A AO IE

do NOËL

a étant le sinus verse de la moitié de l'arc d’oscillation.

Eo prenant pour unité le temps d’une oscillation infiniment petite, qui est toujours le même, les accroissemens de durée seront :

Pour un arc de 60°, de 0,01675 1 À

on voit que pour un arc de ° la différence est à peine sensible. Au dessous de 5°, l'arc circulaire est le même que l'arc de cycloïde et la formule (d) se réduit à (a). Nous verrons aux mots PEsanTeur ct Terre quelques applications de la théorie du pendule.

PENDULE BALISTIQUE. (Foy. BaLiSTiQUE.)

PENOMBRE. (Op.) On donne ce nom à l'ombre faible qui entoure l’ombre parfaitement noire projetée par un corps qui intercepte les rayons lumineux. (Foy. Ombre.

PENTADÉCAGONE. (Géom.)(Voy.QuixnÉcaGonr.)

PENTAGONE. (Géom.) Figure terminée par cinq lignes droites,et par conséquent composée de cinqangles et de cinq côtés. Lorsque les angles sont égaux entre eux, ainsi que les côtés, le pentagone est dit régulier.

La propriété la plus remarquable des pentagones reguliers, c’est que le carré de leur côté est égal à ja somme du carré du rayon du cercle circonscrit et du carré du côté du décagone inscrit dans le même cercle. En effet, soit ABCDE (PI. 50, fig. 5), un pentagone inscrit dans un cercle , si nous partageons l'arc AGB en deux parties égales AG, GB , et que nous menions les cordes GB et AG, ces cordes seront les côtés du décagone inscrit; menons de plus les rayons OA , OB, OG: l'angle au centre AOB sera égal aux quatre cinquièmes d’un angle droit, et par suite chacun des angles OAB, OBA à la base du triangle AOB sera égal aux trois cinquièmes d'un angle droit.

Partageons l'angle GOB en deux parties égales par la |

droite OH et menons Gr. Nous aurons deux triangles

isocèles semblables GB et AGB qui nous donneront

Br : GB :: GB : AB,

d’où GB — Bm X AB.

D'autre part le triangle AOm est isocèle, car l’angle AOmn est égal aux trois cinquièmes d’un angle droit et conséquemment égal à l'angle OAB ou OA, donc

aussi ce triangle est semblable au triangle isocèle AOB qui a Les mêmes angles à la base, et l’on en tire

Am : AO :: AO : AB,

d’où

AO — Am X AB,

ajoutant cette égalité à la précédente, nous aurons

GÈ — AO — Bm X AB + An X AB — (Ami+-Br) X AB = AB, ce qui est le théorème énoncé.

Cette propriété fournit un moyen facile d'inscrire un pentagone régulier dans un cercle donné. Sur le diamètre AB (PI. 50, fig. 8) du cercle, ayant d’abord élevé du centre la perpendiculaire DC, on déterminera le

point F milieu du rayon DB, puis de ce point comme :

centre avec la distance CF, comme rayon, on décrira l'arc CE, la corde de cet arc sera le côté du pentagone. En effet, si du point F comme centre avec FD, comme rayon, nous décrivons l'arc DG, CG sera la plus grande partie du rayon partagé en moyenne et extréme raison, c’est-à-dire le côté du décagone inscrit ; mais CG = ED, ainsi EC, dont le carré, par la propriété du triangle rectangle, est égal à la somme des carrés de ED et de CD, ou à la somme des carrés du côté du décagone et du carré du rayon, est le côté cherché du pentagone.

S'il s'agissait de décrire un pentagone régulier sur une droite donnée, à l'extrémité de cette droite AB (PI. 50, fig. 9), on élèverait une perpendiculaire BC égale à sa moitié, puis on mènerait AC, qu’on prolongerait en D, en faisant CD — BC; de A et de B comme centres avec la distance BD , comme rayon, on décrirait des arcs de cercle qui se couperaient en O, et de ce point avecle rayon AO ou BO, on décrirait un cercle sur la circonférence duquel il ne faudrait plus que porter cinq fois le côté AB pour décrire le pentagone demandé.

En prenant pour unité le rayon du cercle circonscrit la surface du pentagone régulier a pour expression

PERCUSSION. (/ec.) Action d’un corps qui en

PE frappe un autre. Nous avons donné les lois générales de la percussion au mot Cuoc.

Percussion des fluides. (Voy. Résisrance.)

Centre DE PERCUSSION, (W’oy. CENTRE.)

PÉRIGÉE. (4st.) Point de l'orbite du soleil et de la lune, où ces astres sont le plus près de la terre; c’est

l'opposé d’apogce. (Foy. ce mot.)

PÉRIHÉLIE. (454) Point de l'orbite d’une planète où elle est le plus près du soleil. (Foy. APnéLiE.)

PERUOVE. (4st.) Nom donné par quelques astronomes au point de la plus petite distance des satellites de Jupiter à cette planète, ou à l’abside supérieure de

leurs orbites.

PÉRIMÈTRE. (Géom.) C'est le contour ou l’étendue qui termine une figure ou un corps.

Les périmètres des surfaces sont des lignes ; ceux des solides sont des surfaces. Quand les surfaces sont circulaires , le périmètre prend le nom de périphérie ou de

circonfcrence.

PÉRIODE. (454.) Espace de temps qu’une planète ou un satellite met à faire sa révolution entière dans son orbite. (Woy. PLANETE.)

Pénione , en chronologie | désigne un intervalle de temps par lequel les années sont comptées. (Foy. Ero- QUE.)

PÉRIODE DYONISIENNE Où VICTORIENNE. Elle est formée par le proûuit de 28 et de 19, ou des cycles solaire et lunaire; c’est un intervalle de 532 ans qui ramène les nouvelles lunes et la fête de Pâques au même jour de l’année julienne. Ses dénominations lui viennent de ce qu’elle à été proposée par Victorius, et que Denys-le- Petit s’en est servi plus tard. Elle n'est plus d'aucun usage.

PÉwIODE JuLIENNE. Espace de 7989 ans, pendant lequel il ne peut se trouver deux années qui aient les mêmes nombres pour les trois cycles solaire , lunaire et d’indiction. Elle est composée du produit de ces cycles ou de celui des nombres 28, 19 et 15.

Cette période a été proposée, en 1583 , par Scaliger, comme une mesure universelle en chronologie ; elle est aujourd'hui très-employée, La première année de l'ère chrétienne répond à l’année 4713 de la période julienne, ainsi pour trouver à quelle année de cette période correspond une année proposée, il suffit de lui ajouter 4713. C'est ainsi que l’on trouve que la présente année 1536, est l'année 6549 de la période julienne.

PÉRIODE CALDÉENNE. C’est la fameuse période de 18 ans et 10 jours qui ramène les éclipses de soleil et de lune dans le même ordre. (7oy. Ecrrrses, 30.)

Pémops, Luni-solaire de Louis-le-Grand. Cycle de

PE 291 11600 ans qui ramène les nouvelles lunes au même jour et presqu’à la même heure de l’année grégorienne.Cette période a été proposée par Cassini dans ses règles de l'astronomie indienne.

Il existe encore plusieurs autres périodes qui ont eu quelque célébrité, mais les progrès de l’astronomie, en les rendant inutiles, les ont fait oublier. On peut consulter sur ce sujet l’art de vérifier les dates.

PÉRIODIQUE. Epithète que l’on donne à tout mouvement, cours ou révolution qui s'exécute d’une manière régulière, en recommençant toujours la même période. Par exemple, le mouvement périodique de la lune est celui par lequel elle accomplit sa révolution autour de la terre dans l’espace d’un mois lunaire.

En arithmétique, on nomme FRaGTiONs PÉRIODIQUES les fractions décimales qui sont composées par la répétition à l'infini d’une période de mêmes chiffres, comme

0, 555555535555.... à l'infini.

0, 34 34 34 34 34 34.... à l'infini. 0, 728 758 758 758..... à l'infini.

On tombe sur de semblables fractions lorsqu'on veut réduire en fraction décimale une fraction ordinaire dort le dénominateur contient des facteurs autres que 2 et 5, seuls nombres commensurables avec 10. Pour se rendre compte de cette circonstance, il ne faut que se rappeler le procédé de réduction donné au mot Dicrmar.

N ., ; ; Eau effet, M étant une fraction réduite à sa plus simple

expression , c'est-à-dire telle que ses deux termes N et M w’ont aucun facteur commun, pour trouver les chiffres décimaux on multiplie N par une puissance # de 10 capable de rendre N.10# divisible par M; si la division peut s'effectuer exactement, on a une fraction décimale sous une forme finie égale à la fraction proposée; c'est ainsi, par exemple, que

s devient DC = 17), d’où e FA

4 nt 4 100

Mais si, quelque grand que l’on prenne p, la division

de N.10 par M ne peut s'effectuer exactement, l'opération peut se prolonger à l'infini, et l’on a une fraction décimale d’un nombre indéfini de chiffres, laquelle est toujours périodique , comme nous allons le voir. Lorsque le dénominateur M est de la forme 2,5", ou ne renferme pas d’autres facteurs que 2 et 5, on peut toujours prendre y assez grand pour que 104, et, par conséquent N.10# soit exactement divisible par 2m5n, car 104 = 2/52 ; ainsi en faisant seulement x égal

au plus grand des exposans met n.

devient un nombre entier,savoir Gun sim >n et 2,

sin —m, on a donc dans le premier cas

N.ro" e N N.5n—u NN +10 N,5m-", d'où — = - 2,51 on, ha 107?

et dans le second N.107 : N N,ou—-m — — N.2r—", d'où = —.—, 2m L NL a"t,)!t 1 07

d’où il suit que la fraction décimale a toujours un nombre fini de chiffres.

Lorsqu’au contraire, le dénominateur renferme d’autres nombres premiers que 2 et 5, on peut lui douner la forme

pos 5" ,

p étant un nombre premier, ou plus généralement y étant le produit de tous les nombres premiers autres que 2 et 5 qui entrent daus ce dénominateur ; et il devient évident que N.10/ ne peut jamais devenir exactement divisible par p.2"*.5" quel que soit # puisque N n'est point divisible par p. Cependant, quoique la division de N.10/ par p.2".5", où celle de N par M, puisse alors se prolonger à l'infini en donnant à # des valeurs de plus en plus grandes ou, ce qui est la mème chose, eu ajoutant des zéros à chaque reste successif , ces restes successifs ne peuvent admettre que N—1, valeurs différentes, car ils ne peuvent être que 7,2, 3,4, etces.s. N—t. Ainsi, dans le cours de N divisions, on retombera nécessairement sur un des restes déjà trouvé, et en partant de ce reste, on reproduira les mêmes décimales au quotient, jusqu'à ce qu'on retrouve une seconde fois le même reste, et ainsi de suite à l'infini. La fraction décimale formée par une telle division indéfinie sera donc une fraction périodique. On nomme fractions périodiques simples où compo sées , celles dont la période commence immédiatement après la virgule où au premier chiffre décimal. Les fractions périodiques simples sont celles dont la période

n’a qu’un seul chiffre, comme

sur se s'UCe

+ etc:

Les fractions périodiques composces sont celles dont la

période a plusieurs chiffres, comme

0, 37 37 37 37 37 37--.-..-elc.

0, 7954 7094 7054-.-......€tc.

On nomme fractions périodiques mixtes, les fractions périodiques dans lesquelles la période ne commence à se manifester qu'après plusieurs chiffres décimaux ;

comme

Parmi toutes les questions qu'on peut se proposer sur les fractions périodiques, la plus hnportante est celle de retrouver les fractions ordinaires qui leur donnent naissance. Cette question fait connaitre une propriété uès remarquable du nombre get des nombres composés de ce chiffre tels que 99, 999, 9999, etc. C'eit qu'en divisant une quantité quelconque par un quelconque de ces nombres, plus grand qu'elle, on produit une fraction périodique, dont la période a ioujours le méme nombre de chiffres que le diviseur. De plus, cette période est formée de la quantité divisée elle-même, précédée s'il est nécessaire , d’un nombre suffisant de

zéros pour la compléter. Par exemple :

= O0, 9299999999)... etc.

p> Ù Fr e F = — 0, 0 05 05 09 00......€lc.

5 RTE 7 — 0, 005 005 005 0095.....C0tc:

etc. etc.

7) EL =o,35757 15-75 75:::...etc.

: À J À 4 4 1 A ñ ñ h 5 —<- — 0, 099 079 079 072 0 Se se ELC:

099 CA 1 7 Î 7 etc. etc.

Eu esaminant les nombres formés du chiffre 9, on

recounait que

9 = 10 — ll 09 —: 107 —"1 999 — 10? VI etc. — etc.

d'où l'on voit que la forme générale de ces nombres est 104 -— 1. Ainsi on peut démontrer Ja propriété de ces nombres, en observant que N étant un nombre quelconque, etr1o/—1un nombre plus grand , on à

N TEE — N.(1o/—1)—1 c'est-à dire N N N N

N ARRET + etc.

car, il résulte de cette décomposition une suite infinie,

ë . Ja répétition d’une même péri d ei composée par la répétition e mè période =

laquelle, écrite sans dénominateur, comme c’est l’usage pour Îles fractions décimales, est simplement N, ou oN, ou ooN , selon que N est composé de x, où deu—1;

ou de # — 2, cluffres, etc.

PE D'après cette génération des fractions périodiques, pour les ramener aux fractions ordinaires . il suffit de preudre la période pour numérateur, ct de lui douner pour dénominateur un nombre composé d'autant de chiffres o qu'il y a de chiffres dans la période. C'est de

cette manière qu’on trouve que la fraction périodique

0, 714285 514265 714285 ...etc.

est égale à la fraction ordiuaire

qui se réduit à

Ce qui précède est suffisant pour transformer toute Jraction périodique mixte en fraction ordinaire, car en examinant d’abord le cas le plus simple, celui où les chiffres qui précèdent la période sont tous des zéros, et en prenant pour exemple

0, 000 52 52 52 52 52..,.etc.

ilest évident qu'en avançant suffisamment la virgule ,

on ramène cette fraction à une fraction composée

0, 52 52 5259/9959 594. etc:

; , 11002 : ne :

qui est égale à — ; mais en avançant ici la virgule de quatre rangs on a rendu la proposée dix mille fois LE