Reprenons maintenant l'égalité fondamentale
at = 3
dans laquelle x — Log z; si l’on fait successivement æ=vu,1,9, 3, 4, 5, 6, 7, etc.
il en résulte
== 2 3 5 6 7 = 1,4, 4°, aÿ, af, a°, af, a, etc.
d’où l'on voit que toutes les valeurs de = plus grandes que l'unité, sont produites par des puissances de la base a, dont les exposans sont positifs, entiers ou fractionnaires , et que la valeur de z est d'autant plus grande que celle de x est elle-même plus grande.
Si l’on fait ensuite
T—O,—1,—2,—3,—4,—5,—06,— 7, etc.
on trouve
ï 1 ï ï I æ' &°' a" a C'est-à-dire que toutes les valeurs de z plus petites que l'unité, sont produites par des puissances de a, dont les exposans sont négatifs entiers ou fractionnuires, et que la valeur dez est d'autant plus grande que celle de æ est plus petite, abstraction faite du signe.
10. Il résulte de ces considérations que puisque les logarithmes tant positifs que négatifs, dont les valeurs croissent depuis zéro jusqu’à l'infini correspondent à tous les nombres entiers et fractionnaires positifs, ceux des nombres négatifs ne peuvent avoir qu’une existence idéale, car il n'existe pour x aucune valeur réelle qui puisse donner
a étant un nombre positif. Les logarithmes conduisent donc à de nouvelles quantités imaginaires (voy. ce mot) dont nous reconnaitrons plus loin la nature.
11. La base a d’un système de logaritkmes étant donnée, il sera toujours possible de calculer les logarithmes de ce système par un procédé semblable à celui que nous avons employé n. 7, pour la base 10; ainsi nous pouvons admettre que tant que z est positif il existe une valeur réelle pour x qui rend la quantité exponentielle ar égale à z ; ce qu’il importe maintenant, c’est de reconnaître la nature de cette valeur réelle de x, afin de savoir si les logarithmes ne sont qu’une simple combinaison des opérations ou des algorithmes élémentaires de la science des nombres, ou s'ils ne constituent par eux-mêmes un algorithme élémentaire d’une nature distincte. Pour cet effet, 2 étant un nombre quelconque, prenons la racine »2 ième des deux membres de l'égalité
at = =
LO
nous aurons
(Va) +2"
le radical \/ désignant seulement les racines réelles, et l’exposant fractionnaire les racines quelconques réelles ou imaginaires. Car la base a doit rester con-
staute , et c’est seulement la‘fonction x qui doit corres-
pondre aux différentes racines 277.
Or, on peut obtenir facilement le développement de
mi
la quantité (V/a)* en la mettant sous la forme
ETIE
car, d’après la formule du binôme (v0y. ce mot), on a
[Van] 1e)
—— (ai)
+ etc.....
d’où l’on tire.
= m mm
; Eat ee m
— (V/a—1} + etc.
Mais si la quantité arbitraire 2 est infiniment grande, m V'a—1 sera une quantité infiniment petite, puisque fa
puissance a® ne diffère de l'unité que d’une quantité
m infiniment petite, et, par conséquent , (\/a — 1} m
(V'a—1), etc., seront des quantités infiniment petites des second. troisième, etc. ordres qui ne peuvent influencer en aucune manière la relation des quantités
m z"—1et(V/a—1), considérée dans sa réalité. (Foy. Dirr. 24.)
On a donc rigoureusement , dans ce cas,
ske ©
z® —1—=x(V/a—i) d'où : ei
=. Lt L2=— —, ou Logz= .
V'a—1 Va—i
Telle est donc la nature de la quantité en question Logz. « Cette expression est évidemment celle de la génération théorique primitive de cette fonction : c’est l’idée ou la conception première proposée par la raison
à l’entendement, pour être réalisée dans le domaine de l'expérience. » — « Or, cette fonction est évidemment une fonction dérivée élémentaire, parce qu’elle implique, dans son expression des exposans énfints , qui font sortir les puissances qui leur répondent de la classe des puissances ordinaires, susceptibles d’une signification immédiate. En effet, en remontant à la source transcendantale, on trouve que les puissances ordinaires qui répondent à des exposans finis, sout des fonctions intellectuelles 2mmanentes , ou des fonctions simples de l’entendement, et que les puissances qui répondent à des exposans infinis ne sont possibles que par l’application de la raison aux fonctions de l’entendement que nous venons de nommer, et sont ainsi des fonctions intellectuelles supérieures , et nommément des fonctions transcendantes , ou des conceptions de la raison, des idées proposées par cette faculté intellectuelle suprème. »
« Ils’ensuit que les fonctions appelées LoGARITHMES sont des fonctions algorithmiques ÉLÉMENTAIRES, parmi les fonctions algorithmiques possibles pour l’homme, et que la Tu£onte pes Locarirames forme une des branches nécessaires de l’algorithmie.» (Wronski. Zntroduction à la Phil. des Math. , page 12.)
