = — Gi.

etc... etc... etc. etc.

et nous en conclurons qu’il y a une racine réelle positive comprise entre 2 et 3.

Pour diminuer le nombre des substitutions, il est important de connaître une limite supérieure à toutes les racines, plus cette limite sera rapprochée de la plus grande racine, mais on aura besoin de substitutions. Voici le procédé donné par Newton pour déterminer la limite supérieure la plus petite possible en nombre entier. Soit X — o l'équation proposée, si l’on forme la suite de fonctions dérivées

dX x dx

7, etc.

jusqu’à ce que l’on parvienne à une fonction du premier degré, le problème sera ramené à trouver pour x le

plus petit nombre qui rende toutes ces fonctions positives.

Prenons pour exemple l'équation | 2i— 3x — 3x + 4x —5—0o,

nous aurons

X = xi— 3x — 32 + nx — 5,

me —= fa — 9x — Gr +4, sde = 62 — 97 — 3, dx 23de h%—3,

En commençant par la dérivée du premier degré, il est évident que tout nombre positif plus grand que o, mis à la place de x le rend positif, et que 1 est le plus petit de ces nombres.

Substituant 1 dans la dérivée du second degré, on trouve un résultat négatif, mais 2 ou tout autre nombre plus grand donne un résultat positif.

2, substitué dans la dérivée du troisième degré, donne un résultat négatif, mais 3 ou tout autre nombre plus grand que 3, donne un résultat positif.

3, substitué dans la fonction primitive X, donne un résultat négatif, et l’on s'aperçoit aisément que 4, ou tout nombre plus grand, donne un résultat positif.

Ainsi 4 est le plus petit nombre qui puisse rendre en même temps toutes les fonctions positives. Donc 4 est la limite supérieure des racines positives de la proposée, et comme c’est d’ailleurs la limite la plus petite en nombres entiers, il s'en suit qu'il y a une racine réelle positive comprise entre 3 et 4.

Pour obtenir la limite supérieure des racines négatives, on transforme l’équation proposée X := 0, en X'— o en faisant æ — — x’, et comme les racines positives de la transformée donneront les racines négatives de la proposée en les prenant avec le signe —, la limite supérieure de ces racines positives sera en même temps, en lui donnant le signe —, la limite supérieure des racines négatives de l’équation X — 0.

Lorsqu'on est parvenu à connaître la valeur d’une racine réelle à moins d’une unité près, on peut ensuite obtenir cette valeur avec tel degré d’approximation qu’on peut le désirer en employant les méthodes exposées au mot APPROXIMATION.

La recherche des limites des racines réelles des équations a été l’objet d’un grand nombre de travaux consi-

gnés dans tous les traités d’Algèbre.

LINÉAIRE. On désigne souvent sous le nom d'équation lineaire , les équations du premier degré, parce que l’inconnue n’y est élevée qu'à la première puissance, et que l’on nomme généralement quantités Lnéaires celles qui n’ont qu’une seule dimension. (Poy. ce mot.)

LOGARITHME. (4/g.) On nomme en général Lo-

garithme d'un nombre, l'exposant de la puissance à laquelle il faut élever un certain nombre invariable

pour produire le premier nombre. Par exemple si 2 est le nombre invariable ou la base des logarithmes, l’exposant 3, qui exprime la puissance à laquelle il faut élever 2 pour obtenir 8, est le logarithme de 8.

Le nombre invariable, pris pour base , étant entièrement arbitraire, il existe un nombre infini de systèmes différens de logarithmes; le système dont on se sert habituellement ou celui des tables ordinaires, a pour base le nombre 10. Cependant il existe entre deux systèmes quelconques de logarithmes, des relations fixes et déterminées, et les propriétés de ces nombres sont les mêmes dans tous les systèmes,

Soit & un nombre quelcouque, x l’exposant de la puissance à laquelle il faut élever «& pour obtenir un nombre variable z, nous aurons l'égalité (1)

at = 2Z

dans laquelle a sera la base du système des logarithmes æ,etzx le logarithme de z.

Nous verrons plus loin que, pourvu que æsoit un nombre différent de l'unité, il existe toujours un nombre x capable de satisfaire à l'égalité (1) quel que soit z. Mais il faut nécessairement que a diffère de l'unité, car toutes les puissances de l'unité étant elles-mêmes l’unité, le second membre de (1) dans le cas de a = 1, serait toujours l'unité, pour toute valeur de x, et ne pourrait conséquemment engendrer tout autre nombre.

Nous allons d’abord exposer les propriétés fondamentales des logarithmes, puis nous examinerons la nature particulière de ces quantités et le rang qu’elles occupent dans la science des nombres.

1, La base a étant un nombre quelconque différent de l’unité, on a toujours & = 1. (Voy. ALGÈBRE 24.) Ainsi, dans tout système de logarithmes, le logarithme de l'unité est égal à zéro. Comme on à aussi a = à, il en résulte que dans tout système de logarithmes , celui de la base est l'unité.

2. Si nous désignons par æ et x' les logarithmes des nombres z et z', les égalités

at =;3 ! a | af —=3

étant multipliées terme par terme, fournissent a x ar = 2,2

mais (4lg. 20) at X a°'— art", ainsi

ar+x' = 72.3,

Or, x +x'est le logarithme du produit z.z', donc le logarithme du produit de deux nombres est égal à la somme des logarithmes de ces nombres.

Il est facile d'étendre cette propriété à un nombre quelconque de facteurs, puisqu'on a généralement a*.a*',.ar", ax"

., etc. = ar+rl+a"+r" Loc,

LO

On peut donc poser en principe , que Le logarithme d'un produit quelconque est égal à la somme des logarimes de tous les facteurs.