Reprerons maintenant la seconde forme de transformation

Fr = A X x,

qui répond à l'emploi de l'algorithme des facultés. Ici la quantité À peut être réellement dépendante ou indépendante de la variable x, et les transformations de ce second cas diffèrent essentiellement de celles du premier, où cette quantité À est nécessairement indépendante de x, c’est-à-dire une quantité constante. En considérant la quantité A comme dépendante de x, elle doit être telle qu'étant réduite à zéro par une valeur particulière de x, cette même valeur rende Fx égaie à zéro, afin que la fonction æx ait une valeur finie. Ainsi cette quantité À étant généralement comparable avec Fx, forme elle-même la mesure de cette fonction ; dé signant donc par fx la fonction arbitraire A, la première transformation deviendra

Er fa ons

et les autres transformations seront

PL = fix X ME Di il X &,x Bof TiX sr

cic. CtCoose

Les fonctions arbitraires fx, fx, fit, étant respective: ment prises pour la mesure des fonctionsæ,x,p,x,,+, etc.

Substituant donc chacune de ces transformations dans celle qui la précède, on obtiendra la génération technique.

Fr=fi. fit, fr fire.

le nombre des facteurs étant indéfini. Ce qui est la forme générale des produites continues. (Foy. ce mot.)

20. Lorsqu'au contraire la quantité A est indépendante de x, la transformation

Fr=AX ar,

n'est visiblement possible que par l'emploi de l’algorithme des facultés, en rendant les facteurs indépendans de la variable, Ua a alors la forme générale

Fr—(ÿ2)"""

z et Ë étant deux quantités données, Ÿz désignant une fonction de z, déterminée convenablement, et gr la fonction arbitraire de x prise pour mesure, car de cette manière tous les facteurs finis Ÿz, 4{2HE), J(=Ha28),etc., formant la faculté, sont indépendans de la variable x. C’est la forme générale des facultés exrponentielles.

Les series, les fractions continues, les produites continues et les facultés exponentielles, forment donc les objets de la partie élémentaire de la technie et const'tuent quatre algorithmes techniques primitifs, à l'aide de chacun desquels on peut obtenir la génération technique ou l'évaluation numérique d’une fonction quelcouque. Ce sont les lois fondamentales de ces quatre algorithmes dont l’ensemble compose la partie élementaire de la génération technique.

21. Les quatre algorithmes techniques primitifs que nous venons de déduire et qui forment les deux classes de génération technique, dépendantes de l'emploi de la numération et des facultés, ou, dans son principe, de l'emploi de la sommation et de la graduation, ne peuvent par leur combinaison que reproduire les algorithmes théoriques, de manière qu’il n’existe point proprement, quant à la forme de génération, d’algorithmes techniques dérivés. Cependant en ayant égard au procédé direct ou inverse que l’oa peut suivre dans la détermination de la fonction Fx, pour obtenir sa génération technique , il se présente une classe particulière d'algorithmes techuiques dérivés qui forme ce que l’on appelle les méthodes d'interpolations. (Foy. INTERPOLATION. ) En effet, il entre dans les séries, daus les fractions continues , et dans les facultés exponenticlles, des quantités constantes dont la valeur résulte des déterminations particulières de la fonction proposée Fx , que ces algorithmes doivent évaluer. Or, pourvu que ces déterminations particulières soient connues ou du moins puissent être obtenues à l’aide de circonstances données, il

devient toujours possible en suivant un procédé inverse,

MA

d'évaluer généralement la fonction Fx, à laquelle se rapportent les déterminations particulières qu’on aura employées. C’est ce procédé inverse qui est l’objet de l'INTERPOLATION.

22. La réunion systématique des algorithmes techniques élémentaires ne peut consister que dans la forme générale de ces algorithmes, et cette forme générale est nécessairement la forme primitive de toute la science des nombres. Sans entrer ici dans des développemens qui nous sont interdits, remarquons que la forme générale des séries est

Fx — A + Box + Cox H Dox H etc. ..

ce qui se réduit en principe à un agrégat de termes de la forme (2)

Fr = », + 9, +, + +, + + etc...

que celle des fractions continues

Fr — À +or

B+oxr

C+ox

D — etc.

se ramène pareillement à un agrégat de termes de la forme (voy. Conrinu. 30),

Fr — D ++,+o + + D, —+ etc.

et, qu'enfin les formes générales des produites continues et des facultés exponentielles, en supposant que la multiplication des facteurs soit effectuée , deviennent eucore des agrégats de termes semblables à (+). Ainsi tous les algorithmes techniques élémentaires peuvent être ramenés à un agrégat de termes, et c'est donc dans cctte forme que se trouve leur réunion systématique, c’est àdire que l'algorithme technique systématique, qui doit réunir tous les algorithmes élémentaires et embrasser tous les procédés techniques, doit se présenter lui-même sous cette même forme (2).

Si nous désignons par ©, 9,, O,, des fonctions arbitraires de la variablex, prises pour la mesure, fonctions qui peuvent être liées par une loi, ou n'avoir entre elles aucune liaison, et par A,,A,, À,,etc., des quantités indépendantes de x, nous aurons pour là forme de la génération technique sytématique en ques-

tion , l'expression générale (5).

Fi = A: + A,0; LH A,0, + A,0, + etc.

Cette loi, dont la généralité absolue s'étend sur toute l’algorithmie, puisqu'elle embrasse l'application même, indépendante et immédiate des algorithmes primitifs et opposés de la sommation et de la graduation, a été

MA

nommée par M. Wronski, à qui elle est due, rot su- PRÊME OU UNIVERSELLE. (Joy. Puir. DE LA TECHNIE.) 23. Jusqu'ici nous n'avons considéré la technie de l'algèbre que sous le point de vue de la génération des quantités ; il nous reste à la considérer sous celui de leur relation ou de leur comparaison. Cette relation, qui porte généralement sur l'égalité ou sur l'inégalité des quantités, doit se présenter ici avec les caractères de fin ou de but, qui distingue la technie de la théorie; ainsi en ne tenant compte que des égalités, parce qu’elles sont les conditions des inégalités, la compa-

MA 917 raison technique consiste dans la formation universelle des égalites et dans leur transformation ou résolution c’est-à-dire dans la resolution universelle des équations. Les lois respectives de cette formation et de cette solution forment, les premières, la partie élémentaire de la comparaison technique, et les secondes, la partie systématique de cette même comparaison. C’est ce que M.W ronski a nommé le canon algorithmique et le problème universel. Telles sont donc enfin toutes les parties intégrantes de la recunie de l’algorithmie ; leur ensemble peut former le tableau suivant :

Générale : SERIES.

Par sommation.

Particulière : FRACTIONS CONTINUES.

Génération technique PRIMITIVE,