OÙ

On nomme encore point d'osculation le point d’attouchement de deux branches d'une courbe qui se touchent

sans se couper. (Foy. Point.)

OVALE. (Géom.) Figure curviligne oblongue, renfermée dans une seule ligue courbe rentrante ou fer mée,

L'ovale est généralement une figure irrégulière plus étroite par un bout que par l'autre, ce qui la détiogue

de l’e/Aipse qui est une ovale regulière.

OUGTHRED (Guiiraumr), mathématicien anylais du XVIT° siècle, est l'auteur de quelques ouvrages estimables d’algèbre et de géométrie, que les progrès de la science ont fait tomber dans l'oubli, mais qui, à l'époque où ils furent publiés, eurent le plus grand succès. La plupart ont été suivis long temps dans les universités de la Grande-Bretagne, comme des livres classiques. A cette époque où l’illustre Viète venait de faire faire un si grand pas à la science des nombres, Ougthred composa plusieurs traités, dans lesquels il s’est attaché à développer l'application de l'algèbre aux pro blèmes géométriques, la construction des équations , la formation des puissances et les formules pour les sections angulaires. Ses travaux, qui annoncent un savant cousciencienx et distingué, ne renferment rien de trèsremarquable sous le rapport de l'invention; ils laissèrent la science dans l’état où Viète l'avait amenée, Ougthred était né en 1573: la joie qu'il éprouva en appreuant la résolution du parlemeut qui rappelait Charles IL lui causa un tel saisissement qu’il en mourut en 1669. Son principal ouvrage : Clavis geometrica , a été imprimé plusieurs fois, mais il est devenu très rare et on le trouve à peine indiqué dans les recueils bibliographiques. Les autres écrits d'Ougthred réunis sous le titre d'Opuscula mathematica , et publiés pour la première fois en 1667, ont eu également plusieurs éditions.

OURSE. (451.) La grande ourse (PI. 9, fig. 1.) est la plus remarquable des constellations boréales et la plus ancienne qui ait été formée. On la nomme aussi le grand chariot.

On y distingue principalement sept étoiles, dont quatre forment un carré et les trois autres une espèce de queue ; c'est de cette forme que vient le nom de chariot. En s’alignant sur les deux étoiles de l'extrémité du carré opposée à la queue, on découvre, en remontant, l'étoile polaire, laqueile appartient à une autre constellation tout-à-fait semblable à la grande ourse, mais plus petite et dans une situation renversée. Cette dernière se nomme la petite ourse , l'étoile polaire est à l'extrémité de sa queue.

OUVERTURE, (Opt.) Quantité plus ou moins

270 PA grande de surface que les verres des lunettes et des télescopes présentent aux rayons de lumière. Plus l'objectif d’une lunette a d'ouverture, plus l'instrument a de clarté, et plus l’oculaire a d'ouverture, plus l'instrument a de champ. (/’oy. Lunerre.) OXIGONE. (Géom.) C'est la même chose qu’acutangle. (Foy. ce mot.) OZANAM (Jacques) , pauté de Dombes, professeur de mathématiques et auteur

né en 1640, dans la princi-

d’un grand nombre d'ouvrages élémentaires, est surtout connu aujourd’hui par ses Récréations mathématiques qui offrent aux jeunes gens un attrait qu'ils ne trouvent pas dans des productions d’un ordre plusélevé, Cependant Ozauam fut regardé danssontemps comme un géomètre distingué, Il avait appris seul les mathématiques, pour lesquelles il avait une sorte de passion et qu'il fut obligé d'enseigner pour vivre. Il publia en 1687, un Traité des lignes du premier ordre, expliquées par une méthode nouvelle, où l’on trouve en effet, quelques propositions remarquables, Il est également l'auteur d'un 7rauc d'Algèbre, dont l'illustre Leibnitz a parlé avec éloge dans son Commercium epistolicum avec Bernouilli. Ce grand homme y remarque l’expo-

sition de quelques méthodes algébriques utiles dans la réduction des quantités irrationnelles. Ozanam était déjà parvenu à un âge avancé lorsqu'il entra à l’Académie des sciences, où, dit Fontenelle, il voulut bien prendre la qualité d'élève, qu'on avait dessein de relever par un homme de son âge et de son mérite. Montucla, qui, sous un pseudonymei, a donné une édition des Récréations mathématiques d'Ozanam , ne lui a consacré dans son histoire des mathématiques que quelques lignes iusignifiantes. Cependant si les travaux de ce géomètre ne le placent pas sur la même ligne que quelques-uns de ses illustres contemporains , on doit du moins convenir qu’ils ont été utiles à la science dont ils ont contribué à répandre le goût et l’étude. Outre les ouvrages dont nous venons de parler, Ozanam qui est mort à Paris , le 3 avril 1717, est encore auteur d’une Table des sinus, tangentes et sécantes et des logarithmes , que son utilité pratique a fait estimer fort long-temps, et qui , suivant Fontenelle, offre plus de correction et d’exactitude que les tables d'Ulacq, de Pitiscus et même de Henri Briggs. Il a également publié un Dictionnaire des mathématiques ; ouvrage incomplet et que les progrès de la science ont dù faire oublier.

PACCIOLI (Lucas, plus connu en {Italie sous le nom de Fra Luca pr Borco), moine franciscain et l’un des plus savans mathématiciens du XV® siècle, est né à Borgo-san-Sepolchro, dans le grand duché de Toscane. Il est le premier géomètre dont les ouvrages aient été imprimés, et sous ce rapport seul son nom mériterait d’être signalé dans l'Histoire de la Science , si d’ailleurs ses travaux n'étaient fort remarquables pour l’époque où ils furent composés. Le frère Paccioli avait voyagé dans l'Orient avant la chute de l'empire grec, et il avait pu y satisfaire son goût pour les mathématiques, en étudiant ces sciences dans les livres des anciens géomètres , alors à peu près inconnus en Europe. Après avoir enseigné l’arithmétique et la géométrie à Naples et à Ve nise, il vint à Milan, où le célèbre Ludovic Sforce, dit le More, fonda pour lui une chaire de mathématiques, que Paccioli occupa avec éclat, et où ses cours furent suivis par un nombre considérable de disciples. Ce fut à cette époque qu'il traduisit Euclide, ou plutôt qu’il revit entièrement l’ancienne traduction de Campanus de Novarre, dont la version était incorrecte et qui avait cru souvent pouvoir substituer ses propres idées à celles du grand géomètre de l'école d'Alexandrie. Cet ouvrage n’a été imprimé qu'en 1509. Il est probable que ce fut également à Milan que Paccioli composa sa Summa

arithmetica, geometria, proportionti è proportionalità, qui est son principal ouvrage et en même temps l’un des livres les plus curieux dont la publication ait signalé les avantages de l'imprimerie naissante. La première édition fut faite à Venise, en 1494, elle est in-folio , et elle est devenue d’une telle rareté, que peu de bibliographes peuventse vanter de lavoir eue sous les yeux. La seconde édition, que quelques savans ont pu voir, est de 1523, elle aété imprimée par Paganino di Paganini, de Brescia, ir T'usculano sulla riva del laco Benacente, suivant le titre qui est fort développé en termes ambitieux, d’après l'usage du temps , et qu'on nous permettra de ne désigner que par les premiers mots. La Summa arithmetica, geometria, est divisée en deax livres, dont l'un est consacré à l’arithmétique et l’autre à la géométie. Ce qu'il y a de plus remarquable dans la première partie, où brille d’ailleurs une grande érudition, c'est que Paccioli y consacre plusieurs chapitres à l'algèbre, qu'il appelle l'arte maggiore. Nous avons déjà eu l’occasion de parler de cette partie des travaux mathématiques de Paccioli, (Foy. Azcèere.) En 1508 il parut à Venise un autre ouvrage de ce religieux, qui est devenu aussi rare que tous ceux qu'il a écrits; il est intitulé Libellus in tres partiales tractatus divisus, etc. , ce sont trois traités sur les polygones et les corps réguliers, et

sur l'inscription mutuelle de ces corps les uns dans les autres. Enfin, on doit encore citer de Paccioli, son livre De divina proportione, etc.; il donne ce titre de Proportion divine à la division dela ligne en moyenne et extrême raison, dont il expose treize effeti ou utilités. Le reste du livre est consacré à des représentations perspectives de diverses figures géométriques. Cet ouvrage, qui parait être le second qu’ait composé Paccioli, ne fut également imprimé qu’en 1509, à Venise, par l'éditeur de la Summa.

Nous possédons peu de détails biographiques sur cet ancien géomètre, on ignore l’époque précise de sa naissance et de sa mort, mais la reconnaissance de la postérité doit s'attacher à sa mémoire, à cause de l'influence que ses travaux ont exercée sur la renaissance des sciences mathématiques, à cette époque remarquable , où il s’opera dans l'esprit humain une réaction si heureuse. Si la science a à inscrire dans ses fastes quelques-uns de ces noms glorieux qui excitent l'admiration du monde, elle ne doit point oublier ces hommes modestes et laborieux dont les recherches ont ouvert la carrière à des génies plus brillans. Montucla est à peu prèsle seul écrivain moderne qui ait parlé avec quelques développemens de Paccioli, ou plutôt de Lucas de Burgo, comme nous disons en français, nous renvoyons à son ouvrage les lecteurs qui désireraient connaître ces détails intéressans , dont nous n'avons pu extraire que cette courte notice.

PAIR. (Arith.) Un nombre pair est celui dont on peut prendre exactement la moitié où qui est un multiple de 2.

Si l’on représente par m» l’un quelconque des nombres naturels o , 1,2, 3,4, etc., la forme générale de tous les nombres païrs sera 2m. Zéro est toujours considéré comme un nombre pair, parce qu’il devient nombre impair en lui ajoutant l’unité.

On nomme encore pairement pair un nombre pair dont la moitié est aussi un nombre pair , tandis que celui dont la moitié est un nombre impair se nomme pairement impair. Par exemple, 12 est un nombre pairerement pair, et 14, un nombre pairement impair.

PALLAS. (454) Nom dela nouvelle planète découverte par Oblers, en mars 1802, etsituée entre Mars et - Jupiter, (Foy. Crrës et Juno.)

Cette planète est à peu près de la même grandeur que Cérès, elle offre un aspect nébuleux qni indique l’existence d’une vaste atmosphère , et elle se distingue de toutes les autres par la grande inclinaison de son orbite, car tandis que tous ces corps décrivent des orbites dont les inclinaisons sur le plan de l’écliptique ne dépassent pas quelques degrés. Celle de Pallas s'élève à près de 35°.

Voici ses élémens rapportés au 1°" janvier 1820.

Demi grand axe, celui de la terre étant 1... 2,7728860 Excentricité en parties du demi grand axe.. 0,2416480 Période sidérale moyenne en joursmoy. 1686 j,5388000 34° 34'55",o 172 39 26, 8 108 24 57,9

Inclinaison à l’écliptique................….

Longitude du nœud ascendant...

Longitude du périhélie.….….. 121

DENTELLE EEEEEEE

Longitude moyenne de l’époque...

PANIER (anse de). Joy. Ans.

PANTOGONIE. (Géom.) Nom donné par Jean Bernouilli à une espèce de trajectoire qui, pour chaque différente position de son axe, se coupe toujours ellemême sous un angle constant. (Woy. OEuvres de J. Bernouilli. Tome 11, page Goo.)

PAON. (4st.) Nom d’une constellation située dans

l'hémisphère austral. (Foy. ConsrELLATION.)

PAPPUS, géomètre d'Alexandrie, et l’un des derniers maitres de l'illustre école de cette ville, vivait dans le IV° siècle de notre ère. C’est grace aux travaux de cet habile et célèbre commentateur que nous possédous quelques renseignemens sur les principaux mathématiciens de l'antiquité et sur leurs écrits, déjà rares à l’époque où il en fit l’objet de ses recherches. En ce temps-là la civilisation ancienne touchait à ses derniers Jours; les hommes du Nord se ruaient de toutes parts sur le monde romain et commencaient le chaos au sein duquel le monde chréuen et la civilisation moderne allaient s’élaborer lentement. L'école d’Alexandrie, abandonnée aux disputes littéraires et théologiques, ne jetait plus que des lueurs incertaines, comme un flambeau qui va s’éteindre, et les mathématiciens, en petit nombre, qui avant la fondation de l’école de Proclus à Athènes, y réunissaient encore autour d'eux quelques rares disciples, étaient loin d’imiter leurs illustres devanciers et de s’élancer sur leurs pas dans le champ des découvertes. Les siècles de décadence, ainsi que le remarque avec beaucoup de sagacité l'historien des mathématiques, sont annoncés par les commentateurs et les annotateurs. L'école d'Alexandrie en comptait alors beaucoup; mais Pappus , au mérite qu’exige la formation des grandes collections, joignait évidemment des connaissances supérieures, et le génie qui les met en œuvre. Ses Collections mathématiques, emprein tes de ces diverses qualités, forment le livre le plus curieux et sans contredit le plus utile pour l’histoire de la science que le temps ait pu épargner. Le but de Pappus semble avoir été de rassembler en un corps plusieurs découvertes éparses, d’éclaircir et de suppléer en une foule d’endroits les écrits principaux des mathémati-

ciens les plus célèbres, c’est ce qu'il a accompli à l'égard

surtout d’Apollonius, d’Archiméde, d’'Euclide et de Théodose, par une multitude de lemmes et de proposions, dont ils supposaient la connaissance ; on trouve das cet ouvrage la plupart des tentatives des anciens sur les problèmes les plus célèbres, tels que la duplicatiou du cube, et la trisection et la multisection de l'angle. Comme nous l'avons déjà dit, Pappus ne se borua pas à réunir ces matériaux précieux pour l’histoire de la science , ilest souvent original et profond dans les recherches qui lui sont propres. Telle est, etre autres, l’idée claire et précise qu'il expose de l’usage du centre de gravité pour la dimension des figures, idée que Guldin a présentée comme une découverte qui lui appartenait, et dont Pappus a évidem-

ment fourni les premières notions.

Ses Collections mathematiques, que les géomètres modernes consultent encore avec intérêt, sont dues aux travaux de Commandin, qui a traduit cet ouvrage auquel il a ajouté beaucoup de notes. El ne parut qu'après Ja mort de ce mathématicien, grace à la protection généreuse de François Marie, duc d'Urbin, sous ce titre: Pappi Alexandrini Collectiones mathematicæ à Federico Commandino in la'inum versæ et commentariis illustratæ, Pisauri 1588, in-f. Il y a eu en 1589 à Venise une seconde édition de cet ouvrage, et une autre donnée en 1660, par Manolessi. Halley qui, dans l’édition du livre de Sectione rationtis d’Apollonius, qu'il a publiée, a également donné le texte grec de la préface du septièmelivre de Pappus, déclare que l'édition de Commandin est préférable à toutes les autres.

PARABOLE. (J'éom.) Luc des sections coniques. Elle est engendrée par un plan qui coupe un cône droit parallèlement à un de ses côtès. Telle est la courbe KGAIL :PI. 48, fig. 3.) formée par l’intersection de la surface du cône droit COD et du plan parallèle au côté OC. Eu supposant le cône prolongé à l'infini, comme le plan ne peut jamais rencontrer le côté, on voit que la parabole à deux branches indéfinies.

1. Pour trouver l’équation de cette courke dans le plan générateur, prenons pour axe des x la droite AB , intersection de ce plan et du plan principal COD; et par un point quelconque H, de l'axe, concevons un plan parallèle à la base du cône; sa section EGFTI sera un cercle (voy Cône). Supposons de plus le plan générateur perpendiculaire au plan principal, afin que les intersections! EF et BI soient perpendiculaires l’une sur l’autre, et menons dans le plan principal AM paralléle à EF.

Désignons AH par +, GH par y, OE par a et AM — EH par à. Ceci posé, les triangles semblables MOA, AHF, dosnent

PA AM : MO :: FH: AH Dir. EH: ex

d'ou

Mais eu considérant FH dans le cercle EGFI, nous avons (CERCLE 18)