PF

Pi (n1—9) Pn-3

etc.

etc. , Pn-n = (mr) Prin:

et, en substituant chacune de ces valeurs dans celle qui le précède Ph = om (m3) (m—2)...(mn) Pn-n:

ou (a) Pam (m—i) (m—2)..., 3.2.1 en faisant h = m1; d'où Pur: = Prin: = Pi; 1 Si l’on demandait par exemple le nombre des per-

mutations de 8 lettres, on ferait m = 8, et la formuie (a) donnerait

Ce qui précède suppose que toutes les lettres sont différentes, car si l’une d'elles devait être répétée plusieurs fois, le nombre des permutations diminuerait, car un froupe aa n'ayant point de permutation, trois lettres a, a, b qui en admettraient six si elles étaient différentes, n’en ont plus que trois aab , aba, baa.

Il faut considérer en général que si sur 72 lettres, une se trouve n fois, les changemens de place de ces x lettres entre elles n’apportent aucun changement dans les groupes où elles se trouvent, tandis qu’en les supposaut toutes différentes, chacun de ces groupes se trouverait fournir autant de permutations différentes que » lettres peuvent en admettre, Ainsi pour avoir le nombre total des permutations de »2 lettres dont 7 soit la même, il faut diviser le nombre total des permutations de 72 lettres par celui de » lettres ; on a donc pour ce nombre l’expression

ou simplement

ali

pit en nous sérvant de la notation des factorielles. (Joy. ce mot.)

Si les »72—n autres lettres étaient les mêmes, il faudrair encore diviser l’expression ci-dessus par le nombre des permutations de 72 —n lettres, car tous les groupes qui différaient entre eux par les arrangemens de ces »m—n lettres deviennent identiques et se réduisent à un seul. Donc

nil, quil

est l'expression générale du nombre des permutations d’un assemblage composé de deux lettres dont lune se trouve répétée n fois et l’autre »3—n fois. C’est sur cette expression qu'est fondée la démonstration que nous avons donnée du Binome de Newton (voy ce mot ).

Où peut aisément conclure que le nombre des permutations d’uu assemblage de 72 lettres, dont une première entre 72 fois dans l'assemblage, une seconde o fois, une troisième p fois, une quatrième g fois etc., est égal à

qali

aelr,1o0lt.1211,19ltetc.

me étant n + 0 p + g+ etc.

L'accroissement très-rapide du nombre des permutations, lorsque celui des objets augmente , a donné naissance à un problème curieux de probabilités; on s’est demandé si depuis que l’on joue au jeu de cart

PE

nommé le piquet, tous les arrangemens possibles des 32 cartes avaient pu se présenter, Comme les 32 cartes sont toutes différentes, le nombre de leurs permutations ou de leurs arrangemens différens, est 13211 —

Ainsi en supposant que deux rrilliards ou deux mille rullions de joueurs jouassent {oo coups de piquet par jour, et en admettant en outre qu'aucun arrangement pese reproduise , il leur faudrait plus de dix-huit mille milliards de millions de siècle pour épuiser toutes les permutations possibles des 32 cartes.

PERPENDICULAIRE. (Gcom.) Ligne droite qui en rencontre une autre de manière à former avec cette dernière des angles droits. (Foy. Nor. pré. 31.)

Deux lignes droites qui se coupent n’ont.que deux relations possibles : elles sont ou obliques où perpendiculaires l’une par rapport à l’autre. Ces deux relations fournissent plusicurs théorèmes fondamentaux de la géométrie élémentaire que nous allons exposer.

1. De toutes les lignes droites que l’on peut mener d'un point à une droite , la perpendiculaire est la plus courte.

Soient AB la droite donnée et C le point. (PI. 50, fig. 11.) De ce point abaissons la perpendiculaire CD et menons une oblique quelconque CE. Le triangle ECD étant rectangle en D, l'angle CED est plus petit que l’angle CDE, et conséquemment le côté EC est plus grand que le côté CD. (Foy. Triance.) Comme ou peut en dire autant de toute autre oblique, il en résulte que la perpendiculaire est la plus courte de toutes les lignes que l'on peut mener d’un point à un autre, aussi sert-elle à mesurer la distance du point à la ligne.

2. De deux obliques qui partent du même point d'une perpendiculaire, celle qui s’écarte le plus de son pied est la plus longue.

Considérons les deux obliques CE, CF (méme fig.) ; nous avons CF => CE, car l'angle FEC extérieur par rapport au triangle rectangle CED est plus grand qu’un angle droit, tandis que l’angle CFE intérieur au triangle rectangle FDC est plus petit qu’un angle droit; donc dans le triangle ECF le côté CF est opposé à un plus grand angle que le côté CE.

3. D'un point pris hors d'une droite on ne peut lu mener que deux obliques égales, l'une d'un côté et l'autre de l’autre.

Car une troisième oblique serait plus ou moins écartée du pied de la perpendiculaire, et serait conséquemment plus ou moins longue.

4. Deux obliques égales s’écartent également du pied de la perpendiculaire. C'est une conséquence de ce qui précède, car on ne peut supposer le contraire sans tomber dans des contradictions.

5. 82 une droite est perpendiculaire sur le milieu d'une autre droite, tous ses points sont à égales distances des deux extrémités de cette autre.

En effet, si d'un point quelconque de la perpendiculaire on mène une oblique à chacune des extrémités de la droite, ces obliques seront également écartées du pied de la perpendiculaire et seront conséquemment égales, donc ce point de la perpendiculaire, et l’on peut en dire autant de tous les autres , est également distant des deux extrémités de la droite.

6. Comme deux points suffisent pour déterminer la position d’une droite, il résulte de la proposition précédente que pour élever nne perperdiculaire sur le milieu d'une ligne donnée, il suffit de déterminer deux points également distans des extrémités de cette ligne; ce qui s'exécute de la manière suivante. Soit AB (PI. 5o fig. 12) la droite donnée, du point A, comme centre, avec un rayon plus grand que la moitié de AB on décrira au-dessus et au-dessous de cette ligne deux ares de cercle, puis du point B avec le même rayon on décrira deux autres arcs de cercles, coupant les premiers aux points C et D. Ces points étant par cette construction également distans de À et de B, la droite CD qu'on fera passer par ces points sera perpendiculaire sur le milieu de AB, On peut employer la même construction pour diviser une droite en deux parties égales.

Si la droite donnée était située de telle manière qu'on ne püt décrire des arcs de cercle au-dessus et au dessous, après avoir décrit les arcs qui se coupent en C, on changerait de rayon, et de A et de B avec une autre ouverture de compas on décrirait les arcs qui se coupent en D’. Les points C et D’ détermineraient aussi la position de la perpendiculaire.

7. S'il s'agissait de mener à une droite une perpendiculaire d’un point donné D (P]. 5o fig. 13) on tirerait d'une manière quelconque l’oblique DC, puis du milieu F de cette oblique on décrirait avec sa moitié comme rayon le demi-cercle CED. En joignant les points E, D, on aurait la perpendiculaire demandée. Eu effet, d’après la propriété du cercle (voy. ANGLE 19) l'angle CED est droit.

8. La construction précédente peut servir pour élever une perpendiculaire à l'extrémité d’une droite donnée, car en supposant le point E être cette extrémité, il suffit de prendre à volonté un point F et avec la distance EF de décrire un cercle, Du point C où le cercle coupe la droite on mène le diamètre CD, ce qui détermine le second point D de la perpendiculaire.

Une droite est dite perpendiculaire à un plan lorsqu'elle est perpendiculaire à toutes les droites que l'on peut mener dans ce plan du point où elle le rencontre.

Un plan est perpendiculaire à un autre plan, quand une droite, menée dans l’un des plans, perpendiculaire à leur commune section, est perpendiculaire à l'autre plan.

Dans la Théorie des courbes, la perpendiculaire à la tangente d’un des points d’une courbe se nomme perpendiculaire à la courbe où normale. Cette dernière dénomination est la plus en usage (Foy. Sous-xor-