AVE

D'où l’on obtient, en éliminant g, l'équation finale

1x) SN dM dx dx QI 4N dM1 R[,N4dN avr Laon] DT '

On peut, à cause des deux fonctions inconnues Met N, partager cette équation en deux autres, en égalant séparément à zéro la partie indépendante du facteur 4'(N), et celle qui est multipliée par ce facteur. On

a ainsi dM QdM, R dM TP TP aN QaN RAN D ibpatpu

système d'équations dont l'intégration donnera les fonctions Met N.

6. Dans un grand nombre de cas on peut se dispenser d’avoir recours à ces équations, soit en éliminant une des quantités différentielles, soit en introduisant une nouvelle quantité indéterminée, ou soit enfin, en faisant concourir ces deux moyens. Nous ne pouvons entrer dans ces détails pour lesquels ainsi que pour les équations des ordres supérieurs au premier, il faut consulter le grand Traité du calcul différentiel de Lacroix. Voy. aussi les Mémoires de Berlin, pour 1747, 1748, 1750, 1763 et 1774 ; et ceux de l’Académie des sciences, pour

PAS DE VIS. (Mec) On désigne sous ce nom la portion de la spirale qui correspond à chaque révolution entière de la vis. (Foy. Vis.)

PASCAL ( Braisr. ) L’admiration profonde que les écrits polémiques de cet homme célèbre excitent encore en France , et partout où l’on sent le prix d’un grand tilent dont de grandes vertus rehaussent encore l'éclat, s’est étendue à toutes les productions de cet esprit original et profond. La haute opinion qu'on s’est faite de Pascal aussi bien comme philosophe et géomètre que comme littérateuretapologiste dela religion chrétienne, est tellement accréditée qu'il peut paraître audacienx d'examiner sur quels fondemens elle repose. La plupart de ses biographes, même ceux qui, sous quelques rapports, se sont montrés des adversaires implacables de ses opinions , n'hésitent point à lui assigner dans l’histoire

ue la science une des places les plus éminentes où le

génie puisse aspirer. Il y a plus de sentiment que de raison dans ce jugement. Sans doute cette noble et pure intelligence dans ce corps frêle et souffrant , cette rare fermeté unie à tant de douceur et de bienveillance, ce talent fier et élevé qui semblait vouloir se dévouer aux applaudissemens de la foule en s’'enveloppant de tant de modestie et de simplicité, cette merveilleuse enfance , cette jeunesse si active et laborieuse , cette tristesse rêveuse qui domine le cours sitôt arrêté de cette vie vouée au travail et à la souffrance , enfin tout ce qu’il y a de beau , d’extraordinaire , de touchant dans le caractère , l'organisation et le génie de Pascal sera toujours digne du plus vif intérêt , de l'attention la plus sérieuse. Cependant quand on ne craint pas de comparer Pascal à notre grand Descartes, de l’assimiler aux hommes qui, comme lui, ont ouvert à l'esprit humain la carrière sans limites où il est aujourd'hui engagé , on s’exagère évidemment l’importanceréelle des travaux de cet illustre écrivain. Nous ne venons point toutefois chercher à rabaisser cette renommée si belle et si nationale , mais les intérêts de la vérité nous paraissent supérieurs à toutes les considérations qui auraient pu nous faire accepter sans examen les jugemens dont les productions du génie de Pascal ont été l’obict.

Blaise Pascal naquit à Clermont , capitale de la province d'Auvergne, le 19 juin 1623. Son père , Étienne Pascal, président à la couv des aides de cette ville, était un homme d’un mérite remarquable. Il fat le seul maitre du jeune Blaise, son fils unique. Cet enfant montra, dès l’âge le plus tendre, une intelligence prodigieuse qui ajouta peut-être à l'intérêt et à la sollicitude dont il était l'objet. En 1637, il vendit sa charge et vint à Paris pour se livrer avec plus de succès à l’éducation de ses enfans, car le jeune Blaise avait deux sœurs , et la mort de leur mère imposait à Etienne Pascal des devoirs dont il comprit l'étendue et qu’il remplit avec une religieuse affection. Ilétait déja lié avec quelques savans de cette époque tels que Mersenne, Roberval, Mydorge, qui se réunirent fréquemment chez lui et le jeune Pascal ne tarda pas à s'asseoir parmi ces hommes distingués par leur savoir et leurs vertus, moins comme un écolier dont on accueille avec intérêt les heureuses dispositions que comme un maitre dont on reçoit les avis. On sait que cette société intime, qui avait des relations et des correspondances avec tous les savans de l'Europe fut le berceau de l’Académie des sciences.

Le père de Pascal, qui s’occupait beaucoup de mathématiques , n'avait point cru devoir initier son fils à l'étude de ces hautes sciences avant qu’il eùt acquis des connaissances générales qu’il jugeait d’une utilité plus indispensable à son âge. On assure néanmoins que le jeune Pascal âgé de douze ans, sans autre guide que son intelligence et le penchant qui l'entrainait vers l’étude

que luiavaitinterdite momentanément la prudence peutêtre exagérée de son père, parvint à se créer une géométrie en donvant aux figures qu'il traçait des définitions particulières, mais qui exprimait naïvement ses idées. Ainsi pour lui les lignes étaient des barres et les cercles des ronds , et tel est l’enchaîinement logique et nécessaire des premières vérités géométriques que le jeune Pascal parvint à découvrir, en suivant leur progression , la trente - deuxième proposition d'Euclide, c'est-à-dire que la somme des trois angles d'un triangle est égale à deux droits. Les témoignages les plus honcrables ont attesté la réalité de ce faitqui paraïîtrait moins inconcevable si l'on réfléchissait à l'influence que les conversationsdes amis deson père avaient dü exercer sur l'intelligence , d'ailleurs si supérieure , de Pascal. Cette particularité historique , dont il est difficile de vérifier l'exactitude , puisque Pascal n’a pas jugé à propos de nous révéler plus tard le procédé qu’il employa , nous inspire du moins une réflexion qui ne paraîtra point déplacée ici. C'est que tout système absolu d'éducation est vicieux. On ne peut guère diriger que des intelligences ordinaires, mais on doit laisser leur libre spontanéité aux intelligences qui révèlent de bonne heure leurs sympathies et leurs tendances. Il n’y a aucune raison pour appliquer la raison précoce d’un enfant à un objet du savoir plutôt qu’à un autre, etil ÿ a beaucoup de danger à contrarier des dispositions dominantes, exclusives dans un jeune esprit. La sollicitude du père et du maître doit moins s'attacher à suivre un plan systématique d'instruction qu’à reconnaitre ces dispositions énergiques, dans lesquelles se trouve l'avenir d’un enfant.

Quoi qu’il en soitle père de Pascal, dit madame Périer sa sœur , à qui nous devons une histoire de sa vie, fut épouvanté de la pénétration de son fils et il eut du moins la sagesse de renoncer aussitôt au plan d'éducation qu’il s'était tracé pour lui. Dès cemoment le jeune Pascal putselivrerautrement que das la solitude deson génie à l'étude des mathématiques, et bientôtil fut admis dans la société dont nous avons parlé et consulté sur tous les objets qui s’y traitaient. A l’âge de seize ans , dit Montucla , il composa un traité des coniques où tout ce qu’Apollonius avait démontré était élégamment déduit d’une seule proposition générale. Mersenne parle avec éloge de ce traité dans son //armonia universalis , et Descartes ne pouvant croire qu'il fût l'œuvre d’un enfant de seize ans l’attribua à Pascal père où à Désargues. L'opinion de ce grand homme n’était peut-être pas dénuée de fondement. Néanmoins c'est à peu près de cette époque que datent les travaux scientifiques de Pascal , dont nous devons nous occuper exclusivement en négligeant les particularités biographiques de sa vie qui ne s’y rattachent pas d’une manière intime.

La machine arithmétique est, dans l'ordre chronologi- » 6

que, la première production importante du génie de Pascal. Son père, quiavaitété nomméintendant de Rouen, lui faisait faire tous les calculs qu’exigeaient les opérations dont il était chargé. Ces calculs ne pouvaient être fort compliqués, mais ils suggérèrent à Pascal l'idée de soulager les calculateurs qui viendraient après lui, etilse livra à la construction de sa machine avec une persévérance et une ténacité auxquelles on attribue l'état de santé malheureux dans lequelil vécut depuis. [l'est probable, en effet, que les recherches fatigantes auxquelles il dut se livrer dans l'âge où le corps acquiert ses développemens , contrarièrent la nature et altérèreut sensiblement sa constitution. Sons le double rapport decette triste conséquence et du pea d'utilité et d'importance de la machine arithmétique, on doit regretter que Pascal ait employé à cette invention un temps si précieux dans sa vice.

Le triangle arithmetique que Pascal fit connaître en 1654 mérite une plus sérieuse attention. Pascal y fut amené par le désir de donner la solution de quelques problèmes sur les jeux de hasord , qui lui avaient été soumis. Les nombreuses applications auxquelles cette combinaison arithmétique se prêtait, inspirèrent à Pascal de nouvelles recherches sur la théorie des jeux, qu’on peut regarder comme les premiers fondemens du calcul des probabilités, devenu une branche importante de la science desnombres entre les mains des grands géomètres qui l'ont étendu et perfectionné après Pascal. (Foy. ProBArILITÉS. )

Pascal avait adressé en 1654, à la Société dont il faisait partie et qu'il appelait l'Académie des mathématiques, une nombreuse série d'ouvrages mathématiques qu'il méditait et dout il vous serait inutile de rappeler ici les titres, d'autant plus que des événemens douloureux ne lui permirent pas de réaliser les espérances qu'il donnait alors à ses amis. Cette nomenclature rapportéeavecsoin par tousles biographes de Pascal prouve seulement que presque toutes les branches de la science étaient devenues l'objet de ses méditations. Mais à cette époque, onsaitqu'entrainé par des chevaux fougueux, il fat sur le point de perdre la vie dans la Seine ou sa voiture fut entrainée et que cet accident acheva de ruiner sa santé déja si délicate. Il cessa long-temps de s’occuperdes mathématiques etses liaisonsavec Port-Royal autant que les dispositions d'esprit dans lesquelles le plaçaient ses habitudes de dévotion, le firent lutter dans la querelle du jansénisme et du molinisme dont on a beaucoup trop parlé. Quoique tous les écrits publiés par Pascal sur les matières théologiques qu'il eut alors à traiter Jui aient acquis la plus brillante renommée , nous n'hésiterons point à dire que la vérité n'était nullement

intéressée dans cette discussion puérile malgré son ca-

ractère religieux, et qu'on doit gémir de l'entrainement

qui arracha Pascal à la scieuce pour le jeter dans cette polémique qui serait oubliée depuis long-temps sil s'était venu lui prêter lap;ui de son éloquence.

Ce fut néanmoins vers la fin de sa vie et lorsque déjà il était en proie à toutes les souffrances qui en avancèrent le cours qu'il s’occupa du problème dela cycloide, qui eut trop de célébrité et dont l'histoire est trop connue pour que nous la rappelions ici. (Foy.CxcLoïne.) Après avoir proposé aux géomètres , sous le nom de Dettouville , la solution de divers problèmes relatifs à cette courbe que Mersenne avait connue et désignée sous le nom de roulette sans énoncer aucune de ses propriétés, Pascal publia son Arstoire de lu routette appelce autrement trochoide ou cycloïde. Cet ouvrage fort remarquable produisit une grande sensation parmi les géomètres du temps, mais les admirateurs enthousiastes de Pascal + chercheraient vainement les élémens du cal cul différentiel qui ne sont pas plus dans cette productiou célèbre que dans lathéorie desmaxima et minima de Fermat.

On sait que la physique doit à Pascal la fameuse expérience du Puy-de-Dôme , qui constata la théorie sur la pesanteur de l'air émise par Toricelli, Il faut ajonter que Descartes a réclamé dans une lettre la priorité de l'idée de cette expérience qui a été décisive en ruinant le vieux principe de la philosophie de l’école sur la prétendue horreur de la nature pour le vide, et qu: a eu plusieurs conséquences heureuses pour les progrès de la science.

La philosophie de Pascal qui n’a aucun caractère systématique est entièrement développée dans le célèbre et beau livre des pensées ,où l'on trouve malheureusement quelques idées sur la vanité des sciences peu conformes à la raison et peu dignes aujourd'hui d’un examensérieux.

Commenous l'avons fait pour les grands hommes dont nous avons rapidement rappelé les titres à l'admiration du monde , nous n'avons pu énoncer ici que les principaux travaux de Pascal, On peut voir maintenant que si le génie de cet homme célèbre fat remarquable, il est loin cependant de s'être élevé à la possession complète d'une de ces grandes découvertes qui font époque dans l'humanité et dans l'histoire dela science. Pascal cessa de vivre le 19 août 1662. Voici le texte des écrits scienüfiques qu'il a publiés, nous omettrons néanmoins ceux qui tenaient toute leur importance des circonstances au milieu desquelles ils parurent. 1. Essai pour les coniques, 1640. 1. Traité du triangle arithmétique. WI. Traité des ordres numeriques er De numericis ordini-

bus tractatus; réunis in-4°, Paris, 1665, IV. Problemata

de cyeloide proposita mense junii, 1658. V. Histoire de la roulette, etc. VX. Propriété du cercle, de la sp'rale et de la parabole. VX. Nouvelles expériences touchant le vide, 1647. VIE. Traité de l'équilibre des liqueurs, suivi du Traité de la pesanteur de la masse de l'air. Voxez, pour les autres travaux de Pascal qui sont en graud nombre, les recueils bibliographiqueset le: diver-

ses biographies de cet illustre écrivain.

PASSAGES sur Le soleil. (Ast.) Les planètes dites inférieures (07. PLaxÈre.), Mercure et Véuus, dont les orbites sont renfermées dans celles de la terre, doivent, dans certaines circonstances , nous présenter un phénomène analogue à celui des éclipses du soleil par la lune, c’est-à-dire qu’elles doivent nous cacher momentanément une partie du disque du soleil. C’est ce phénomène auquel on a donné le nom de passage sur le soleil, parce que la planète nous apparaît alors comme une petite tache qui traverse le disque solaire.

Les passages de Mercure et de Vénus se calculent à peu près comme les éclipses; on voit aisément qu'ils ne peuvent avoir lieu que lorsque ces planètes sont en conjonction avec le soleil, et que de plus elles se trouvent très près de leurs nœuds, ou dans l'écliptique, ear si Jeur latitude surpasse le demi-diamètre du soleil, elles passent à côté de cstastre, et il ne peut y avoir d'éclipse ou de passage sur le soleil.

Keppler est le premier qui ait annoncé les époques des passages , mais ses tables n'avaient point encore un degré suffisant d’exactitude pour rendre ses prédictions certaines , et il en est quelques-unes qui ne se sont pas vérifiées. C'est à Halley qu'on doit la théorie complète

de ces phénomènes ; ce grand géomètre , en indiquant . ?

les passages de Vénus qui devaient avoir lieu er 1561 et en 1569, eut encore la gloire d'apprendre aux astronomes ies conséquences qu’ils en pourraient tirer pour la détermination de la parallaxe du soleil. Quoiqu’un homme comme Halley appartienne à humanité tout entière, nous devons rappeler ici, qu’à cette occasion il pria la postérité de ne point oublier que c'était un anglais qui avait eu cette idée. Nous allons faire comprendre la haute importance du procédé ingénieux

qu'il a trouvé.

Lorsque Vénus nasse entre la terre et le soleil, et se projette eur le disque de cet astre avec l'apparence d'une tache noire, son mouvement propre, combiné avec le mouvement apparent du soleil lui fait décrire, sur le disque solaire une ligne droite qui semble une corde de la circonférence de ce disque. Cette corde u’est pas la même observée de différens points de la terre, car, à cause de la parallaxe de Vénus, les divers observateurs ne rapportent pas la planète aux mêmes. points du disque du soleil, et conséquemment la corde

parcourue paraît d'autant plus grande qu’elle est plus près du centre.

Soit en effet, la terre en T (PI. 50, fig. 2), le soleil en S et Véuus en V; du centre de la terre on verrait Vénus en v, sur le prolongement du rayon vecteur TV, et cette plauète dans ses positions successives paraîtrait décrire la ligne avb; mais des points o et o', dela surface terrestre, on verrait Vénus en v'et env”, et elle pa-

raîtrait décrire les cordes a'v'b', a”v'b". Ces cordes étant inégales seront décrites dans des durées différentes, et couséquemment la durée d’un passage observé d'un lieu terrestre o ne sera point égale à la durée du même passage observé d'un autre lieu 0’. Mais cette différence tient à la différence qui existe entre la parallaxe du soleil et celle de Vénus, donc on pourra conclure cette dernière différence de la première.

D'un autre côté, par la ibéorie des mouvemens elliptiques, on connaît, pour l'époque des observations, les rapports des distances de Vénus et du soleil à la terre, et comme ces rapports donnent, en les renversant, ceux des parallaxes (voy.ce mot), il devient facile de déterminer les deux parallaxes, car désignons par 72 la distance de la terre au soleil, par » celle de la terre à Vénus. par p la parallaxe du soleil, et par 7 celle de Vénus, nous aurons

min ir :p; d’cù nous tirerons M—NInIiT—-pPip;, mais la différence 7 — p des parallaxes est donnée par le résultat des observations : ainsi en désignant cette

quantité connue par 4, nous avons définitivement

PAS et par suite