AT, J)5X, Y
combinées d’une manière quelconque avec des quantités constantes; ou, plus généralement, w étant une fonction des variables æ,7, 3, etc., toute équation qui renferme
Au Au Au U, Ty V3 Ty CLC. de e Fra Zz ,
etc.
Si les différences sont infiniment petites, les équations sont dites aux différentielles partielles. Le cas des différences infiniment petites, est encore le seul pour lequel on ait trouvé des résultats généraux que nos limites nous permettront seulement d'indiquer.
a. u étant toujours une fonction de plusieurs varia-
bles , et sa dérivée différentielle prise en ne fai-
du PF sant varier que æ , si nous désignons par P une fonction quelconque de ces mêmes variables, mais qui ne renferme pas # , l'équation
du
r pue Le sera une équation différentielle partielle du premier ordre. C’est la plus simple de toutes.
L'intégration de cette équation ne présente aucune
difficulté, car en la multipliant par dæ on peut lui don-
ner la forme
PA
de dx = Pdx, dx
d'où en intégrant par rapport à x seulement u— f Pdx +C.
Ici, G n'indique pas une simple constante arbitraire, mais une fonction entièrement arbitraire de toutes les variables, autres que æ , que renferme la fonction «. Si par exemple, cette fonction u ne renferme que deux variable x et y , l'intégraie de l’équation
sera u—= fPdx + fy
fy étant une fonction arbitraire de y et de quantités constantes.
3, Lorsque P contient u, l'équation proposée rentre dansle cas des équations différentielles à deux variables ; mais occupons-nous tout de suite du cas le plus général des équations différentielles partielles du prenier ordre et du premier degré. Soient P, Q, R des fonctions qui renferment les variables w, æ et y la forme (1)
du du 7. = R
répond évidemment à ce cas général, Faisons pour abréger du dx
= du =D ; ce 9 l'équation (1) deviendra (2)
Pp + Qg=R, et l’on en tirera R—Q PT P 2
Or la différentielle totale de u est (voy. Dirr., 51)
du = e dx ee
du
= pdr + 42
Substituant la valeur de p dans cette différentielle totale ,ilvient (1) Pdu — Rdx = q (Pdy — Qdx)
Maintenant il se présente deux cas : 1° le premier mem bre Pdu—Rdx ne renferme que les variables u et x, tan-
dis que la fonction Pdy — Qux ne renferme que les
PA
variables 3 et x; 2°. Ces deux quantités renferment l’une où l’autre, ou tous les deux à Ja fois les trois variables &, x, y. Dans le premier cas, st nous désignons par z le facteur qui rend Pdu — Rdx une différentieile exacte, et par &' celui qui produit le même effet sur Pdy — Qux (Foy. IxtécraL, 64) , nous aurons en dé-
signant par Met N ces différentielles exactes , & P
Pdu— Rdx = = dM
Pay — Qdx — & dM
ct l'équation (2) deviendra
d’où , en multipliant par z et en intégrant,
M= / Sa,
mais pour que le second membre soit intégrable il faut
ga
que soit une fonction quelconque de N; posons
qe
donc RE ?(N) et nous aurons M = J'y (N)AN = #N), ? désignant une fonction arbitraire. Ainsi, pourintégrer l'équation différentielle partielle Pp + Q7 =R, il suffit d'intégrer les deux équations auxiliaires. Pdu — Rdx — 0 Pdy — Qdx — 0 et en désiguant par M l'intégrale de la première et par N celle de la seconde, on a
g(N) étant une fonction arbitraire de N.
