PERMUTATION

fait dans les partics d’un méme tout pour obtenir les

(4lg.) Transposition que l’on

divers arrangemens dont elles sont susceptibles. Par exemple, un groupe de lettres tel que abcd, étant donné, en faisant varier les positions primitives de ces

leitres comme il suit abdce, adbc, bacd, cabd, etc.

ces nouveaux groupes seront les permutations du premier.

La théorie des permutations trouvant de nombreuses applications dans la science des nombres, nous allons exposer ses principes généraux.

Une seule lettre a ne peut avoir qu’un seul arrangement, mais deux lettres a et b admettent deux arrangemens différens ou deux permutations, puisqu'on peut placer à avant ou après b, ce qui donne

ab, ba

Pour trouver tous les groupes de permutations dont trois lettres a, b, c sont susceptibles, on place successivement devant chacune d'elles les nermutations des deux autres, ainsi qu'il suit

a lbe, cb} b{ac, ca}

e {ab, ba}

294 PE et en réunissant ensuite chaque lettre aux groupes correspondans, on a les six permutations

abc, acb, bac, bca, cab, cha:

Le nombre des permutations de 3 lettres est donc égal à 3 fois celui des permutations de 2 lettres, ou égal 3 52

Les groupes des permutations des quatre lettres 4, b,e, dse forment de la même manière en plaçant devant chacune de ces lettres les permutations des trois autres de la manière suivante

a { bed, bdce, cbd, cdb, dbc, deb} b |acd,adc, cad, cda, dac, dca\ c |abd, adb,l'ad, bda, dab, dba} d {abc, acb, bac, bca, cab, cha} ce qui donne, en réunissant chaque lettre aux groupes correspondans, les 24 permutations abcd, abde, acbd, acdb, adbc, adcb bacd, bade, bcad, beda, bdac, bdca cabd, cadb, chad, chda, cdab, cdba dabc, dacb, dbac, dbca, deab, dcba Le nombre des permutations de 4 lettres est donc égal à 4 fois celui de 3 lettres ou à 4 X 3 X 2.

Comme, en général, pour former tous les groupes dés permutations de 72 leitres, il faut placer devant chacune d’elles les permutations des »—1 autres, il devient évident que le xombre des permutations de m2 lettres est égal à 2 fois celui des permutations de 772—1 lettres. Ainsi désignant généralement par Pr le nombre des permutations de 72 lettres, nous avons

Ph Ps = (ra—3) PP;