CALENDRIER

MOIVRE (Asranam), géomètre distingué, naquit en 1667, à Vitry en Champagne. Il se livra de bonne heure , mais secrètement, à l'étude des mathématiques, science que son professeur particulier plaçait fort audessous de la connaissance du grec. Il fit ensuite ses cours de philosophie à Saumur et à Paris; et son père, cédaut enfia à ses iustances, lui donna Ozanam pour professeur de la science vers laquelle il était entrainé par d'heureuses dispositions naturelles. La révocation de l'Édit de Nantes força Moivre à s'expatrier ; il passa en Angleterre, où il vécut du produit de l'enseignement des mathématiques, auquel il fut obligé de s’adonner. La lecture du célèbre livre des Principes de Newton lui fit entrevoir sous un jour tout nouveau la science, dont il croyait avoir atteint les plus hautes vérités. Ce livre devint pour lui l’objet de nouvelles et laborieuses études. Il commença alors à se faire connaitre par des mémoires sur diverses branches des mathématiques, que Halley communiquait à la société royale de Londres , au sein de laquelle il fat admis en 1697. Newton lui-même, dont il se proclamait le disciple, l’honora de son amitié, et Leibnitz, qui eut occasion de le voir en Angleterre , fit d’inutiles démarches pour lui faire obtenir une chaire dans l’une des universités d’Allemagne. Moivre fut, quelques années après, désigné parmi les commissaires choisis par la société royale de Londres pour prononcer sur la contestation élevée entre Leibnitz et Newton au sujet du calcul intégral. Ce fut vers ce temps que Moivre publia son traité du calcul des probabilités. Nous exposerons ailleurs la méthode qu’il a suivie dans cette branche intéressante de la science des nombres. (Foy. Prosamirirés.) Moivre parvint à une extrême vieillesse; il mourut le 29 novembre 1754, à l’âge de quatre-vingt-sept ans. Peu de temps avant sa mort, l'Académie des sciences de Paris l'avait reçu au nombre de ses membres; il faisait partie de celle de Berlin. Il existe dans les 7'ransactions philosophiques de nombreux mémoires de Moivre. Il a laissé en outre : 1° The doctrine of chances, Londres, 1716, 1738, 1956 : cette dernière édition posthume du Traité des probabilités de Moivre est la plus complète ; 2° Miscellanca analytica de seriebus et quadraturis, Londres, 1730, in-4, ouvrage remarquable, dans lequel Moivre a déposé le recueil de ses découvertes et des méthodes qu'il avait employées pour y parvenir; 3° Annuities on

lives (des rentes à vie), 1b., 1724, 1742,

1720, in-8.

Moivre a revu et publié la traduction latine de l'op-

tique de Newton.

MOMENT. {(Hcce.) Où nomme généralement, en statique, moment d'une force le produit de cette force par

une droite.

Il y a différentes espèces de momens ; suivant la nature de la droite qui sert de facteur. Ainsi, lorsque le moment d'une force est rapporté à un plan ou à une droite, ce facteur est la perpendiculaire , abaissée du point d'application de la force, sur le plan ou la droite; lorsque le z#70ment est rapporté à un point, que l’on nomme alors centre des momens, ce facteur est la perpendiculaire abaissée du centre des momens sur la direction de la force.

La théorie des momens forme une partie importante de la statique. (Joy. ce mot.)

MONGE (Gaspar), l’un des plus célèbres et des plus savans géomètres modernes, naquit à Beaune en 1546. L'histoire de la science ne retrace que peu de carrières marquées par autant de travaux, d'activité et de succès que celle de cet illustre professeur, dont le nom sera à jamais populaire en France. Le père de Monge n'était qu’un pauvre marchand forain, mais c'était en même temps un homme de bon sens qui ne négligea rien pour l'instruction de ses trois fils que des dispositions communes entrainaient vers les scieuces, La supériorité que manifesta bientôt le jeune Gaspar et la célébrité qu’il a depuis acquise ont fait oublier ses deux frères, dont l’un a été examinateur de la marine, et l'autre professeur d’hydrographie à Anvers. Du collége des Oratoriens, de Beaune, où il reçut les premières notions des mathématiques, Monge fut envoyé à celui de Lyon, tenu par les religieux du même ordre, pour y achever ses études. A seize ans, il prit place à côté de ses maitres, et occupa une chaire de physique. Un offcier supérieur du génie avant vu le plan de Beaune, que Monge avait levé sur de larges dimensions, sans le secours des instrumens les plus indispensables , le recommanda au commandant de l’école de Metz, fondée pour les officiers de cette 4rme. Malheureusement les institutions du temps ne permettaient point à Monge d’y être reçu comme éiève. L’humble naissance et la pauvreté de ce jeune homme déjà si remarquable, étaient des obstacles alors invincibles. Néanmoins il consentit à y entrer comme élève conducteur de travaux, et dessinateur. Le génie de Monge s’indignait de l'obscurité à laquelle le condamuait les pratiques spéciales auxquelles il était destiné. Mais dans cette situation même, il ne tarda pas àtronver un moyen de débuter avec éclat dans la carrière des découveites. Aux longs calculs que nécessitait une opération de déflement, il substitua une méthode géométrique et générale, non moins sûre, mais plus expéditive, pour arriver à la solution du problème. Il n'avait alors que dix-neuf

aus, et Bossut, qui prefessait les mathématiques à Mé- ? 4

zières, l'accepta pour son suppléant, et bientôt après il remplaca l'abbé Nollet dans sa chaire de physique. Dès ce moment, le jeune Monge, maître de son avenir et délivré désormais des conditions bumiliantes qui avaient entravé ses premiers pas dans la carrière, s’'abandonva à toutes les inspirations de son génie. Il ÿ a entre lui et l'illustre Leibnitz ce point de conformité que tous deux dédaigoant de suivre dans les livres de leurs devanciers ou de leurs contemporains la marche de la science, s’exposèrent à se voir eulever ou disputer la priorité des vérités qu'ils avaient recueillies. Ainsi Monge découvrit la production de l’eau par la combustion de l'air inflammable, sans savoir qu’il avait été prévenu par Cavendish dans cette importante découverte. Il se livrait en même temps, à cette époque, à des recherches curieuses sur les gaz, l'attraction moléculaire, les effets d'optique, l'électricité, la météorologie, et jetait en mathématiques les premiers fondemens de cette doctrine neuve et féconde, qui a reçu le nom de Géométrie descriptive, et dont la production est un de ses principaux titres à l’admiration de la postérité.

Le génie de Monge était essentiellement synthétique, c'est le caractère de ses ouvrages et de ses découvertes. Tout abréger pour toutembrasser d’un coup d'œil, tout résumer pour exprimer tout dans une pensée, telle est la formule constante qu’on le voit employer dans ses travaux. Uae telle disposition d’esprit lui rendait presque désagréable l'exposition écrite de ses recherches scientifiques; et ce fut la nécessité dese faire des titres aux honneurs académiques qui le détermina d’abord à publier divers mémoires sur le calcul intégral. Ce fut seulement en 1780 que Monge, déjà célèbre, fut nommé membre de l’Académie des sciences. Cet esprit ardent et fier, qui avait eu à souffrir dans sa jeunesse de l'injustice des préjugés et des vices des institutions vieillies de son pays, accepta, avec l’enthousiasme qui le distinguait, les espérances que la révolution française inspira quelque temps aux meilleurs esprits. Nous n'avons point à nous occuper ici de la carrière politique de Monge, quoique l’homme public n’eût jamais fait oublier en lui le savant, et il nous suffira de dire que dansles grandes circonstances où se trouva la France, quand Monge fut appelé au pouvoir, ilse montra constamment digne des respects qui entourent sa mémoire, aujourd’hui que le temps commence à effacer les fâcheuses impressions de l'esprit de parti. Il n’est pas vrai que Monge ait coopéré par aucun vote à la mort de Louis XVI. Nommé ministre de la marine lors de l'insurrection du 10 août, il l'était encore au moment de cet évènement douloureux, et c’est seulement comme membre du gouvernement qu'il dut concourir avec ses collègues à l'exécution de l'arrêt de la Convention. Mais les actes personnels de ce savant , à

cette désastreuse époque, le lavent d'ailleurs complète-

ment des injustes accusations que ses fonctions politiques lui attirèrent plus tard, en le montrant digne, sous tous les rapports, de la reconnaissance de la France. C'est à son activité et à son génie que la république dutle rétablissement de la marine; et d’ailleurs, désabusé de bonne heure des espérances qui l'avaient entraîné dans le mouvement de la révolution , il donna sa démission au mois d'avril 1793. Monge s'empressa néanmoins de répondre à l'appel que la Convention fit aux savans, quand le territoire de la France fut menacé d’une invasion européenne. Il a contribué pour une grande part à ce déploiement extraordinaire de force, qui fera l’étonnement de la postérité et qui sauva alors le pays de malheurs plus grands que ceux qu’il eut à supporter. Monge passait les jours et les nuits dans les manufactures d'armes, les fonderies, les foreries, les poudrières, à surveiller les travaux, à en simplifier l'exécution. C’est dans cette période de sa vie, dont l’activité est presque incroyable, qu'il trouva les moyens de publier l'art de fabriquer Les canons, une instraction sur la fabrication de l'acier, et enfin sa Géométrie descriptive. C’est à Monge qu’on doit le rétablissement de l'instruction publique en France, c'est par son influence et d’après ses plans que furent successivement fondées les écoles Normale et Polythccnique. C’est à son expérience des procédés mécaniques qu’on doit le déplacement des chefs-d’œuvre de l'Italie, qui vinrent orner les Musées de la France. Ces travaux si divers, et dont les résultats étaient si faciles à apprécier, acquirent à Monge une grande influence politique, et à son nom une popularité éclatante; deux fois à cette époque il fut porté comme candidat au Directoire. Mais alors l'enthousiasme de Monge avait changé d'objet ; et il s'était attaché au jeune conquérant de l'Italie, avec une sincérité qui ne se démentit jamais. Il fit partie de l'Institut d'Egypte; et , après s'être distingué dans cette mémorable expédition, par son zèle pour la science, il revint paisiblement reprendre sa place de professeur à l’école Polytechnique dont les élèves le saluèrent du titre de père. Ce fut pour lui un chagrin bien amer que l’organisation militaire qui changea, sous Napoléon, l'esprit etle but de cette glorieuse institution. Monge lutta vivement , dans cette circonstance, contre la volonté de son héros, et, ne pouvant triompher de son obstination, il abandonna son traitement de professeur aux élèves peu favorisés de la fortune, que des réglemens absurdes auraient éloignés de l'école. L'’admiration de Monge pour Napoléon ne fut point une de ces palinodies honteuses et serviles qui font tant de taches dans l’histoire moderne. Son caractère noble et désintéressé ne se démentit jamais, et ce fut au nom de leur ancienne amitié que l’empereur parvint à triompher de son abnégation et à lui faire accepter les honneurs dontill’accabla. Monge futsuccessivement pro-

mu à la dignité de sénateur, à celle de comte de Peluse, il reçut le cordon de grand-officier de la légion d'honneur et de la Réunion, et fut pourvu d’un riche majorat en Westphalie, La chute de l'Empire, la dis'ocation de l’école Polytechnique, le bannissement des conventionnels, la radiation aussi injuste qu’arbitraire de l'Institut, le frappèrent au cœur; il tomba dans une profonde mélancolie, et ne fit plus que mener une existence pénible etsouffrante jusqu’au 28 juillet 1818, où il mourut vivementregretté de ses nombreux amis, et emportant dans la tombe l’estime de ses ennemis politiques. Les bornes qui nous sont imposées ne nous ont pas permis de donner plus de développemens à ce rapide énoncé de la vieet des travaux de Monge ; il est heureusement de ce petit nombre d'hommes dont le nom rappelle l'illustration , et qui, faisant partie des gloires d'un pays, n’a besoin que d’être prononcé. Monge a publié séparément : I. Traité élémentaire de statique, Paris, 1786, in-8, 46. 1819, 5° édition. If. Description de L'art de fabriquer les canons, Paris, an ur, in-4°. HT Zecons de géométrie descriptive, Paris, an nt, id. 1813, in-8°, 3° édit. IV. Application de l'analyse à la géométrie des surfaces du premier et du deuxième degré, 4° édit., Pa. ris, 1809 in-4°. On trouve dans la Collection des savans étrangers, et dans les Mémoires de l’Institut et de l'Académie des sciences, de nombreux mémoires de Monge sur les diverses branches des sciences mathématiques et physiques. (Joy. l'Eloge de Monge, par Bertholet, et Essai historique sur les services et les travaux scientifiques de Monge, par le baron Dupin.)

MONOCORDE.(Acoust.) Instrument composé d'une seule cord: sonore dont les anciens se servaient pour déterminer les rapports numériques des sons. Nous

avons donné ces rapports au mot HanmoxiQue.

MONOME. (Alg.) Quantité composée d'une seule partie ou d’un seul terme, comme «a, ax, a’bx, etc.

(Foy. BinomE.)

MONTUCLA (Jan Ériennr). Ce savant historien des sciences mathématiques , naquitàa Lyon en 1925, il fit ses études au collége des Jésuites ea cette ville, et s'y distingua de bonne heure par son application à l'étude et l'éclat de ses progrès. Il manifesta surtout des dispositions remarquables pour la science dout il entreprit plus tard d'écrire l’histoire , et pour la langue étrangère qu'il apprenait avec une merveilleuse facilité. Montucla était d'une famille pauvre, il demeura orphelin à seize ans, et vint à Paris pour perfectionner son éducation. Dans un âge si tendre, l'étendue de ses connaissances et la bienveillance de son caractère, appelèrent sur lui l'intérêt de plusieurs savans, tels que d'Alembert, Cochin, Leblond etc. : leurs conseils et leur

appui lui furent également utiles. Admis à la rédaction de la Gazette de France, journal qui avait alors une grande célébrité littéraire, et désormais à l'abri du besoin, il commença à rassembler les matériaux de son Histoire des mathématiques, ouvrage aussi vaste qu'important, que son érudition et ses connaissances approfondies des théories les plus élevées de cette science, le rendaient apte à accomplir : la première édition parut en 1758. On admire dans ce livre l'étendue des recherches et la clarté avec laquelle sont exposées les découvertes successives opérées dans les sciences. Néanmoins le plan général de l'ouvrage , le meilleur et le plus complet que nous possédions encore sur cet intéressant sujet, n’est pas à l'abri de tout reproche. Peut-être le récit est-il trop souvent interrompu par de longues dissertations et des expositions de théorie dont l’auteur avait seulement à constater l’origine, la marche et les progrès. Il serait à désirer aussi qu’un pareil travail se fit remarquer par des aperçus généraux plus philosophiques, et une classification plus chronologique et plus méthodique des faits. Il est aussi intéressant qu’instructif, eneffet, de suivre les développemens de l'esprit humain dans leur ensemble; et la grande leçon qui doit ressortir de ce merveilleux tableau, est beaucoup moins facile à saisir, quand on est obligé de remonter le cours des siècles pour chacune des branches du savoir. Montucla travaillait à la seconde partie de cet ouvrage, quand après de longues vicissitudes, il mourut à Versailles le 18 décembre 1799. Ce fut Lalarde qui se chargea de terminer l'œuvre de Montucla , et il faut avouer qu’il n’a pas toujours été aussi heureux que son ami; les deux derniers volumes auxquels il a eu quelque part, sont très inférieurs aux deux premiers, sous tous les rapports. Néanmoins, l'Histoire des mathématiques de Montucla, restera comme un rare monument d’érudition et de savoir, en attendant que cet important sujet soit de nouveau traité par quelque habile écrivain qui ne recule pas devant les difficultés sans nombre d’un pareil travail. Montucla était membre de l’Académie de Berlin et de l'Iustitut depuis sa création. Outre l’ouvrage dont nous venons de parler, onadelui :I. Histoire des recherches sur la quadrature du cercle, Paris, 1954,in-12. IL. Récréations mathématiques d’Ozananm, nouv, édit., 1778, 4 vol. in-8°. (Ce titre porte, par M. C. G. F. ce qui signifie Chanla, géomètre forésien ; c’est le nom d’un petit domaine queles parens de Montucla avaient possédé dans le Forez.) Fay. le deuxième volume de l'Histoire des mathématiques, en tête duquel est le portrait de Montucla et un extrait de son éloge, par Savinien Leblond.

MOTEUR. On donne ce nem à tout ce qui produit un mouvement, Dans une montre, par exemple, c’est le

ressort qui est le moteur; dans une horloge, c'est le

poids; dans un moulin, c’est l’eau ou le vent, etc.

MOUFFLE. (Méc.) Machine composée d’un assemblage de poulies, dont les unes sont fixes et les autres mobiles , qui sert pour élever de grands fardeaux. Nous en donuerons la théorie au mot Pour.

MOUVEMENT. (Méce.) Etat d’un corps dont la distance par rapport à un point fixe change continuellement. (Ÿoy. MECANIQUE.)

La matière inorganique n'étant pas susceptible de déterminations intérieures , tout mouvement suppose une force extérieure qui le produit ; comme aussi toute interruption de mouvement suppose une force contraire qui le détruit, car la matière ne peut par ellemême changer son état. Cette persévérance des corps matériels dans leur état de repos ou de mouvement , est fondée sur la loi d'inertie , laquelle ne résulte pas seulement de l'indifférence de la matière pour un état quelconque , mais bien des forces primitives qui la constituent. (Foy. NATURE.)

Tout mouvement peut être considéré sous le rapport de sa direction, c'est-à-dire, sous le rapport de l’espace décrit comme tendance vers un même point. Si le corps en mouvement n’obéit qu’à une seule force ou à plusieurs semblablement dirigées, il se meut d’un mouvement simple , et sa direction est une ligne droite. Si le mouvement est produit par l'action simultanée de plusieurs forces différemment dirigées, il devient composé et s'exécute suivant une direction moyenne entre toutes celles des forces concourantes , et cette direction est encore une ligne droite lorsque le rapport des forces ne change pas pendant toute la durée du inouvement ; mais si ce rapport varie, la direction varie elle-même; le mouvement s'effectue alors dans une ligne courbe ou suivant des portions de lignes droites, formant ensemble des angles plus ou moins obtus. Pour rendre ceci plus sensible, considérons un point matériel À , soumis à l’action de deux forces ; dont l’une tend à lui faire prendre la direction AM , et l’autre, la direction AN. (PI. 47, fig. 2.) Si nous représentons par AC l'intensité de la première force ou l’espace qu’elle tend à faire parcourir au point À dans l’unité de temps, par AD, l'intensité de la seconde force, et que nous construisions le parallèlogramme ABCD, la direction réelle du point À sera la diagonale AB, dont la grandeur représentera en même temps l'intensité de la force unique que l’on peut supposer remplacer les deux forces en question. (Foy. Force.) Or, si le rapport des deux forces primitives est invariable, le point À continuera à se mouvoir dans la direction AP, c’est-à-dire toujours en ligne droite : mais si, au contraire ; le rapport des forces varie et qu'au

poiut B, l'intensité de la première forceétant toujours BC' on AC, celle de laseconde devienne BD', on devra considérer, à ce point B, le point matériel comme soumis à l’action des deux forces BC’ et BD’, ou seulement à celle de leur résultante BB', ainsi la direction du mouvement qui avait lieu suivant la droite AB se brisera en B pour devenir BB' et ainsi de suite. Il devient donc évident que dans le cas où le rapport des deux forces changerait à chaque instant , la direction varierait également à chaque instant et que l’espace décrit serait une ligne courbe ; ce que nous venons de dire pour deux forces s'applique sans difficulté à un nombre quelconque de forces.

Le mouvement en ligne courbe ne peut donc jamais être l’effet d’une seule force : il ne suffit pas même qu'il yen ait plusieurs qui agissent en même temps, il faut encore que ces forces changent de rapports entre elles.

Mouvemenr unirorme. C’est celui dont la vitesse est toujours la même, c’est-à-dire , dans lequel des espaces égaux sont décrits dans des temps égaux. — Les forces qui produisent de tels mouvemens sont elles mêmes uniformes.

Mouvement vari£. C’est celui dont la vitesse varie ou dans lequel des espaces inégaux sont décrits dans des temps égaux. De tels mouvemens sont produits par des forces dont l'intensité varie. (Foy. AccÉLÉRE.)

Mouvement RECTILIGNE. Celui qui s’effectue en ligne droite.

MouvemeNT cuRVILIGNE. Celui qui s'effectue en ligne courbe.

MOUVEMENT CIRCULAIRE, (W’oy. CENTRAL.)

MOUVEMENT DE ROTATION. (f’oy. Rorarion.)

Mouvement ABsOLU et RELATIF. (Ÿ’oy. MECANIQUE.)

En astronomie, le mouvement reçoit diverses qualifications telles que diurne, annuel, horaire, sidéral, etc. (l’oy. ces mots.)

MOYEN. En astronomie, ce terme s'applique à toutes les quantités qui sont également différentes , ou qui tiennent le milieu, entre les plus grandes et les plus petites valeurs dont se trouvent susceptibles les mêmes objets. Ainsi on dit le mouvement moyen, le lieu moyen , la parallaxe moyenne, le temps moyen, l'anomalie moyenne, le diamètre moyen, etc. (Foy. PLanère, et les divers articles qui se rapportent à ces mots.)

Moyen PROPORTIONNEL OU MOYENNE PROPORTIONNELLE, (Ælg.) Lorsque dans une proportion le conséquent du premier rapport est égal à l'antécédent du second, la quantité commuñe qui forme ces deux termes prend le nom de moyenne proportionnelle ; arithmétique ou géométrique, selon la nature de la proportion. Foy. ProponTIoN.

Moyenne Et EXTRÈME RAISON. On dit qu'une quantité

est partagée en moyenne et extréme raison, lorsqu'une de ses deux parties est moyenne proportionnelle géométrique entre la quantité entière etson autre partie. (}o7. ArPL. DE L'ALG.A LA GEOM. ; 14.)

MULLER (1Ean), géomètre et astronome célèbre du xv'siècle, plus connu sous le nom de ReciomoNTaAnus, naquit au village d'Unfind, près Kænisberg, ville de la Saxe Hildburghausen, le 6 juin 1436. Il fit ses études à Leipzig, où son penchant pour l'astronomie se manifesta de bonne heure; à quinze ans il partit pour Vienne où Purbach, enseignait avec éclat cette science à l'Université de cette ville. Le jeune professeur eccueillit avec intérêt le jeune disciple, qui se présentait à lui avec des connaissances déjà assez étendues, pour qu’il pût l’associer bientôt à ses travaux. Ils observèrent ensemble quelques éclipses et une conjonction de mars, qui leur donna l’occasion de réformer quelques erreurs des tables alphonsines. Le cardinal Bessarion avait demandé à Purbach un abrégé de l’Æ/magiste, en langue latine; cet astronome attachait aussi lui-même une grande importance à ce travail; mais il mourut tout-àcoup à l’âge de trente-neuf ans, laissant à Muller sou disciple et son ami, le soin de continuer cette entre prise. Ils avaient dù faire ensemble le voyage d'Italie, pour s’y fortifier dans la connaissance de la langue grecque ; car c'était à cette époque que les savans de la Grèce, après le désastre de leur patrie, cherchaient de Italie : Muller

voyage. C’est dans ce pays qu'il entreprit ce nombre

toutes parts un refuge en fit seul le prodigieux de travaux scientifiq ues qui étonnaient l’imagination par la multiplicité des connaissances et l’activité sarhumaine qu'ils supposent dans leur auteur. Le simple énoncé des ouvrages de Muller, dépasserait de beaucoup les bornes de cette notice : il noussuffira, pour attester les services qu'il a rendus à la science, de donner la liste de ceux qui ont été imprimés. Purbach et Regiomontanus sont incontestablement les régénérateurs de l'astronomie moderne; et si la mort ne les eût frappés tous deux à la fleur de l’âge, il est probable que la réformation complète de cette science eût été le résultat de leurs travaux. Tous deux avaient reconnu les impossibilités et les invraisemblances des hypothèses de Ptolémée, ils avaient médité profondément sur la simplicité majestueuse du système de Pythagore ; mais la gloire de reconnaître le mouvement de la terre et d’eu faire la base de l'astronomie, était réservée à un autre. Au nombre des services que Regiomontanus a rendus à la science, il ne faut pas oublier la fondation de la célèbre imprimerie qu'il fonda à Nuremberg, et qu'il trouva le temps de diriger , sans cesser de se livrer à l'observation et à la rédaction de ses écrits. Cet

illustre savant, à peine âgé de quarante ans, mourut à

Rome le 6 juillet 1476, laissant inaccomplis une foule de grands desseins, dont la seule pensée honore son géuie. IL fut enterré au Panthéon, Voici d’après Delambre, la liste la plus complète qu’on ait publiée des écrits de Jean Mulier, L Joannis Regiomontani ephemerides

astronomica, ab anno 1475, ad annum 1506, Nuremberg, in 4°. IL. Disputationes contra Gherardi cremonensis in planetarum theoricas deliramenta ib. 1474, in-folio. ALL. Tabula magna primi mobils cum usé muluiplici, rationibusque certis, tb. 1475. IV. Fundamenta operationum quæ fiunt per tabulam generalem, Neubourg 1555. V. Kalendarium novum, Nu

remberg, 1476 in-4". Voy. relativement à ce calendrier, l'Histoire de l'astronomie au moyen âge par Delambre, qui eu donne dans cet ouvrage une description dé. taillée et curieuse.) VI. Tabulæ directionum præfec-

tionumque, Venise 14 (Réimprimé depuis plusieurs fois avec une table des sinus, etc. VIT."47manach ad annos 18 ab anno 1489. VII. J. R et Georgii Purbachii epitonia in almagestum Ptolemeær, Venise, in folio, 1496. IX. Æphernerides incipientes ab anno 1473, Venise, 1498, in-4°. X. Tabulæ eclpsium Purbachi ; tabulæ primi mobilis à Monteregis, ib. in folio 1515. XI. Problemata XVI de cometæ longrutdine, magnitudine et loco vero, Nuremberg 1531. XII. Problemata XXIX sapheæ nobilissimt instrumenti à J. de Monteregio, ib. 1534. C'est la description d’un instrumeut que Muller appelle saphie et qui ressemble beaucoup à l'analemme. XIIT. Observationes 30 annorum à Joann. Regiomontano et B. Falthero Norimbergæ habitæ.…. scripta clarissimi mathematici de torqueto, astrolabio armillari, reguld magn& Ptolemaïca, baculoque astronomico , ib. 1544 im-4°. Snellius a donné, avec quelques changemeas dans le titre, une édition plus correcte de cet ouvrage. Leyde, 1618. XIV. De triangulis planis et sphericis libri VF unà cum tabulis sinuum, sans date, etc. (Foy. vie de Regiomontanus par Gassendi.)

MULTINOME. (Alg.) (Foy. PoLyNome.)

MULTIPLE. (44) Un nombre qui en renferme un autre comme facteur est dit multiple de cet autre. Aivsi 8 est multiple de 4 ; 15 est multiple de 5, etc. Es général , si l'on a M — P.Q,M est multiple de P ou de Q.

Un por MULTIPLE, en géométrie, est un point commun d’intersection de plusieurs branches d’une même

courbe qui se coupent. {F’oy. Poixr.)

MULTIPLICANDE. Nom que l'on donne en arithmétique à l’un des deux facteurs qui entrent dans un produit, c'est celui qui est considéré comme devant être multiplié par l’autre.

MULTIPLICATEUR. Nombre par lequel on multi-

plie un autre nombre qui reçoit le nom de multipl-

cande. (Foy. Murripricariox.)

MULTIPLICATION. {4/g.) Une des six opérations élémentaires fondamentales de Ja science des nombres. Elle a pour objet de trouver le produit de deux facteurs. (Foy. Norioxs PRÉLIM. 3.)

1. Considérée dans son origine et d’une manière pu rement arithmétique, la multiplication est un procédé de calcul à l'aide duquel on obtient la somme de plusieurs nombres égaux d’une manière plus prompte que par l'addition de ces nombres. En examinant une telle addition , par exemple :

on voit que la somme 40 est formée de 5 fois le nombre 8, c'est-à-dire qu’elle est entièrement déterminée par les deux nombres 5etS. De même, l'addition successive de 634, neuf fois avec lui-même donnant 5706, il e:t évident que ce dernier nombre cst encore entièrement déterminé par les deux nombre 634 et 9. Or, trouver d'une manière directe le nombre quise trouve ainsi déterminé par le concours de deux autres nombres, sans passer pour une addition successive, c’est proprement le but de la multiplication. Alors, on ne dit plus que 8 ajouté cinq fois à lui-même donne 40 pour somme, où que 634 ajouté neuf fois à lui-même donne 5706 pour somme, mais que 8 zauliplié par 5 donne 40 pour produit, ou que 624 mudüplié par Q donne 5506 pour produit. Examinons donc comment le procédé suivi dans l'addition pourra nous conduire au procédé qu'il faut suivre dans la multiplication, ce dernier ne pouvaut être qu’une généralisation du premier. Pour cet

effet, ayant écrit, comme il suit, neuf fois 634 ,

Somme — 5706

et procédant à l'addition , nous remarquerons que, la colonne des unités n’étant composée que d'un même chiffre 4, au lieu de dire 4 et 4 font 8, 8 et 4 font 12, 12 et 4 font 16, etc., on pourrait dire tout de suite neuf fois 4 font 36, et alors écrire 6 sous la colonne des unités et retenir 3 pour ajouter à la somme dela colonne des dixaines. Par la méme raison, au licu d’effectuer succes-

sivement l'addition des chiffres de la colonne des dixaines, on peut dire tout de suite neuf fois 3 font 27, ce qui, avec 3 de retenus, font 30 ; ainsi posant zero sous la colonne des dixaines, on retiendra de nouveau 3 pour ajouter avec les centaines dont la somme peut de même s'obtenir immédiatement en disant zeuf fois 6 font 54 et 3 de retenus , 57, qu'on écrit pour terminer l'opération. On pouvait donc se dispenser d’écrire neuf fois le nombre 634 ; il suffisait de l'écrire une seule fois, en plaçant 9 au-dessous pour iudiquer la nature du procédé que nous venons de suivre; on aurait eu simplement, de

cette manière ,

Produit, = 53oû

2. Ce procédé que nous étendrons plus loin à des nombres quelconques, suppose que l’on connait immédiatement nerf fois 4, neuf fois 3 et neuf fois 6, ou, généralement , les produits des nombres simples entre eux , c’est-a-dire les produits des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9. Ainsi il faut d’abord construire ces produits simples , car sur cette construction seule repose la possibilité du procédé abrégé d’addition qui constitue la muliplication.

Le premier moyen qui se présente à l'esprit pour construire le produit de deux nombres simples tels que 5 et 4, est d'ajouter 5 quatre fois à lui-même, la somme 20 de cette addition,

étant une fois fixée daus la mémoire on n'aura plus beoin de recommencer cette opération. Ainsi il ne s'agirait donc que de construire, une fois pour toutes , tous les produits de deux à deux des chiffres simples de notre système de numération, ou de tout autre système dont on voudrait se servir. Mais il existe un moven plus simple de former ces produits les uns au moven des autres, en procédant comme il suit :

Ayant écrit les neuf chiffres simplesde notre système de numération sur une même colonne horizontale , on ajoutera successivement chacun de ces chiffres à luimème et on écrira les résultats au-dessous, sur une se conde colonne , ce qui donnera

Chaque nombre de cette seconde colonne sera le produit du chiffre correspondant de la première par 2.

En ajoutant successivement chaque chiffre de la première colonne avec le nombre qui lui correspond dans la seconde, on formera une troisième colonne qui con-