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d'où, en prenant la masse du soleil pour unité,

C’est avec cette formule qu’on a pu obtenir une première approximation des masses de Jupiter, de Saturne et d'Uranus. Celle de la terre, dont la valeur est la plus importante, puisqu'elle doit servir à déterminer ensuite comparativement la masse du soleil prise pour unité, a été calculée d’une manière plus rigoureuse, par une méthode que nous allons exposer. Connaissant l’espace qu'un corps parcourt librement pendant la première seconde de sa chute à la surface de la terre, on peut d’après la loi de l'attraction calculer l’espace qu'il décrirait dans le même temps sil était transporté à une distance égale à celle de la terre au soleil; mais d’un autre côté on peut aussi calculer l’espace que la terre décrit en une seconde pour se rapprocher du soleil, car cet espace est le sinus verse de l’arc qu’elle parcourt dans son orbite pendant une seconde {voy. CENTRAL et Graviré) ; or, l’espace décrit par le corps transporté à la distance du soleil est à l’espace décrit par la terre, comme la force d'attraction de la terre est à la force d'attraction du soleil, ou comme la masse de la terre est à celle du soleil, puisque l’attraction est en raison directe des masses.

Les masses de Vénus et de Mars qui échappent aux deux méthodes précédentes ont été estimées par les perturbations qu’elles produisent dans les mouvemens de la terre. Enfin la masse de Mercure a été déduite de sa densité, dans l'hypothèse que les densités des planètes sont réciproquement proportionnellesàäleurs moyennes distances du soleil, hypothèse qui satisfait assezexactement aux densités respectives de la terre, de Jupiter etde Saturne. Quant aux masses des planètes secondaires ou satellites, celle de la lune a été déduite du phénomène des marées (vay. ce mot), et les masses des satellites de Jupiter ont été calculées d’après les perturbations qu'ils exercent les uns sur les autres.

Toutes ces masses se trouvent au mot ELÉmens.

MATHÉMATIQUES (de pudyris, science, discipline). Ce nom, qui ne s'emploie plus aujourd’hui qu'au pluriel, parce que les diverses parties de la science qu’il désignait dans l’origine, ont reçu des démarcations précises, ou sont devenues autant de sciences particulières, montre dans son étymologie, la SCIENCE, limportance et l’idée noble et juste que les anciens attachaient déja aux connaissances auxquelles on l'avait donné.

La mathésis, où la science, était en effet chez les

Grecs la réunion de toutes les connaissances évidentes et certaines; quelques notions d’arithmétique, de géométrie, d'astronomie, de musique, et, pius tard, de mécanique et d'optique, constituaient son ensemble ; ce ne fut qu'après de longs travaux que chacune de ces parties reçut assez de développement pour constituer une branche à part. Nous n’examinerons point ici, comment cette séparation a pu s’effectuer, ct par quel progrès rapide s’est élevé le vaste et majestueux édifice des mathématiques modernes, cette partie historique de la science est sinon traitée, du moins indiquée suffisamment dans notre INTRODUCTION, ainsi que dans un grand Bombre d'articles particuliers, et nous devons nous borner ici à considérer la science elle-même.

Les modernes ont défini les mathématiques eu général, la science des rapports des quantités, cette définition est vicieuse ou du moius très-incomplète, car pour pouvoir s'occuper du rapport des quantités, il faut préalablement que ces quantités existent ou soient engendrées ; or les lois de la génération des quantités rendent seules possibles les lois de leur comparaison ou de leurs rapports, et forment ainsi la partie la plus essentielle de la science. Une définition plus exacte, quoique plus ancienne, est celle qui fait simplement les mathématiques, science des quantités ; mais elle est Join de donner une idée précise de la haute importance de leur objet. Cependant, toute restreinte que puisse paraître cette dernière défiuition, nous allons essayer de montrer, en la développant, qu’elle renferme implicitement la conception de Pobjet des mathématiques, et qu’elle est conséquemment meilleure que celle qu'on a voulu lui substituer.

La quantité, prise en général, est une loi formelle de l'Entendement, en vertu de laquelle nous concevons successivement le même objet comme un où plusieurs, unilé Où multitude, C'est-à-dire comme formant un ensemble composé de parties. En examinant avec attention Îles #ntuitions que nous avons des objets sensibles, nous reconnaissons facilement que la représeutation des parties rend seule possible et précède nécessairement celle du tout. Par exemple, nous ne pouvous nous représenter une ligne, telle petite qu’elle soit sans la décrire par la pensée, c’est-à-dire, sans en produire successivement toutes les parties d’un point à un autre et sans par là rendre enfin sensible cette intuition. Il en est de même de toutes les parties du temps, même de Ja plus petite. Nous ne nous la représentons que par la progression successive d’un instant à un autre , d’où résulte enfin un ensemble de parties du temps, une quantité de temps déterminé.

D'après cette loi, tous les phénomènes du monde physique, considérés dans leur jorme; sont perçus d'abord

comme des agrégats de parties données primitivement,

ou comme des ensembles susceptibles de plus et de moins, d'augmentation et de diminution ; tous ces phénomènes sont donc des quantités; et, par conséquent, la scence Des QuanTiTÉs embrasse l’universalité des phénomènes Où LES LOIS DE LA FORME DU MONDE PHsique. Tel est en efet l'objet élevé des mathématiques.

Pour mieux préciser cette déduction, remarquons que l’espace et le temps, ces conditions primordiales du monde physique, sont eux-mêmes des quantités ; parce qu'aucune de leurs parties ne peut être l’objet d’uue intuition sans être renfermée dans des limites, des points ou des instans ; de telle manière que cette partie n’est encore qu'un espace ou qu'untemps, ctque l'espace nese compose que d'espaces, le temps que de temps. Or les phénomènes du moude physique, savoir les objets extérieurs et les représentations intérieures que nous en avons, nous apparaissent nécessairement dans le temps et dans l'espace, car ce sont les intuitions pures du temps et de l’espace qui servent de base à toutes les intuiuons que nous avons des objets, et particulièrement Le temps pour tous les objets physiques en géuéral, et l'espace pour tous les objets physiques extérieurs; le temps er l’espace sont donc les formes du monde physique, et cest en les considérant alusi, c’est à-dire, non ce qu'ils sont en eux-mêmes, abstrac tion faite des objets, mais comme appartenant aux objets, où aux phénomènes physiques dounés à posteriori, que le plus grand métaphysicien de notre époque a si bien défini les mathématiques: LA SCIENCE DES Lois DU TEMPS ET DE L'ESPACE:

A l’aide de cette définition ou de cette déterminaion de l’objet général des mathématiques, il nous devient facile de donner la classification des diverses branches de cette science. Observons d’abord que Îles lois du temps et de l'espace peuvent être considérées en elles-mêmes, et dans les phénomènes physiques auxquels elles s'appliquent. La considération 2x concreto de ces lois est l’ebjet des MATHÉMATIQRES PURES; leur cousidération ir abstracto, celui des MATHÉMA- TIQUES APPLIQUÉES.

Occupons-nous d'abord des mathématiques pures, dont les autres dépendent nécessairement. D'après ce qui précède, leur objet général est la quantité considérée daus le temps et dans l’espace, or la loi formelle de quantité appliquée au temps, donne la succession des instans, où le xomene, c’est-à-dire la conception de l'unité synthétique de la diversité d'une intuition homogène; appliquée à l'espace, elle donne la conception de la conjonction des points ou de l’éri noue. Les nombres et l'étendue forment donc deux déterminations particulières de l'objet général des mathématiques pures, et donnent ainsi naissance à deux bran-

ches distinctes de ces sciences. La première est l’aLco-

RITHMIE, Où la science des nombres ; la seconde, la GEo- MÉTRIE Ou la science de l'étendue.

Nous avons donné, au mot Géométrie, la classification des diverses sciences dont se compose cette branche fondamentale des mathématiques pures; il nous reste à donner ici celle des diverses branches de |A gorithmie, que nous n'avons fait qu'indiquer dans les

Notions préliminaires, et au mot Algèbre.

L’Algorithmie se divise en deux branches principales dont l’une a pour objet les nombres considérés en général, ou les lois des nombres, c’est l'aLcisre, et dont l'autre a pour objet les nombres considérés en particuliers ou les faits des nombres, c'est l'ArtramÉrTiIQUE. (Foy. ALc. et Amir.)

Les faite des nombres étant subordonnés à leurs lois , l'arithmétique n’a d’autressubdivisions que celles qu’elle emprunte de l'algèbre ; nous ne nous occuperons donc que de cette dernière.

1. Les nombres pouvant être envisagés sous le rapport de leur coustruction ou de leur génération, et sous celui de leur relation ou de leur comparaison , nous aurons deux espèces de lois distinctes, savoir : les lois de la genération des nombres, et les lois de la comparaison «es nombres.

>. La génération des nombres se présente à son tour sous deux aspects différens ; d'après le premier, la génération d'un nombre est donnée par une construction individuelle et indépendante qui fait connaître sa nature ; d'après le second, la génération de tous les uombres est donnée par une construction universelle, qui fait connaitre leur mesure ou leur évaluation; par exemple, l'expression x — y/a nous donne la nature du

nombre +, tandis que l'expression équivalente (7) 1 + (a 1) la + à 3 — etc — . 8 { —1 PT Lie — etc...

porte sur la mesure du nombre x, et nous donne son cvaluation. Or, la forme Va se rapporte uniquement aux nombres qui sont les racines d’autres nombres, c’est donc un mode individuel de génération, tandis que la forme À + Ba + Ca etc., à laquelle se réduit l’expression (») peut se rapporter à un nombre quelconque, c’est donc un mode universel de génération.

Ce que nous venons de dire des deux aspects sous lesquels se présente la génération des nombres peut également s'appliquer à leur comparaison , ainsi la réunion de tous les modes individuels et indépendans de la génération et de la comparaison des nombres forme une branche particulière de l'algèbre, et la réunion de tous les modes universels de cette génération et de cette comparaison forme une autre branche. M. Wronski, à qui l'on doit cette importante distinction , nomme la pre-

mière TaronE, et la seconde Trcnnie. Nous conserverons ces dénominations.

3. La théorie de l’Algèbre a donc pour objet les lois individuelles et indépendantes de la génération et de la comparaison des quantités numériques. Or, parmi ces lois il faut distinguer celles qui constituent les é/&mens de toutes les opérations numériques possibles , de celles qui constituent la réunion systématique de ces élémens. Ainsi, trois algorithmes , ou trois modes primitifs élémentaires de génération se présentent d’abord,

leurs formes sont Lors AE B—C, 2... AX B=C;,53.:: AC,

et ils engendrent successivement les nombres entiers, les nombres fractionnaires, les nombres trrationnels ; et, de plus, nous conduisent aux nombres dits imaginaïres , en remarquant la fonction différente du non:bre B, dans les deux branches A 4 B—C,C— B—A du premier algorithme, fonction qui porte sur la qualité de ce nombre et lui donne un état positif et négatif.

4. Ces algorithmes primitifs essentiellement différens, sont donc les élémens de la science, qui ne peut tirer que d'eux seuls les matériaux de ses constructions en les faisant dériver de leurs combinaisons ; mais parmi tous les algorithmes dérivés , dont le nombre est indéfini, il en est deux dont la dérivation est nécessaire, pour la possibilité même de la science, et que cette nécessité fait ranger dans la classe des algorithmes élémentaires , ce sont, la NumÉRATION et les FACULTÉS.

La numération a pour objet la génération d’un nombre, par la combinaison des deux premiers algorithmes , en resserrant ces algorithmes composans entre des limites données , de manière que l'on puisse néanmoins obtenir, dans tous les cas, la génération complète du nombre proposé. Sa nécessité se manifeste particulière ment daus l'arithmétique qui ne serait pas possible sans cet algorithme (voy. Anirn. 10, et NumérarIow) et sa forme générale est

Agx + Box + Cox + Do,x + etc.

A, B,C, D, etc., étant des quantités indépendantes dexet@r,g:x, @:x, etc. des fonctions quelconques de x liées entre elles par une loi.

Les facultés, dont la forme générale est PT PT PT PT PT... ELC.

ont pour objet la génération d’une quantité numérique, par la combinaison des deux derniers algorithmes élémentaires,enresserrant de même lesalgorithmes composans entre des limites données. Sa nécessité se manifeste dans l'algèbre, particulièrement pour la génération de certaines quantités transcendantes qui ne serait pas possible sans cet algorithme. (Foy. Facurrés.) TOME I,

5. La numération et les facultés sont liées entre elles par le second algorithme primitif qui entre comme partie constituante dans leur composition , et établit conséquemment entre ces algorithmes dérivés une espèce d'unité qui permet de passer de l’un à l’autre, La transition de la numération aux facultés est opérée par les Locarirumes, et celle des facultés à la numération , par les fonctions dérivées nommées Sinus et Cosinus. (Joy. ces mots et PuiLosopnie pes maru.) Les logarithmes et les sinus terminent définitivement le système de tous les algorithmes élémentaires.