Les quatre conceptions pures, avec leurs oppo

sées ,sur lesquelles ces rapports sont fondés, prennent

pH le nom d'idées réflexives : 1] est important de ne pas les confondre avec les catégories, car elles ne servent qu'a indiquer le rapport des idées données, dont on connait l'origine; tandis que les cattgories servent à la synthèse des objets.

43. Les faux systèmes ne se produisent dans l’intelligeuce humaine que par défaut de réflexion transcendantale ; car, dans la simple comparaison ou réflexion logique, on n’a point égard à la faculté de connaître à laquelle appartiennentles représentations données , que l'on traite alors comme homogènes par rapport à leur siége dans l'esprit, Cependant, lorsqu'il s’agit de savoir, si les choses mêmes sont identiques ou diverses, d'accord ou en désaccord, etc., comme les choses peuvent avoir un double rapport à notre faculté de connaître, savoir a la sensibilité et à l'enteudement, et comme la manière dont elles s'appartiennent réciproquement dépend nécessairement de leurs rapports avec ces facultés, c’est la réflexion transcendantale seule qui renferme le principe de la possibilité de la comparaison des choses entre elles.

44. Kant vomme amplubolie la confusion produite par la réflexion logique, lorsqu’elle compare des représentatious dont le siége intellectuel se trouve dans des facultés différentes, c’est-à-dire lorsqu’elle confond l’objet intellectuel avec le phénomène. La prétendue inexactitude du calcul différentiel repose sur une amplubolie, dont nous avons ailleurs signalé l’origine. ( Foy. Dirr. 24.)

45. Dans tous ses actes, le jugement réflectif suppose un but, une finalité; car les lois empiriques de la nature n'auraient aucune unité possible, et même les diverses facultés de l'intelligence ne pourraient concourir d’une manière harmonique à la production d’une connaissance , si d’une part ces lois n’étaient soumises au principe suprême de la concordance avec un but, etsi, de l’autre, chacune de ces facultés ne pouvait être considérée à la fois comme but èt moyen, par rapport aux autres. Le principe pur et à priori du jugement est donc la concordance ou la conformité du but; on le formule en ces termes : Tout dans la nature a son but, rien n'estinutile. Comme les idées pures de la raison, son usage est régulatif (35).

46. Pour aborder maintenant la philosophie des ma. thématiques , il nous reste à expliquer quelques termes employés dans la philosophie transcendantale :

1° Tout ce qui se rapporte à l'objet même d’une connaissance prend le nom d'objectif.

2° Ce qui se rapporte à la faculté de connaître prend celui de subjectif.

3° On nomme en général immanent ce qui existe sous les conditions du temps, et /ranscendant ce qui est au delà de ces conditions. Ce qui est engendré hors des conditions du temps, mais trouve néanmoins son appli-

PH cation dans le temps, se nomme franscendantal. Va connaissance empirique des objets est 2mmmanente; les lois de l’entendement sont transcendantales, et les idées pures de la raison sont éranscendantes.

Tous les renvois que nous ferons à l'introduction à la philosophie des mathématiques seront indiqués par le mot #ntrod. placé entre parenthèses, avec l'indication de la page.

47. Dans toute connaissance , nous devons distinguer le contenu ou la matière de l'objet pensé d’avec sa forme ou sa determination. La matière appartient proprement à l’objet et constitue ce qu'il y a en lui de dcterminable, son essence ; la forme appartient à la faculté de connaitre, c’est elle seule qui rend possible la détermination de l’objet ou sa connaissance.

Ainsi, l’ensemble de tous les phénomènes, le monde physique, la narure doit également nous présenter, dans la connaissance que nous en avons, deux objets distincts, la matière et la forme. La matière, l'essence même du monde phvsique, est l’objet général de la PuysiQque; et la forme, la manière d’être de ce monde, est l’objet général des MATRÉMATIQUES.

Or, la forme de tous les phénomènes physiques et couséquemment la forme générale de la nature, qui résulte de l’application des lois transcendantales dela sensibilité aux impressions que nous recevons des objets (15), est le temps, pour tous les objets physiques en général , et l’espace, pour les objets physiques extérieurs. Ce sont donc les lois du temps et de l’espace, en considérant ces derniers non subjectivement, ce qui est l’objet de l’esthétique transcendantale (16), mais objectivement, c’est-à-dire comme appartenant au monde physique donné à posteriori, qui font le véritable objet des mathématiques.

48. Cette détermination primitive de l’objet des mathématiques est donnée par une branche de la philosophie qu’on nomme l’architectonique et dont le but est de coordonner nos connaissances en systèmes, La détermination ultérieure de cet objet appartient à la PAïlosophie des mathématiques.

« Cette dernière philosophie a pour but l'application des lois pures du savoir, transcendantales et logiques, à l'objet général des sciences dont il s’agit, à l'objet général tel que nous venons de le déterminer ; et elle doit ainsi , suivant cette idée, déduire, par une voie subjective, les Lois premières des mathématiques, ou leurs principes philosophiques. — Les mathématiques ellesmêmes partent de ces principes, et en déduisent par une voie purement objective, sans remonter jusqu'aux lois intellectuelles , les propositions dont l’ensemble fait l’objet de ces sciences.»

« Pour mieux approfondir la nature de la philosophie des mathématiques, il faut savoir (ce que nous

venons d'expliquer précédemment ) qu'il existe pour les fonctions intellectuelles del’homme des lois déterminées, Ces lois transcendantales et logiques caractérisent l’intelligence humaine, ou plutôt constituent la nature même du savoir de l’homme. Or, en appliquant ces lois, prises dans leur pureté subjective, à l’objet général des mathématiques, à la forme du monde physique, il en résulte, dans le domaine de notre savoir, un système de lois particulières, qui régissent les fonctions intellectuelles spéciales portant sur l’objet de cette application, sur le temps et l’espace. — Ce sont ces lois particulières qui constituent les principes philosophiques des mathématiques, principes que nous avons nommés, — Il faut encore remarquer que, suivant cette exposition de la philosophie des mathématiques, cette philosophie donne en même temps l’explication des phénomènes intellectuels que présentent les sciences mathématiques : en effet, l’ensemble de ces sciences forme un certain ordre de fonctions intellectuelles, et ces fonctions sont de véritables phénomènes; de manière que les lois de ces fonctions, qui sont en même temps les lois de ces phénomènes , contiennent la condition de la possibilité de ces derniers, et donnent par là leur explication philosophique. » ( Zntrod. pag. 2.)

49. La philosophie des mathématiques présente trois parties distinctes. 1° L’Architectonique des mathématrques, c'est celle qui donne la déduction des différens objets particuliers distincts et nécessaires de ces sciences, ou le contenu , la matière de nos connaissances mathématiques. 2° La Méthodologie des mathématiques , c’est celle qui présente les différentes manières d'envisager les objets mathématiques, les différens modes intellectuels de leur connaissance; elle porte essentiellement sur la forme cognitive. 3° Enfin, la Métaphysique des mathématiques, c'est celle qui a pour but les lois objectives des objets mathématiques ou les lois que reçoivent ces objets par la cognition de l'homme.

L'architectonique et la méthodologie portent sur le point de vue subjectif de la philosophie des mathématiques, et la métaphysique sur le point de vue objectif de cette philosophie.

La déduction que nous avons donnée, au mot ma- THÉMATIQUES, de toutes les branches de ces sciences et des divers objets distincts et nécessaires dont elles s’occupent, est fondée sur l’architectonique des mathématiques. Nous renverrons pour tous les détails à cette déduction même , que ce qui va suivre éclaircira.

La méthodologie des mathématiques dont le but est la détermination des différentes méthodes qu’on doit suivre dans les différentes branches de ces sciences, repose sur des principes purement logiques. Sa partie la plus importante a été traitée au mot MÉTRODE.

Quant à la métaphysique des mathématiques, elle

forme la partie principale de la philosophie de ces sciences; elle a pour but les lois de l’objet même des mathématiques, lois qui en sont les principes premiers ou philosophiques. C’est à la métaphysique, aidée de l’architectonique, qu'appartiennent toutes les déterminations ultérieures de l'objet des mathématiques et la déduction de ses lois fondamentales.

5o. Remarquons d’abord , comme nous l'avons déjà fait (Maru.), que les lois du temps et de l’espace peuvent être considérées en elles-mêmes, ou bien dans les phénomènes physiques auxquels elles s'appliquent , c'est-à-dire, #2 concreto ctir abstracto. Dans le premier cas , elles font l’objet des MarménaTiQuESs APPLIQUÉES, et daus le second, celui des Marnémariques pures. Mais la considération concrète dépend nécessairement de la considération abstraite: nous n'avons donc à nous occuper icique des MATHÉMATIQUES PURES.

51. Pour obtenir les déterminations ultérieures de l’objet général des mathématiques, il faut, d’après (26 et 27), appliquer à cet objet général les lois transcendantales du savoir , afin d'engendrer les schémas qui seuls peuvent servir de bases aux idées particulières que nous pouvons nous former de cet objet. Or, en appliquant au temps, considéré objectivement, la première des lois de l’entendement, la quantité, prise dans toute sa généralité, il en résulte le schéma du vomerr; et cette même loi, appliquée à l’espace, considéré aussi objectivement, donne le schéma de l’ÉrENDUE (v0y. Marn.). Les zombres et l'étendue sont donc deux déterminations particulières de l’objet général des mathématiques : elles donnent naissance aux deux branches fondamentales de ces sciences : l’ALGortTamIE ou Îla science des nombres, et la GÉomérmiE ou la science de l’étendue. Le temps étant la forme de tous les objets en général, et l’espace la forme des seuls objets extérieurs (15), toutes les considérations générales de la science des nombres peuvent s'appliquer à celle del’étendue : ainsi ce que nous allons dire des subdivisions de la première de ces sciences devra s'entendre également de la seconde que nous allons abandonner ici pour plus de simplicité.( Foy. GÉOMÉTRE. )

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