On trouverait de même

C'est-à-dire que le logarithme d’une racine est égal à celui du nombre divisé par l’exposant.

6. Ce sont les quatre propriétés fondamentales précédentes qui rendent l'usage des logarithmes si précieux pour la réalisation des calculs, parce qu’eiles donnent les moyens d'exécuter avec beaucoup de faalité les opérations élémentaires, en ramenant les plus compliquées à de plus simples. Il ne faut évidemment pour obtenir ces avantages que pouvoir connaitre dans tous les cas les logarithmes qui répondent à des quantités données et réciproquement, C’est là le but des tables de logarithmes qui présentent les nombres dans une colonne et les logarithmes correspondaus dans une autre.

7. Dans le système des logarithmes vulgaires ou tabulaires, la base étant 10, on a, en désignant par Log. le logarithme ,

10° — 1, ou Log. 1 = 0 10 — 10, Log. 10 = 1 16% — 100, Log. 100 = 2 10? — 1000, Log. 1000 — 3 10 — 10000, Log. 1000 = 4 etc.... etc....

D'où l’on voit que tous les logarithmes des nombres compris entre 1 et 10 sont plus petits que l’unité; que ceux des nombres compris entre 10 et 100 sont plus petits que 2 ; que ceux compris entre 100 et 1000 sont plus petits que 3, et ainsi de suite.

Ces logarithmes des nombres intermédiaires entreles puissances entières de la base sont, comme nous le verrons plus loin, des quantités incommensurables qu’on

a coutume d'exprimer approximativement par des fractions décimales, et ils sont d'autant plus exacts qu'ils sont exprimés par un plus grand nombre de chiffres.

Si l’on voulait trouver par exemple le logarithme de 5, nombre compris entre 1 et 10, on pourrait opérer de la manière suivante, en partant d’une des propriétés fondamentales des logarithmes. Soient, en général, deux nombres y, z dont les logarithmes sont respectivement x et u; savoir: æ —= Log y , u = Log z. D'après ce qui précède (2)

Tru Log. V/y2 — + Log.y:— ee

Ainsi le logarithme du nombre moyen proportionnel entre y et z est égal à la moitié de la somme des logarithmes de y et de z. Or v étant un nombre compris entre y et z on peut toujours insérer entre y et z uu assez grand nombre de moyens proportionnels pour que l’un d’entre eux ne diffère de v que d’une quantité aussi petite qu'on voudra, et qu'on puisse alors le prendre pour # sans erreur sensible ; et comme les logarithmes de tous ces moyens proportionnels se trouvent donnés facilement en vertu de l’expression (2), on aura de cette manière celui de v. Faisant doncy —1, Z = 10, nous trouverons pour le moyen proportionnel entre 1 et 10

ViXio= V/10 = 3,162277,

en nous bornant à six décimales dans l'extraction de la racine. Mais Log. 1 — 0,Log. 10—1:1, et de plus

Log. VixXio =

— 0, b00000; c’est - à - dire

Log (3,162277) = 0, 500000. Remarquant maintenant que le nombre 5 dont on veut connaître le logarithme, est compris entre 3, 162277 et 10, on cherchera de nouveau un moyen proportionnel entre ces derniers nombres, ce qui donnera

VLioX3,162277]= V/(31,62277] = 5,623413 et l’on aura pour le logarithme de ce moyen

Log. (5,623413) —

Remarquant de nouveau que 5 est compris entre les nombres 3, 162277 et 5, 623413, dont les logarithmes sont connus , on cherchera comme ci-dessus un moyen proportionnel entre ces nombres, ainsi que le logarithme de ce moyen, eton poursuivra l'opération jusqu’à ce que l’on soit parvenu à déterminer un moyen proportionnel qui soit exactement égal à 5 dans les limites qu’on a choisies ,c’est-à-diré, ici, qui n’en diffère plus que dans la septième décimale : le logarithme ccr-

respondant sera le logarithme demandé, Voici le ta-

bleau de toute l'opération :

Nombres. Logarithmes.