COS XL —=I

pour la sommation des séries infinies.

9. En examinant maintenant la seconde manière suivaut laquelle le concours de deux algorithmes élémentaires peut opérer la génération des quantités, on voit facilement que ces deux algorithmes devant être considérés comme distincts l’un de l’autre ; il en résulte, pour leur réunion , une diversité systématique , qui se manifeste de trois manières; 1° par l'influence de la sommation dans la génération des quantités où domiue la graduation ; 2° par l'influence de la graduation dans la génération des quantités où domine la sommation; et 3° par l'influence réciproque de la sommation etde la graduation dans Ja génération des quantités où dominent l'un et l’autre de ces algorithmes.

10. L'influence de la sommation ; dans la génération des quantités où domine la graduation, a lieu lorsqu'on considère les fonctions d’une ou de plusieurs quantités variables comme exprimant la génération par graduation des quantités numériques, tandis qu’on envisage la variation de ces quantités par rapport à la sommation. Par exemple 9x, étant la génération par graduation d’une quantité quelconque , si æ varie par addition ou soustraction , c’est-à-dire, devient æ + 4 ou æ — A, la variation correspondante de px sera due nécessairement à l'influence de l’algorithme de la sommation. C’est cette variation qu’on nomme en général DIFFÉRENCE , et les lois qui la régissent forment l’objet de la TuéontE DES DIFFÉRENCES.

Les élémens de la sommation pouvant être considérés

comme réels ou édéals, c'est à-dire comme finis, ou én-

Jiniment petits, la théorie des différences a deux bran-

ches qui sont : le carcur pes nirrénences , et le caLcur.

DIFFÉRENTIEL, Si l’on envisage, en outre, les élémens de

la sommation comme #2dcterminés, on a le CALCUL prs varraTIONs. ( W’oy. Dirr. et VaniATION. )

11. Le second cas de la triple diversité systématique, que nous examinons donne naissance à un calcul nouveau dont l'importance pour l’algorithmie n’est pas encore développée, quoiqu'il en constitue une partie nécessaire. Cependant ce calcul a cela de remarquable, que sa découverte u’est point le résultat d’un problème à résoudre , ou d’un besoin manifesté par la science , mais qu’elle a été obtenue à priori parle géomètre dont nous suivons les principes dans cette classification, et qu'elle résulte deshautes déductions philosophiques qu'il a données de toutes les branches de l’algorithmie. La seule application qui ait encore été faite de ce calcul est la détermination de la forme et de la nature des racines des équations. Sans nous prononcer sur l'utilité dont il pourra devenir un jour , nous croyons que l'exposition que nous en allons faire ne sera pas sans intérêt pour nos lecteurs.

Si l’on considère les fonctions d’une ou de plusieurs variables, comme exprimant la génération par sommation des quantités numériques , on peut évidemment et sous un point de vue opposé aux différences , envisager Ja variation de cesquantités par rapport à la graduation. Par exemple, soit y une fonction 9x de la variablex, ou soit

Si nous concevons que æ varie , par un accroissement que reçoit son exposant , l'exposant de y recevra un accroissement correspondant , de manière qu’en désignant par yx l'accroissement de l’exposant de x et par y celui de l’exposant de y, nous aurons

PF = pute).

Ainsi divisant ces valeurs dérivées par la valeur primitivey = 9x, il viendra (0)

px

et ce sera l'accroissement par graduation de la fonction

9%, correspondant à un accroissement pareil de la va-

riable +.

Or, cet accroissement par graduation est nécessairement soumis à des lois particulières dont l’ensemble forme l’objet d’un calcul particulier. C’est ce calcul que son auteur, M. Wronski, a nommé CALCUL DES GRADES , en désignant par le nom de grades les quantités y+, y.

Les grades pouvant être considérés co 1me finis, ou comme infiniment petits ; le calcul des grades à donc comme le calcul des différences , deux branches particulières ; la première sera le calcul des grades finis , ou

simplement le calcul des grades, et la seconde le cateil

des gradules, eu nomment gradules les grades infiniment petits.

Pour avoir l'expression générale du grade et du gradule d’une fonction quelconque au moyen d’autres al-

gorithmes counus , faisons dans (0) LT'TÈ = L + ë

et prenons £ pour laccroissement des difrérences qui

vont nous servir à exprimer les grades; nous obticn-

drons uv PTHE) px +Ë)— px J'Y = 2x 1 + gx 1 Ay(x + ë) P24 ou (p)

cn #8)

. px

Or, d’après la théorie des différences, Fx étant une fonction quelconque de x ; et la caractéristique L désiguant les logarithmes naturels, dont e exprime la base,

on a Fæ ALFx=LFr— LF(x—£) = L— Et F(x—#) d'ou l'on tire se Fc Ex—F(x—2) ACER EE. A | Dre ii F{a—#) AFx ef - .

et, par suite AFxr=F(x—?).(eAlEr 1), En vertu de cette expression , on a donc Ap(x+Ë) — ge. (eAbrle—#.;) Substituant cette veleur dans (p), nous trouyerons (y )

yo = AL: (æ+)

et, prenant les logarithmes des deux membres de cette derniere égalité,

4 = aLg(x + à),

d'où définitivement, remplaçant y par ox

Telle est l'expression générale du grade d’une fonction æ. Lorsqu'il s’agit du gradule, la quantité £ est infinimeut petite et la différence devient une différenticlle , on a simplement alors

la lettre latine g désignant les gradules.

En partant de cette dernière expression on trouve pour les gradules des fonctions élémentaires les expressions générales suivantes :

g(x”!) — gx

gx = ——. px

LLzx g(a*) = Lx.gx : æLzx.cot.x rSinx = px 8 Lsinx ‘?

æbx.tangx gCOEX = — —"" D, gx

Ce ne sont là que les gradules du premier ordre, car il faut remarquer que les grades et les gradules admettent comme les différences et les différentielles , tous les ordres possibles, positifs ou négatifs; mais nous ne pouvous entrer dans de plus grands détails ; ce qui précède est suffisant pour donner une idée exacte de la nature de ce nouveau calcul, et nous devons renvoyer ceux de nos lecteurs qui voudraient l’approfondir à l'introduction à la philosophie des mathématiques ; où il est exposé dans tout son ensemble.

13. Il nous reste à examiner l'influence réciproque de la sommation et de la graduation dans la génération des quantités où dominent l’un et l'autre de ces algorithmes. Cette influence qui ne peut se manifester que dans les nombres déjà produits par leur génération et non dans cette génération elle-même, est l'objet de la rH£oRIE p£s NOMBRES.

La théorie desnombres nepeutavoir, comme celle des différences, deux branchescorrespondantaux parties finies ct infiniment petites qu'on peut cousidérer dans cette dernière, puisque l'influence systématique qui fait son objetues’exerce quesurles nombres donnés par leur génération; mais elle admet aussi la considération de la determination et de l’indeétermination de ces nombres, c’està-dire, qu’on peut envisager les nombres, comme donnés par eux-mêmes où immédiatement, et comme donnés par d’autres nombres ou médiatement. Dans le premier cas la théorie prend le nom de Tu£ortE DES NOMBRES DÉTERMINÉS, et dans le second celui de Tu£oniE DES Nom- BRES INDÉTERMIN#S. C’est cette dernière qu'on nomme vulgairement ANALYSE INDÉTERMINÉE. ( V’oy. INDÉrER- MINE.) L

Remarquons, pour mieux fixer l’idée qu’on doit attacher à l’objet de la Théorie des nombres, que l’algorithme de la sommation nous fait concevoir les nombres comme des agrégations d'unités, tandis que celui de la

MA

graduation, ainsi que celui dela reproduction, apportent dans leur nature la considération de l’existence des facteurs. Ces deux caractères distinctifs, réunis dans un méme nombre, constituent l'influence systématique réciproque qui fait l’objet de la théorie en question, et cette réunion ne peut se présenter que comme une diversité systématique, puisque par leur nature essentiellement différente les algorithmes primitifs ne peuvent jamais donner indistinctement la génération d’un nombre. Or, en considérant, d’une part, un nombre donné comme formé par l'addition de plusieurs quantités et,de l’autre, comme formé par le produit de plusieurs facteurs, ces quantités et ces facteurs sont nécessairement liés par des lois particulières qui régissent la possibilité de cette double génération. Ce sont précisément l’ensemble de ces lois dont se compose la théorie générale des nombres. (V’oy. NomBres.)

14. La comparaison systématique des quantités numériques a nécessairement pour objet, comme la comparaison élémentaire, l'égalité ou l'inégalité qui peut exister eutre ces quantités, mais en ayant égard aux nouvelles déterminations de leur nature apportées par leur génération systématique. Par exemple la génération d’une fonction quelconque gx d’une variable x, étant (r);

pr=A,+A;x A,z Æ A,c + etc.

si l’on y joint la considération de l’équivalence entre cette génération par sommation, et celle par graduation qui doit aussi avoir lieu (s)

Diversité dans la reunion des algorithmes élémentaires. .