HR OUT

est le développement de l'arc dontla tangente est égale

Pr > : ; ; à= (voy. Taxcenre. l’oy. aussi Inrécrar, formule (24)) ainsi

5 LL(a+B)+V/—5. arc | tang — Ê

87 —= ve +, V— anf — A

Substituaut cette valeur dans (7) il viendra (12)

Le logarithme d’une quantité wmaginaire est donc

=24L(e +8) H\/—71. arc | tang ==

également imaginaire et se réduit encore à la simple racine V/—1.

19. Si l’on veut obtenir la loi fondamentale, la plus générale de la théorie des logarithmes naturels, il faut de l'unité négative (10)

introduire la génération

dans (12), et cette dernière loi devient enfin (13), L' 4 (1e. HV) |

4 L (a+) +V—1 Lex +arc [rune =? |

Expression dans laquelle x et y sont des quantités réelles et positives et 7 toujours la demi-circonférence du cercle dont le rayon est l'unité.

En donnant aux quantités x et y les valeurs parti-

culières x—0,y =1,0ona

L(æ+y?) = Li =o, are| tanf =; | —+r) Ù et, par suite,

L' fa =) = 4 Va

d'où l’on obtient simplement dans le cas de p = 0

L'Vi —=2rV 1 Nous sommes parvenus à cette dernière expression par un procédé bien différent. (Foy. InréGrar, 23.)

On en tire aussi

génération idéale du fameux nombrer, trouvée, en premier, par Jean Bernoulli. Il est facile de déduire de (13), toutes les expressions singulières de ce nombre +, obtenues par le comte de Fagnano.

20. Revenons sur les considérations pratiques des logarithmes. Les logarithmes ordinaires, où qui ont pour base le nombre 10, outre les propriétés qui leur sont communes avec ceux de tout autre système , en ont une bien précieuse dans l'arithmétique décimale, et c’est ce qui les a fait choisir pour les tables usuelles ; comme on exprime les logarithmes de tous les nombres, excepté ceux des puissances entières de 10, avec des décimales , les logarithmes des nombres contenus entre 1 et 10 seront eux-mêmes contenus entre © et 1; CCUxX des nombres de 10 à 100 seront entre 1 et 2 et ainsi de suite, On voit donc que chaque logarithme est composé d’un nombre entier et d’un nombre fractionnaire décimal ; et l’on connaît immédiatement ce nombre entier, auquel on donne le nom de caractéristique, car il est toujours moindre d’une unité que celui des chiffres du nombre correspondant au logarithme; par exemple la caractéristique où le nombre entier qui entre dans le logarithme de 5348 est 3 parce que 5348 est compris entre 1000 et 10000. Ainsi connaissant un logarithme on sait toujours d'avance de combien de chiffres son nombre est composé, comme on connait toujours la caractéristique du logarithme de tout nombre proposé. C’est pour cette raison que les grandes tables des logarithmes ordinaires, ne contiennent que la partie décimale des logarithmes.

Si les fractions décimales de deux logarithmes sont

égales entre elles, avec une caractéristique différente,

c'est qu'alors les deux nombres correspondans sont ente eux dans le rapport de l'unité à la puissance de 10, dont l’exposant est la différence des caractéristiques, et que ces nombres sont identiques par rapport à la valeur de leurs chiffres pris isolément; par exemple, les nombres qui ont pour logarithmes 4, 2092737 et 7, 2092727, sont 16191 et 16191000; ceux des logarithmes 3, 6517624 et 0, 6517624 sont 4485 et 4, 485. La seule fraction décimale fait donc trouver les chiffres du nombre correspondant, et la caractéristique indique combien de chiffres on doit donner au nombre entier vers la gauche; les chiffres séparés vers la droite expriment des fractions décimales. Ainsi ayant trouvé qu’un logarithme dont la fraction décimale est 8228216, correspond, dans les tables, au nombre 665, on aura

pour ce nombre, d’après les diverses caractéristiques :

Logarithmes. Nombres.

0, 9228210 6, 65 1, 0228210 66, 5 2, 8228210 665, 3, 6228210 6650, 4, 5228216 66500, 5, 8220216 665000, etc. etc.

Si la caractéristique devenait — 1, —2, — 3, etc.,

le nombre deviendrait 0, 665 ; 0, 0665 ; 0,00665 , etc. Mais tons ces détails se trouvent exposés dans les instructions qui accompagnent les tables de logarithmes.

21. Nous devons signaler, en passant, une difficulté qui paraît se présenter dans l'usage numérique des logarithmes et qu’on peut aisément éluder, Si l'on voulait opérer la multiplication de deux quantités Aet—B, en se servant des logarithmes de ces quantités, on aurait

Log & + Log (—B) = Log (—AB)

et comme Log (—B) est une quantité imaginaire, il semble au premier aspect que Îles tables ordinaires sont insuffisantes pour faire connaitre le produit — AB. Il n’en est rien cependant, car ce produit, considéré dans sa seule grandeur , indépendammert de tout signe de facteurs A et B , est toujours AB; ainsi il suffit d’apérer comme si les quantités A et B étaient toutes deux

positives, et l’on a alors Log A + Log B. — Log AB ;

puis lorsqu'on a trouvé le produit AB, à l’aide de son logarithme, on lui donne le signe qui lui convient. On agirait de même pour un nombre quelconque de facteurs.

22, La découverte ou plutôt l'invention des logarithmes est due au célèbre Jean Napier ou Néper , ba-

ron écossais ct géomètre très-distingué, dont les travaux eurent principalement pour objet de rendre les calculs numériques plus faciles et plus prompts. La manière dont il envisagea d’abord ces fonctions importantes présente quelque analogie avec celle dont Newton considéra la génération de ses fluxions, car il les déduisit de la comparaison des espaces décrits par deux points qui se meuvent sur des droites indéfinies, l’un avec une vitesse constante, et l’autre avec une vitesse accélérée. Ces espaces donnent naissance à deux progressions : la première, arithmétique, la secon£e, géométrique, et les propriétés des deux espèces de rapports qui les constituent conduisent précisément aux propriétés fondamentales des logarithmes, c’est-à-dire que les termes de la progression arithmétique sont les logarithmes des termes correspondans de la progression géométrique.

Après s'être formé cette idée des logarithmes, et avoir compris tout le parti qu’on pouvait tirer de tels nombres pour abréger les calculs, il restait à Néper à les trouver, et c'était là le plus difficile. Il y parvint en intercalant, comme nous l’avons fait n. 7, une suite de movennes proportionnelles géométriques entre Îles termes principaux de la progression géométrique, et une suite de moyennes arithmétiques entre les termes correspondans de la progression arithmétique. Les logarithmes auxquels il parvint par ce procédé se trouvèrent être les logarithmes naturels, nommés aussi logarithmes hyperboliques ; parce qu’ils représentent les aires de lhyperbole équilatère entre les asymptotes, celle du carré inscrit étant prise pour unité. (f’oy.Qua- DRATURE.)

Néper publia sa découverte en 1614, dans un ouvrage intitulé : Logarithmorum canonis descriptio, seu arithmeticarun: supputationum mirabilis abbreviatio, etc. Comme son principal objet était de faciliter les calculs trigonométriques , alors si longs et si laborieux, ses logarithmes n’y étaient appliqués qu'aux sious dont il donnait les logarithmes pour tous les degrés et miputes du quart du cercle. Sa méthode de construction n'était point décrite dans ce premier ouvrage, seulement il promettait de la donner. Il mourut en 1616, avart de pouvoir remplir sa promesse; mais son fils, Robert Néper, publia cette année même l’ouvrage posthume de son père, sous le titte de Mirifici logarithmorum canonis constructio , ctc. On y trouva d’abord le développement de la méthode employée par Néper pour wouver les logarithmes, puis l'indication des changemens que des réflexions ultérieures l’avaient engagé à faire dans son système de logarithmes. Néper proposait de choisir pour les deux progressions fondamentales,

1, 10, 100, 1000, 10000, etc.

h, etc.

de sorte que le logarithme de 1 étant o, celui de:r0