AD

Es (an) {Ana} + etc.

En vertu de cette dernière expression, p et g étant

deux quantités arbitraires, nous aurons de même

= I I 20 = 1 LE AE, (gp —1} + etc.

Rs er « rte 1) Er À 1} + etc.

et, par conséquent,

Si 1 2 —1 To (aP—r1) — 4 (—i) etc...

a? 1 — DGA (e—1) (ar) eue] d’où enfin (4) g (&—1)— (Pi) + (ar—1) — etc,

Logz = ” ; — :

p (a7—1)—<#(a7— x ) + (a7—1) —etc.

Ainsi, comme les quantités p et q sont arbitraires, on peut toujours les choisir telles que 27 — 1 et a7 — 1 soient de très petites fractions et conséquemment rendre très-convergentes les suites qui composent le numérateur et le dénominateur de la valeur de Log z, de manière qu’il suffise d’un petit nombre de termes pour ob-

tenir cette valeur très-approchée.

13. La valeur de la base & entrant comme partie constituante dans celle du logarithme, il se présente le problème de déterminer si parmi toutes les valeurs arbitraires qu’on peut choisir pour cette base il n’en existe

point une qui rende l’expression du logarithme la plus simple possible. Or, si nous observons que xA— 1,

et Va — 1 étant des quantités infiniment petites, leurs produits par Ja quantité infiniment grande + seront des quantités finies, et que l'expression (3) peut se mettre sous la forme (5)

il est facile de voir que s’il existait un nombre a, tel

que l’on püût avoir © (Va — 1) =, la base a disparaîtrait de l'expression du logarithme qui deviendrait pour ainsi dire indépendant de cette base; et l’on aurait alors pour l’expression théorique des logarithmes

de ce système, le plus simple de tous, (6)

Logz = 0 (39 1).

La question se réduit donc à savoir s'il existe un nombre a capable de donner l'égalité

Or, de cette égalité on tire

et, en développant le binôme,

= ——“{, ——, etc.

Ce quise réduit à D re Re. D, poto (+3) LEP LET 1:29 1.250064 |

ou, a —2,718291828459045 etc.

IL existe donc effectivement un nombre réel capable de donner légalité en question, et en prenant ce nombre, 2,71828... pour base d’un système de logarithmes, l’expression théorique de ces logarithmes sera (6'e

Nous désignerons dorénavant ces logarithmes, qu'on nomme naturels, par la caractérisque L; ainsi nous aurons en général pour les logarithmes naturels (7)

Zz —=

et pour les logarithmes d’un système quelconque, dont a est la base, (8)

ei a à PE

D'où l’on voit que connaissant les logarithmes naturels, on obtient ceux d'un système quelconque en les

. 5 I multipliant par la quantité constante. Cette quana

tité constante, qui est l’unité divisée par le logarithme naturel de la bise du système en question, se nomme le module de ce système.

14. aet b étant les bases de deux systèmes de logarithmes, puisqu'on a généralement, en désignant le premier système par Log et le second par Log,

Lz z Log: , Logz =

Lb' on en déduit

LO

C'est-à-dire que Le rapport des logarithmes d'un méme nombre, pris dans deux systèmes différens , est une quantité constante. Propriété qui lie tous les systèmes et donne le moyen facile de passer de l’un à l'autre.

15. En partant de l’expression théorique (7) on peut obtenir les générations théoriques et techniques d’un nombre au moyen de son logarithme; en effet on trouve d’abord, pour la première, (9)

z= (1 + Lz. 8)

et pour la seconde, en développant le binôme,

PRES ; ” 1 2 se he >\3 :.

2=1+: + (Lz) +3 (Le) — etc Si nous faisons = égal à la fonction exponentielle ax,

comme L (ax) — x La, nous obtiendrons, en substituant,

(Laÿ x?

+ are + etc.

az — 1 +

(La).x

expression dont nous avons fait usage ailleurs. (Foy. JnrEcraL, 43.)

16. Pour compléter la théorie des logarithmes, il nous reste à généraliser les expressions théoriques (7) ec (8) pour les rendre immédiatement applicables à tous les cas possibles des valeurs positives et négatives réelles ou imagivaires d’un nombre z.

La génération d’un nombre négatif au moyen de l'unité négative, étant de la forme

dans laquelle p est un nombre impair quelconque, cherchons d'abord la forme la plus générale de la génération par puissance (—1)f de l'unité négative, c’est-àdire celle qui comprend toutes les détermipations réelles etidéales, ou #maginaires, de cette génération, Or, en vertu de la théorie des sinus (voy. ce mot), g étant un nombre quelconque, on à

(=1) = cos © +sin 7 V—:

(Foy. Equarion, 28); ainsi, lorsque # est infiniment pT

grand , comme alors est une quantité infiniment pe-

tite, le sinus est égal à l'arc et le cosinus égal au rayon, c’est-à-dire, ici, à l'unité; cette expression devient donc

” ER PNR (SSI HV Er,

D'où, (10)

(ra)

(—1) = (1 +prV= 1.5)

Maintenant, = étant un nombre positif quelconque,

nous avons d’après (0)

ainsi multipliant terme par terme les expressions (10) et (9) il viendra

Cr TES)

= [i+ L (ri +1)" Substituant cette valeur à la place de = dans l’expression (7), et désignant par la caractéristique 1! le logarithme naturel et général, tandis que L désigne seulement le logarithme naturel réel du nombre positifz, nous obtiendrons définitivement, (11)

L'[(—1).2] — prV/—1 + Lz.

Il résulte de cette loi, que lorsqu'il s’agit du logarithme d’un nombre négatif, p étant un nombre impair quelconque et ne pouvant être zéro, le second membre est une quantité idéale ou 2maginaire ; c’est-à-dire que Le logarithme d'un nombre négatif est une quantité imaginaire, et se réduit à la quantité primitive V—1, comme toutes les quantités dites imaginaires. (Foy. ce mot.)

S'il s’agit du logarithme d’un nombre positif, alors » doit être considéré comme un nombre pair quelconque, y compris zéro; et alurs ce logarithme admet une rnfinié de valeurs , correspondante à l’infinité de valeurs arbitraires qu’on peut donner à p, mais parmi toutes ces valeurs il n’y en a qu’une seule de réelle, celle qui répond à p— 0.

Ce que nous venons de dire des logarithmes naturels, s'applique nécessairement à ceux de tous les autres systèmes.

17. On peut aisément de l'expression (11) passer à une expression plus générale d’un système quelconque, en prenant pour base un nombre positif ou négatif, réel ou idéal; mais la considération d’une base réelle et positive suffit à toutes les applications, et nous nous y bornerons ici.

Uu corollaire important de l'expression {r1) est, qu’en faisaat successivement p — 0, 2 1, on obtient

L'(Hz)= Lez, L'(—i)e = prV—r et, par conséquent, en vertu de cette même expression L'[(—i) 2] = L'(—1) + L 3,

D'où l’on voit que le théorème très-simple L (—x) — TOME 11,

Pi) x, mis en doute par Kramp (#naly. des refr.

ast.), est entièrement lié à la nature des logarithmes

ctrentre dans l’objet même de leur théorie.