DP : OP :: AH : HO

Égalant les deux valeurs de HO , on a l'équation

LA FT dx

qui devient,"en faisant disparaitre les dénominateurs ,

me UE nu

drt 3 =0»

dr—bt—fr b —A,

ce qui donne , en faisant pour abréger

connaissant ainsi æ ou PE, on aura PD etensuite PF, puisque PF = HO Æ HF -— OP; on connaîtra donc la distance du point de vue P du tableau, au point F du devant de la scène , par où le plan vertical doit passer.

56. Quant à la position de l’œil et à sa hauteur, nous devons remarquer que dans les tableaux ordinaires , destinés à parer un appartement, il est à propos de supposer l'œil élevé de 7 à 8 pieds au-dessus du terrain ou plan géométral, excepté lorsqu'on a un grand nombre d'objets à représenter sur un terrain, comme serait le tableau d’un jardin; car alors il est nécessaire d'élever l’œil de sorte que les parties ne soient pas trop dégradées par la perspective et qu’on puisse les distinguer sans confusion. Ces sortes de perspectives se nomment & vue d'oiseau.

Ainsi on ne doit s’astreindre à placer l'œil à la hauteur ordinaire d’un homme comme de 5 pieds à 5 pieds ; » que dans les perspectives qui sont faites pour être vues de très loin , et pour paraître une continuation du terrain sur lequel le spectateur est placé. Telle serait un bout de galerie alongée par un tableau de perspecüve, ou un tableau mis au fond d'un jardin. Dans les perspectives de décorations de théâtre , on doit supposer l'œil placé vers le milicu de l'amphithéätre, et à la

hauteur de trois ou quatre pieds au-dessus du niveau de cet amphithéitre , afin que le terrain mis en perspective paraisse une continuation non interrompue du parquet du théâtre.

57. La longueur du rayon principal doit être aussi choisie de manière que les perspectives des objets n'aient pas leurs parties trop raccourcies et trop défigurées. Lorsque le tableau ne doit pas être vu de loin et qu’il n’est pas assujéti à une certaine place fixe, on peut se servir de cette règle : le rayon principal ne doit pas étre plus court que la moitié de la diagonale du tableau, ni plus long que cette diagonale , lorsqu'on veut que tous les traits des principaux objets soient finis. Mais dans les grandes perspectives, comme dans celles des décorations de théâtre, qu’on doit supposer hors de la portée ordinaire de la vue, et dont par conséquent les traits ne doivent qu’être dessinés grossièrement et non pas finis, on doit placer l'œil à la distance que la situation du lieu indiquera.

58. La théorie des ombres est un objet essentiel de la perspective pratique, mais elle appartient plus particulièrement à la perspective aérienne, et les considérations géométriques qu’elle peut présenter ne sont que des conséquences immédiates des principes que nous avons exposés au mot Omere ; nous devons donc nous contenter de renvoyer à cet article, ainsi qu'aux divers éraites de perspectives où cette matière est traitée avec tous ses développemens. Ce qui précède renferme l'exposé complet des procédés et des principes de la perspective linéaire. Nous en verrons encore quelques applications au mot ProsEcTIoN.

59. Les règles générales de la perspective lineaire paraissent avoir été connues des anciens, quoiqu'il ne nous soit rien parvenu d’eux sur ce sujet, car il est certain, d’après un passage de Vitruve, que Démocrite et Anaxagore s’occupèrent des décorations de théâtre et des moyens de les mettre en perspective, après qu’Agatharque eut exécuté le premier de telles décorations ; mais cette science a été recréée par les modernes , et c’est à Albert Durer et à Pietro del Borgo que nous devons ses principes fondamentaux. Eu 1600, Guido Obaldi fit paraitre le premier traité systématique de perspective ; ouvrage très-bien fait et qui servit depuis de modèle à une foule d'auteurs. Plus récemment Deschales, Lamy, S'Gravesande, Taylor et Ozanam publièrent des traités que n’ont point fait oublier les méthodes modernes dont nous parlerons au mot STÉRÉOTOMIE. On doit à Lacaille un traité d'optique dans lequel la perspective se trouve traitée d’une mamière très-claire et où nous avons puisé la matière de cet article. Nous indiquerons à nos lecteurs la théorie des ombres et de la perspective de Monge, ajoutée à la cinquième édition de sa Géométrie descriptive, et le dessin linéaire appliqué

aux arts, de M. Thierry. loy. aussile 7rarté de Perspective de Lavit, et celui de J.-B. Cloquet.

PERTURBATION. (454) Inégalité dans le mouvement des planètes produite par l'attraction mutuelle de ces corps.

Si chaque planète n'obéissait qu'à l’action du soleil, son mouvement s’exécuterait dans une ellipse dont la forme serait constante et chacune des périodes de ce mouvement serait exactement la même que celle qui la précède et que celle qui la suit. Mais, l'attraction étant universelle et réciproque entre toutes les parties de la matière, chaque planète éprouve incessamment l’action de toutes les autres; et il doit nécessairement résulter de cette action, qui varie sans cesse, d'après le changement des directions et des distances, des variations dans les courbes ou les orbites parcourues. C’est a ces variations qu’on a donné le nom de perturbations.

Les masses des planètes, comparées à celle du soleil,

étant d’une extrême petitesse , leurs attractions mutuelles sont très-faibles par rapport au pouvoir central qui les force à circuler autour de cet astre, et les effets de ces attractions ou des forces dites perturbatrices sont proportionvellement très - petits. Ce n’est généralement que dans un long intervalle de temps que ces effets deviennent sensibles, et il a fallu toute la perfection des instrumens modernes et des procédés d’observations pour reconnaître quelques-unes de ces pertirbations, dont cependant l’existence se trouve démontrée à priori par la science.

” La théorie des perturbations forme aujourd'hui le point le plus élevé de ce qu’on appelle la mécanique céleste, et celui sur lequel se sont réunis les efforts des plus grands géomètres. Malgré tous leurs travaux , le problème fondamental de cette théorie n’est encore que posé, car sa solution complète exige des intégrations d’équations différentielles qui dépassent les moyens actuels de la science des nombres. Nous allons faire connaître les points principaux de ce problème.

D’après l’extrême petitesse des forces perturbatrices et des effets qu’elies produisent, on peut, sans craindre d’erreur dans les résultats, estimer chaque effet séparément , et comme si tous les autres n’existaient pas ; car, d’après un principe de mécanique , si de trèspetites forces agissent simultanément sur un système matériel, l'effet total des forces combinées est la somme des effets que chaque force produirait séparément , au moins tant que leur action n’aura pas altéré d’une manière sensible les relations primitives des parties du système. Ainsi, pour évaluer les influences perturbatrices de plusieurs corps compris dans un même système, lorsqu'un de ces corps a une prépondérance très-grande sur tous les autres , nous pouvons nous contenter d’é-

valuer isolément l'influence de chacun de ces corps en

particulier , sans nous occuper de la combinaison de ces influences entre elles, combinaison qui ne peut altérer les relations originales du système que par l'accumulation de ses effets pendant des périodes d’une immense durée. De cette manière, quel que soit le nombre des corps qui composent le système, le problème est ramené à la considération de trois corps : un corps central ou prédominant , un corps troublant et un corps troublé ; ces deux derniers changent de rôles selon qu'il s'agit de déterminer le mouvement de l'un ou de l'autre. C'est la détermination des lois de ce mouvement qui forme l’objet du problème devenu si célèbre sous le nom de PROBLÈME DES ‘TROIS coups.

Soit S le corps principal (PI. 53, fix. 1)et T'et P les corps respectivement troublé et troublant. Représentant par ATBA l'orbite que le corps T décrirait sans la force perturbatrice, et, en supposant que ce corps se trouve en T à une époque donnée, soit TT’ l'arc qu'il parcourrait dans l'instant suivant s’il n’était pas troublé par l’action du corps P, dont CPDC représente l’orbite située dans un autre plan que l'orbite ATBA , mais qui coupe le plan de cette dernière, suivant la ligne des nœuds EF, Menons au point T' une tangente à l’are TI", cette tangeute irait couper la ligne des nœuds en R. Ceci posé, comme l’action de P sur S et sur T agit suivant les directions PS et PT, quine sont ni l’une ni l’autre dans le plau de l'orbite ATBA ; chacun de ces corps sera sollicité à sortir de ce plan, mais d’une manière inégale , parce que les droites PS et PT ne sont ni égales ni parallèles, et que le corps P attire inégalement les corps S et T, d'après la loi générale dela gravitation, C’est donc par la différence des attractions que l’orbite primitive ou relative de T autour de S se trouve changée, et si l’on continue de rapporter le mouvement de T autour du point S comme à un centre fixe , la portion perturbatrice de l'action de P sur T obligera T à dévier du plan ATBA , et à décrire non plus l’arc TT", mais un arc TL, situé au dessus ou audessous de TT" selon la prépondérance des forces avec lesquelles P sollicite S et T.

Or, Ja force perturbatiice qui agit suivant la direction PT peut être considérée comme décomposée en deux autres, dans le plan du triangle STP, savoir : en une force qui agit dans la direction ST et qui tend à accroitre ou à diminuer, selon les cas, l'attraction de S sur T, et en une seconde force qui agit dans la direction TM, parallèle à SP, et qui rapproche ou éloigne T de M, selon les cas. Ainsi, comme la composante de la force perturbatrice, dirigée selon ST, est comprise dans le plan ATBA, elle ne saurait tendre à faire sortir T de ce plan; c’est donc l’autre composante seule dirigée selon TM qui peut produirecet effet. Il est bien en-

tendu que nous considérons ici ces composantes d’une manière relative, en regardant le point $ comme fixe, et en rapportant à L toute l’action de la force perturbatrice.

Maintenant , pour nous rendre compte de l’effet que doit produire la force dirigée selon TM, remarquons que, d’après la configuration que présente notre figure, cette force tire T vers M, et comme TM parallèle à SP tombe du côté de l'orbite de P, ou au-dessous de celui de T, en regardant le premier comme plan fondamental ,ilest évident que l'arc T4, décrit par T dans son mouvement troublé, tombe au-dessous de TT", et si on prolonge cet arc, c’'eit-à-dire si on lui mène une tangente au point £, cette tangente £V ira couper le plan de P en un point V, situé en arrière de R , de manière que la droite SVP’ qui sera l'intersection du plan STV avec celui de l'orbite de P, et qui sera conséquemment la nouvelle ligne des nœuds, viendra tomber en arrière de la ligne primitive des nœuds SF. Ainsi, par suite de la perturbation qui fait décrire l'arc T£ au lieu de l'arc TT’, la ligne des nœuds aura rétrogradé de l'angle FSV. Nous regardonsici comme directs les mouvemens de T et de P.

Mais conservant toujours la même situation, si nous supposons que Pest à la gauche de la ligne des nœuds , au lieu d’être à droite comme dans la figure, il est facile de voir que la composante selon la direction TM tendra à soulever T, que T£sera au-dessus de TT" et que la ligne des nœuds avancera au lieu de rétrograder. L'action de la force perturbatrice a donc pour effet d'imprimer à la ligne des nœuds un mouvement oscillatoire , et suivant que dans l’ensemble de toutes les situations relatives possibles de T et de P , la somme de toutesles quantités de rétrogradation sera plus grande ou plus petite que celle de toutes les quantités d’avancement , le nœud aura finalement retrogradé où avancé.

Outre cette variation de la position des nœuds, il résulte encore des considérations qui nous ont amenés à la reconnaitre, que l'orbite de T doit éprouver des modifications dans sa forme et dans son inclinaison sur celui de P, car tantôt l’action de la force perturbatrice rapproche ou éloigne T deS , tantôt elle l'élève au-dessus du plan de son orbite primitive ou l’abaïisse au-dessus de ce plan. Cette orbite éprouve donc des changemens continuels, mais ces changemens sont périodiques, c'est-à-dire, que dans un certain intervalle de temps les dimensions et l’inclinaison primitives se reproduisent pour varier ensuite de nouveau.

L'action générele de la force perturbatrice fait donc décrire au corps T une orbite dont deux parties ou deux élémens successifs ne sont pas compris dans le même plan, ce qui rend cette orbite une courbe à dou-

ble courbure , et le phénomène de la diminution ou de

l'augmentation de son inclinaison sur l'orbite de P est intimement lié avec celui de la rétrogradation ou de lavancement de la ligne des nœuds. Cependant s’il s’agissait de calculer ces perturbations, dont ce qui précède n’est destiné qu’à démontrer la nécessité, il faudrait remarquer que la question est beaucoup plus compliquée que nous ne l'avons présentée jusqu'ici, car l'orbite de P est elle-même variable par suite de l’action perturbatrice de T sur P, et le mouvement deses nœuds, par rapport à l'orbite de T, se combine à celui des nœuds de l'orbite de T, par rapport à l'orbite de P,; de telle manière que le déplacement final de l'intersection des plans primitifs résulte de la combinaison de toutes les variations respectives. Bien plus, pour obtenir le mouvement définitif de l'orbite d’une planète, il ne suffit plus de considérer seulement l’action perturbatrice d’une autre planète, mais il faut combiner deux à deux toutes les planètes qui composent le système solaire et avoir égard à la situation variable des plans de toutes les orbites.

Si l’on considère le plan de Pécliptique comme un plau fixe, on trouve que les nœuds de toutes les orbites des planètes ont, sur ce plan, un mouvement final rétrograde extrêmement lent, car le plus rapide de tous ne s'élève pas à un degré par siècle. Ce mouvement rétrograde s'effectue pour chaque planète dans une période de temps plus ou moins longue, à l’expiration de laquelle le nœud se retrouve dans la même situation qu’il avait à l’origine, tandis que l’inclinaison de l’orbite qui a diminué pendant une partie de la période s’accroit pendant l’autre partie, de telle sorte qu'après uue révolution complète du nœud l’inclinaison a repris sa yaleur originaire.

Il résulte des recherches de Laplace que, par cela seul que les planètes se meuvent dans le même sens, dans des orbites peu excentriques et peu inclinées les unes sur les autres, les perturbations sont périodiques et renfermées dans d’étroites limites; en sorte que le système planétaire ne fait qu’osciller autour d’un état moyen, dont il ne s’écarte jamais que d’une petite quantité : ainsi les orbites des planètes ont toujours été et seront toujours à peu près circulaires, et il est impossible qu'aucune planète ait été primitivement une comète.

L'écliptique elle-même changeant de position dans l'espace, il était nécessaire , pour évaluer la variation totale de l’inclinaison des orbes planétaires, de rapporter ces orbes à un plan invariable; c'est ce qui a conduit Lagrarge à la découverte du beau théorème suivant:

Si l’on multiplie la masse de chaque planète par la racine carrée du grand axe de son orbite, et par le

carré de la tangente de son inclinaison à un plan fixe,

La somme de ces produits sêra constamment la méme, sous l'influence de leurs attractions mutuelles.

Ainsi la stabilité du système planétaire doit être regardée désormais comme assurée, du moins en ce qui concerne les inclinaisons des orbites. (Foy. PLanÈre et

PRÉCFSSION.)

PESANTEUR. (Méc.) Force en vertu de laquelle tous les corps tombent à la surface de la terre lorsqu'ils ne sont pas soutenus.

Le mot pesanteur signifie la même chose que gravité, mais ce dernier motse rapporte en général à tous les corps de l'Univers , tandis que le premier s'emploie plus particulièrement pour les corps du globe terrestre.

Pendant long-temps on a confondu la pesanteur et le poids des corps, et l’on croyait que les corps avaient une tendance à tomber d’autant plus grande qu'ils avaient plus de masse. Cela était à la vérité assez vraisemblable, car on voit journellement qu’un corps peu dense, comme uue plume, tombe moins vite qu’un corps plus dense , comme un morceau de plomb. Mais ce plus ou moins de vitesse n’est pas proportionnel au poids, et il ne fallait qu’une expérience bien simple pour renverser celte grossière théorie dont on se contenta pendant tant de siècles, sous l'autorité d’Aristote.

Galilée est le premier qui ait imaginé de faire tomber d’une même hauteur des corps de différens poids, et de comparer avec ces poids les vitesses de leurs chutes. Ayant trouvé que les vitesses ne sont jamais proportionnelles aux poids ctque, de deux corps égaux en poids, celui dont le volume est le plus grand tombe moins vite que l’autre, il reconnut que la différence des vitesses ne pouvait provenir que de la résistance de l'air qui agissait avec plus de force sur celui des deux corps qui présentait le plus grand volume, et il finit par conclure que tous les corps , de quelque nature qu'ils fussent, doivent tomber également vite, en faisant abstraction de la résistance de l’air. Nous avons donné aux mots ACCÉLÉRATION, AGCÉLÉRE et GALILÉE, l'histoire de cette grande découverte qui vint changer la face de la physique, ainsi que les lois de la chute des corps; nous nous contenterous donc ici de résumer ces lois qui sont en même temps celle de la pesanteur.

1° La force qui fait tomber les corps agit dans une direction toujours perpendiculaire à l'horizon ; 2° elle est constamment uniforme et agit également à chaque instant; 3° les corps tombent vers la terre d’un mouvement uniformément accéléré; 4° leurs vitesses sont comme les temps de leur mouvement; 5° les espaces qu'ils parcourent sont comme les carrés des temps; 6° enfin, l’espace qu'un corps parcourt en tombant pendant un temps quelconque est la moitié de celui

PE o11 qu'il parcourait pendant le même temps d’un mouve. ment uniforme avec la vitesse acquise.

Le poids d'un corps et sa pesanteur sont denc des choses qu’il est important de ne pas confondre, quoique ces expressions soient synonymes dans le langage ordinaire ; en effet, la pesanteur d’un corps est la force qui le sollicite à descendre, et son poids est la somme des parties pesantes qui sont contenues dans le même volume ou le produit de sa masse par la pesanteur. La pesanteur appartient également à toutes les parties d’un même corps: cette force n’augmente ni ne dimioue par leur réunion ou leur séparation; mais le poids d’un corps change, comme la quantité de matière qui le compose, On peut donc dire de deux corps de différens poids, qu'ils ont la même pesanteur, car l’un et l’autre tendent de haut en bas avec la même vitesse.

Les observations de la durée des oscillations du pendule ont prouvé que la pesanteur n’est pas la mêmesur toute la surface de la terre, mais que l'intensité de cette force varie de telle man'ère qu’elle est la plus grande aux pôles et la plus petite sous l’équateur; phénomène qui prouve le mouvement de rotation de la terre sur son axe. Car chaque point de la surface de la terre décrivant un cercle, et ce cercle étant d'autant plus grand qu'il est plus près de l’équateur, les corps qui sont placés à la surface acquièrent une force centrifuge d'autant plus considérable qu’ils décrivent de plus grands cercles dans le même temps , et comme la force centrifuge (voy. ce mot) agit en sens inverse dela force centrale de la pesanteur, elle diminue nécessairement les effets de cette dernière.

En prouvant l’identité de la force qui retient les pla nètes dans leurs orbites avec la pesanteur (voy. Arrrac- TION et GravirÉ), Newton a prouvé que la pesanteur doit diminuer à mesure qu’on s'éloigne du centre de la terre; cette diminution, insensible pour de petites hauteurs, peut cependant être reconnue par l'expérienc®, car Bouguer et La Condamine, ayant fait osailler un pendule au pied et sur le sommet d’une des montagnes des Cordillières, ont trouvé que la durée des oscillations était plus grande au sommet qu’au pied.

PESANTEUR SPÉCIFIQUE. Poids que pèse un corps sous un volume donné, comme, par exemple, uu décimètre cube. Plus un corps a de poids sous ce volume déterminé, plas sa pesanteur spécifique est grande. Par exemple, le platine est de tous les corps terrestres celui qui a la plus grande pesanteur spécifique , parce qu’un décimètre cube de platine a plus de poids qu’un décimètre cube de toute autre substance. (Foy. Dexsiré.)

PÉSE-LIQUEUR. (Mec.) (Foy. ArÉomÉrrE.)

PESON. (HMet.) Espèce de balance nommée autre: ment BALANCE ROMANE. (Foy. ce mot.)