Si nous désignons par #, l'un quelconque des

258 NO nombres #,,n,, n;, etc., nous aurons évidemment en vertu de (b)

NON = NEN em Jr mp NN np +0 p NN — npj"—23 etc.

= NINo— np] np {NN — np] HN No—npl—s + 70, N[No—nr)"—3 —+ etc... } = NINo—np}" + 7, NIN7 1

et pour tout autre nombre »,, pris également parmi les nombres n,, n,,n,, etc.

NN = NN on} n NON an, ce qui nous donne la relation générale , Nan) NON = NN nn NN ar et définitivement (4), NNo— np) NINo— nf = (n7—np).NINIT—1.

Telle est l'expression de la relation qui existe entre la génération par sommation et la génération par graduation au moyen des nombres #,,n,,»,, etc. C'est la loi fondamentale de toute la théorie des nombres. On voit qu’elle se réduit en effet à la forme («)

4. En établissant entre deux quelconques », et », des nombres arbitraires n, n,+n,+etc...—+n, =N,, la différence (7, — n}) égale à, 3, 4.5, etc., on aura, d’après cette loi, pour la forme primitive de la génération de tous les nombres composés respectivement des

facteurs 2, 3, 4, 5, etc., l'expression (e), NENo— np} —KINo— 29];

mn étant un nombre entier positif quelconque. — C’est Jà l'origine absolue des facteurs dansles nombres entiers.

« Ceux des nombres premiers, dit M. Wronski, qui ne sont pas compris sous Ja forme (e), si ce n’est dans le cas où la différence (n77—np) est égale à l'unité, et qui cependant se trouvent comme les autres dans la suite naturelle des nombres, c’est-à-dire, dans la suite produite par la génération consécutive par summation, et nommément par l'addition consécutive de l'unité, sont ceux qu'on appelle nombres premiers. — On voit maintenant quelle est la nature de ces nombres, et quel en est le caractère distinctif; on voit que ce caractère est purement xégatif et qu'il consiste dans l'exclusion de ces nombres hors des limites de la forme primitive (4) que nous venons de trouver pour la génération possible des nombres composés de facteurs, à l'exception du cas insignifiant où la différence (ny—np) est égale à l’unité. — C'est de ce caractère négatif ou d'exclusion que vient l'impossibilité d'exprimer, d’une manière géuérale, les nombres qu’on appelle premiers, c'est. à-dire

NO

l'impossibilité de soumettre ces nombres à une loi : ce sont leurs opposés, les nombres composés de facteurs dont le caractère distinctif est positif qui peuvent être soumis à des lois, et par conséquent recevoir une expression générale; et c’est cette expression que nous veuons de déduire de la loi fondamentale des nombres.»

6. Il est facile de reconnaitre, en examinant les deux quantités

NINo—2,]" NN [No— nl qui concourent à la génération des uombres composés du facteur (2,—ny), que ces quantités sont construites d'une manière identique, et qu'iln’existe entre elles aucane différence de génération. C’est cette identité de formation qui est le principe premier de la congruence des nombres (v0y. ConcnuEnce) et donne lieu à l’expression générale de cette congruence , NINo— = NINo— nl", [module =(ng—n»)];

sur laquelle reposent conséquemment toutes les propositions de la Théorie des nombres. (Foy. Wronski , Introd. à la Phil. des Math.) Foy. Coxenuence et INDÉ- TERMINÉ.

Nowvne n'on. C'est celui qui exprine l’année couraute du cycle lunaire. (Foy. CALENDRIER, 27.)

NONAGÉSIME. (45t.) Point de l'écliptique éloigné de 90° des sections de l’écliptique avec l'horizon. C’est le point de ce cercle le plus élevé au-dessus de l’horizon daus un moment donné.

NONES. Nom que l’on dounait à certains jours du mois daus le calendrier romain. (Foy. CaLeNpriEr, 14.)

NONIUS. {Voy. VEnNiEr.)

NORD. (454.) Un des quatre points cardinaux. (or. CanpiNaux.)

NORMALE. (Géom.) C'est la même chose que perpendiculaire, mais on se sert plus particulièrement de ce mot dans le théorie des courbes. (7’oy. PerPenDicu- LAIRE €t SOUS-NORMALE.)

NOTATION. (4lg.) Représentation ou signe extérieur qu’on emploie pour désigner les quantités numériques. Par exemple, la manière d'écrire l’exposant audessus de la base, dans 4”, pour désigner la puissance de cette base, est une notation.

NUIT. (45t.) Espace de temps pendant lequel le s0leil est au-dessous de l'horizon.

NUMERATEUR. (4/g.) Nom del’un des deux nombres qui servent à exprimer une fraction. (Woy. Frac- TION.)

NUMÉRATION. Génération de tous les nombres au moven de certains nombres que l’on considère comme simples ou comme donnés immédiatement. (Voy. Arita- MÉTIQUE, 11.)

Comme ilest impossible d’avoir la conception immédiate d’use pluralité indéfinie d’uuités numériques, 1l

KO

est essentiel, pour la possibilité de l’arithinétique , de déterminer médiatement cette conception. Or, cette détermination ne peut évidemment avoir Jieu que par une combinaison des algorithmes élémentaires primifs, sur lesquels repose en dernier lieu toute la science des nombres, combinaison qui constitue l'algorithme élémentaire dérivé de la Numérariox. (707. Maiué- MATIQUES , 4.)

Eu combinant ensemble les deux algorithmes primitif de la sommation, et dela reproduction, on obtient une génération dérivée, dont la forme générale est (a),

A,.M+A,.N+A:.O+HA,.P+ etc.

À, À,, A3, etc. , désignant des uombres donnés par la sommation, où par l'addition successive de l'unité avec elle-même, et M, N,O, P, etc., des nombres semblables, mais liés entre eux par une loi, afin que cette génération ait une forme déterminée.

Mais pour que cet algorithme soit susceptible de résoudre, dans toute son étendue, la question qui nous occupe, il faut qu’on puisse resserrer les deux générations composantes entre des limites arbitraires, et obtenir néanmoins la génération complète d’une quantité quelcouque. C’est ce qui a lieu en effet.

Ainsi considérant comme donnés immédiatement une certaine quantité »: de nombres A, A, A,,etc.,et preuant pour les nombres M ,N,O, ctc., la suite des puissances progiessives du nombre limitant #, ce qui est la loi la plus simple qui puisse lier ces quantités, nous aurons pour la génération d’un nombre quelconque X, suivant le cas le plus simple de l'algorithme (a), l'expression (b),

X = A,mP+ A,mP—i A ,mp—2+ Amp etc.

Mais pour sortir du point de vue général, prenons dix pour limite, c’est-à-dire considérons comme simples les dix quantités

et nous aurons pour la génération du nombre X, X = A,10P + A,107—1HA;107—1—2 etc.,

les quantités A:, A», A3, etc., étant quelques-uns des nombres simples 0, 1,2,3, etc.

Dans l’arithmétique , on sous entend les puissances 107, 10P—1, etc. , et les rangs qu’on fait occuper aux nombres simples o , 1,2,3, etc., ne sont qu’un moyen de tenir compte de ces puissances, C’est ainsi qu’on nomme dizaines, les nombres de l’ordre 10'; centaines, ceux de l’ordre 10*, etc. Par exemple, en écrivant comme daus l’arithmétique la quantité X