COMPARAISON

| Relation d'inégalité : INEQUATIOXS

15. Procédons maintenant à la déduction des diverses parties de la TecuniE pe L'ALGèsre, et, d’abord, précisons l'objet général de cette branche essentielle de l'algorithmie,

Dans la rnéonts, la génération ou la construction des quantités est donnée immédiatement par des algorithmes sirples ou composés qui ne peuvent faire connaître que la nature de ces quantités, mais non leur détermination numérique ou leur valeur comparative à une unité. Cette valeur ne peut jamais être donnée qu'accidentellement par la théorie de l'algèbre, et seulement dans le cas où les opérations dont la réunion constitue la nature

Influence partielle,

Influence réciproque des algorithmes primitifs opposés

MA 213 px = (x+ax +a,)(x + a,(x+a,)....etc.

et si l’on remarque que lorsque un quelconque des facteurs de cette dernière devient zéro, ce qui la rend ellemême zéro, la première doit aussi devenir zéro en y donnant à la variable x la valeur qui rend le facteur zéro , On verra que cette circonstance est généralement exprimée en donnant à l'égalité (r) la forme (1)

0 — Ac Aix+ A x? + A,x—+ etc.

relation qui implique nécessairement la même relation avec zéro des facteurs de la fonction de graduation (s), considérés séparément, c’est-à-dire, que la variable x du second membre de l'égalité (4 reçoit des valeurs déterminées, dont le nombre est égal à celui des facteurs (s), qui réduisent à zéro cesecond membre. L'égalité (1) n’est donc plus une simple identité, on la nomme alors Équaion , et la théorie des équations forme la partie principale de la comparaison théorique systématique de l'algèbre.'(Foy. Equarion.)

L'inégalité des quantités reçoit également, en la considérant sous la circonstance de la réunion systématique des algorithmes opposés , un caractère particulier qui la rend INÉQUATION ; mais comme les iñéqualions n’ontune signification déterminée, qu'au moyen des relations d'équations, on peut considérer toute la théorie de la comparaison systématique comme se réduisant à la Taronx DES ÉQUATIONS.

Nous terminerons ici tout ce qui a rapportaux diverses branches de la partie systématique de la ruromx de

l’alyèbre, en les réunissant dans le tableau suivant. )

Réelles : CALCUL DES pir- | LÉRENCES.

Déterminées. ….

De la somination dans la graduation :

DIiFFERENCES.

Idéales : CALCUL DIFFÉ- RENTIEL.

Indéterminces : CALCUL DES VARTATIONS.

De la graduation dans la sommation, GRADES, (Voy n,11.)

lHEORIE DES NOMBRES.

Identité dans la réunion des algorithmes élémentaires : ÉQUIVALENCES,

{ Relation d'égalité : EQuATIONS (de différences, de congruences , d'équivalences }.

d’une quantité , et donne sa génération, peuvent s'effectuer par l'application des procédés primitifs ou des six règles élémentaires de la science (l'addition, la multiplication, l’élévation aux puissances, et leurs procédés inverses). Par exemple, soit une quantité #1, dont la gé-

nération est donnée par l'expression

Cette génération ne nous fait évidemment connaitre immédiatement que la nature , ou la construction pri-

mitive de la quantité #7, et ce n’est qu’en lui appliquant

le procédé de l'extraction des racines que nous pouvons

déterminer sa valeur numérique.

Or, dans tous les cas où cette application des procédés ou des règles primitives ne peut s'effectuer d’une manière immédiate, la valeur des quantités n’est plus donnée accidentellement, et cependant la détermination de cette valeur est exigée impérieusement pour la possibilité de la science. Ilest vrai cependant que lorsqu'un mode quelconque particulier de génération , ou qu’une fonction particulière est donnée, on peut, par l’application des lois générales de la génération systématique des quantités, obtenir les lois particulières de la génération élémentaire de cette fonction, et ces lois particulières peuvent à leur tour servir à la détermination de la nature primitive de la fonction , et par suite à la déter mination de sa valeur. Mais une telle détermination théorique ne saurait avoir de loi générale, et chaque fonction particulière exige nécessairement une détertermination particulière, de sorte que le nombre des fonctions, où des modes différens, dont la génération des quantités peut être produite par la combinaison des algorithmes simples ou composés, étant indéfini , cette détermination est elle-même adéfinie et conséquemment 2mposstble dans toute l'étendue de la génération systématique des quantités. [l se présente donc le problème nécessaire d’une génération secondaire, différente de la génération primaire que donnent les algorithmes simples où composés de la théorie élémentaire de l'algèbre. Or cette génération secondaire, devant embrasser dans tous les cas la détermination numérique des quantités, doit être UNIVERSELLE, c’est-à-dire, doit pouvoir s'appliquer indistinctement à toutes les quantités, La Technie de l'algèbre a donc pour objet général la

génération et la comparaison universelles des quanti-

tés.

Avant de passer à la recherche des algorithmes capables de donner cette génération universelle, faisons remarquer la différence caractéristique quiles distingue dès l'abord desalgorithmes théoriques; ces derniers, formant des procédés de construction, sont pour ainsi dire identiques avec les quantités mêmes qu'ils produisent, tandis que les premiers devant former des procédés d’éva- Juation, sont indépendans des quantités qu’ils évaluent. En un mot les algorithmes théoriques font partie de la nature même des quantités, tandis que les algorithmes techniques doivent être indépendans de cette nature et se rapportent évidemment à une Jin, à un but à atteindre, étranger à la nature des quantités. Cette fin ou ce but qui apparaît dans les procédés de la Tecunie, la sépare complètement de la rnfoniE , et ne permet pas de

confondre ensemble, comme on l'avait toujours fait,

ces deux branches si distinctes de la science. La théorie est proprement la partie spéculative de l’algorithmie , tandis que la technie en est la partie pratique, ou, pour mieux dire, présente un caractère d'action, un art (rtxwr) (Voy. la Philosophie de la Technie, 1° section.)

16. La génération secondaire qui fait l’objet principal de la technie de l'algèbre, devant présenter la détermination numérique des quantités, ne peut évidemment avoir lieu que par l'emploi arbitraire des algorithmes primitifs élémentaires, puiqu’en dernier lieu l'évaluation numérique d’une quantité se réduit à Ja réalisation des opérations primitives données par ces algorithmes. Mais les deux algorithmes dérivés immédiats, la numeration cetles facultés, nous offrent la possibilité d’obtenir la génération d’une quantité quelconque, par le moyen des limites arbitraires dont ils sont susceptibles; aiasi, pour obtenir la génération secondaire en question, il faut pouvoir, à l’aide d’une fonction arbitraire, transformer, au moyen des algorithmes primitifs, toute fonction théorique, donnée immédiatement ou médiatement, en fonctions de numération ou de facultés. Cette fonction arbitraire sera dans sa plus grande généralité la quantité qu’on nomme dans les applications de l'arithmétique, mesure où unité de l'évaluation des quantités.

Or, la transformation de toute fonction théorique en fonctions de numération ou de facultés, par l’emploi d’une mesure arbitraire suivant laquelle elle doit être évaluée, exige évidemment r'ne détermination de la relation qui se trouve entre cette fonction et la fonction arbitraire servant de mesure, c’est-à-dire la détermination du rapport géométrique de ces fonctions, car c’est généralement sur ce rapport quese fonde l’opération arithmétique nommée mesure. De plus, la génération secondaire qui fait l’objet de la transformation dont il s’agit, devant être opérée par l'emploi des algorithmes primitifs, cette transformation doit être subordonnée à la forme de l'algorithme employé. Ceci posé, si nous désignons par Fx, une fonction quelconque d’une variable x, et par x une fonction arbitraire servant de mesure , ou dans laquelle la fonction Fzx doit être transformée, l'opération de cette transformation en fonctions de numération ou de facultés, aura les forines respectives

Fx = A Lor,et Fx = A X œT,

A étant une quantité dépendante ou indépendante de x et æx une quantité dépendante de la mesure 4x.

17. Occupons-nous d’abord de la fonction de numération. Pour qu'on puisse généralement décomposer Fx,en deux quantités À et æx, telles que x soit

dæns tous les cas comparable avec la mesure 9x, il faut

nécessairement que 4x devienne zéro lorsque gx le devient, car sans cela le rapport de ces deux fonctions ne pourrait devenir l’objet d’une détermination générale. Ainsi la quantité À doit être telle que

lorsque la variable x reçoit la valeur qui rend 9x —0, et, par conséquent, pæ = 0, d’où il suit que cette quantité est indépendante de x.

Maintenant le rapport des quantités x et 9x étant

si nous ne considérons en premier lieu que le rapport

È px RE direct -— nous aurons, en le désignant par Fix, pa

et cette fonction F,æx qui doit avoir dans tous les cas

une valeur déterminée, pourra subir une transformation ultérieure.

F:x — B + PL

d,æ étant une quantité toujours comparable avec ox, c'est-à-dire qui devient zéro lorsque #x = 0 , et B une quantité telle que l’on ait dans le même cas

Exprimant de nouveau par F,x le rapport direct des quantités q,x et 9x, nous pourrons transformer la

fonction F x, en Fx—C+ax,

et en poursuivant successivement ces décompositions, nous trouverons, en rassemblant les résultats,

Fx = A + x

DX = (B + mx).px

MT = (C + p,x).px

P,@ = (D + 4:x).ox ctc. — etc.

et, en substituant,

Fx = À + Bpx + Cox) + D(or) + etc.

ce qui est la forme générale de ce qu’on appelle séries , du moins dans le cas simple où les transformations s'effectuent avec la même mesure vx.