L’algorithmie présente d’abord deux branches

distinctes, correspondant aux deux manières de considé-

rer subjectivement une quantité mathématique : ces deux branches sont la Tuéonte et la Trcunie. La première a pour objet la nature des quantités, c’est-à-dire, ce quiest, dans l'essence de ces quantités ; elle est fondée sur la spéculation, fonction du savoir cù domine l’éntellect. La seconde a pour objet la mesure des quantités, c'est-à dire, ce qu'il faut faire pour arriver à l’évaluation de ces quantités ; elle implique la conception d’une Jin ou d’un but, et se trouve fondée en dernier

lieu sur la volonté, faculté de l'action. D'après leur

origine transcendantale, ces deux branches sont distinctes et nécessaires.

53. Ces deux branches de l’algorithmie se subdivisent elles-mêmes en deux parties distinctes. En effet : — « Les différentes fonctions intellectuelles dépendent dela différence contingente qui se trouve dans les facultés intellectuelles, mais , quelle qu’en soit la diversité, la co-existence de ces fonctions n’est possible que par une identité où par une unité nécessaire des différentes facultés dont elles dépendent. Cette unité nécessaire a sa source transcendantale dans le principe même du savoir, dans la conscience {o) qui sert de base à la possibilité des facultés intellectuelles, et qui les lie par la loi de l'identité, en les considérant subjectivement , ou par celle de l'unité en les considérant objectivement. — Ainsi, en appliquant les facultés intellectuelles à l’objet général des mathématiques, il doit en résulter d’abord des fonctions intellectuelles mathématiques, différant entre elles et dépendant des facultés intellectuelles différentes, et ensuite des fonctions intellectuelles mathématiques, formant la liaison des premières, et dépendant de l’unité transcendantale qui se trouve entre ces facultés intellectuelles, — Le premier ordre de ces fonctions intellectuelles mathématiques constitue évidemment les élémens de toutes les opérations mathématiques possibles; le second ordre de ces fonctions constitue la reunion systématique de ces élémens. » ( 1ntrod. pag. 5.)

C’est en appliquant ces cousidérations philosophiques aux deux branches de l’algorithmie, la {héorie et la technie, qu'on trouve que ces deux branches ont nécessairement chacune deux parties distinctes : l’une qui a pour objet les ÉLÉMENS NÉCESSAIRES des opérations mathématiques, qui appartiennent à ces branches respectives ; l’autre, qui a pour objet la RÉUNION sYSTÉMA- TIQUE de ces opérations élémentaires.

Examinons d’abord la première partie de la thcorie de l’algorithmie ou la THÉORIE ALGORITHMIQUE ÉLÉMEN- TAIRE.

54. Le but de cette partie de la science des nombres est, d’après ce qui précède, la détermination de la nature de tous les algorithmes élémentaires possibles, en les considérant chacun séparément ou d’une manière indépendante des autres. Or, deux algorithmes élémentaires, primitifs et essentiellement opposés , savoir, la sommarion etla crapuarion, dont les formes respectives sont

A+B—C,A =C se présentent dans cette partie élémentaire. Ils ont chacun deux branches particulières, l’une progressive, l’autre régressive , savoir : l'addition et la soustraction pour le premier, et les puissances et les racines pour le second.

« Ces deux algorithmes primitifs sont, pour ainsi dire, les deux pôles intellectuels du savoir humain, dans son application aux quantités algorithmiques. — Dans la sommation , les parties de la quantité sont discontinues et extenstves ; elles ont proprement le caractère de l’agrégation (per juxta positionem). Dans la graduation , les parties de la quantité sont au contraire continues, ou du moins considérées comme telles, et sont en quelque sorte intensives; elles ont, de cette manière, l’aspect du caractère de la croissance (per iatus susceptionem). — Ces deux fonctions algorithmiques de notre savoir, qui ont chacune leurs lois particulières, sont entièrement hétérogènes, et il est impossible de les déduire l’une de l’autre. — Voici leur déduction métaphysique, ou du moins leur principe transcendantal : la première, la fonction intellectuelle de la sommation , est fondée sur les Lors constitutives de l’entendement (35); la seconde , la fonction intellectuelle de la graduatiou , est fondée sur les Lois régulatives de la raison. »

« La neutralisation de ces deux fonctions intellectuelles et, par conséquent, des deux algorithmes élémentaires qui leur répondent, produit une fonction intermédiaire à laquelle correspond un algorithme également intermédiaire, tenant de la sommation et de la graduation : nous nommerous cet algorithme rEPRopucrion. — Ses deux branches, progressive et régressive, sont la multiplication et la division. — Ce troisième algorithme élémentaire qui, considéré sous le point de vue métaphysique, se rapporte essentiellement à la faculté du jugement (5 et 36), doit encore, à cause de son origine, être considéré comme algorithme primitif. »

« Ainsi, la théorie algorithmique présente trois algorithmes élémentaires et primitifs. Leurs origines se rapportent aux trois facultés primitives de notre intellect (4), l’entendement , le jugement et la raison. Les lois de ces trois algorithmes, fondées sur les lois respectives de ces trois facultés primordiales de notre intellect, sont, ainsi que la nature même de ces algorithmes, essentiellement différentes, et ne sauraient, dans toute leur généralité, être dérivées les unes des autres. — Il n’existe donc et il ne peut exister pour l'homine d’autres fonctions algorithmiques que celles qui sont ou immédiatement fondées sur ces trois algorithmes primitifs, ou dérivées de ces algorithmes. » ({ntrod. , page 7.)

Avant de nous occuper des algorithmes dérivés, étudions un peu plus en détail les trois algorithmes primitifs, fondement de toute la science.

55. Pour ce qui concerne, en premier lieu, l'algorithme primitif de la sommation, nous devons faire observer que ; d’après son origine, il constitue en quel-

PH 525 que sorte la matière de toute fonction algorithmique possible , car c’est l’entencdement qui constitue les objets de nos convaissances; l'application ou l'emploi des autres facultés intellectuelles ne peut influer que sur la forme des fonctions algorithmiques, dont les élémens (le conténu ou la matière) sont toujours donnés par l'algorithme primitif de la sommation,

Le schéma de cet algorithme, qui résulte de la conception générale de son objet (agrégation ou réunion de parties), est (a)

A+B—=C qui implique nécessairement le schéma réciproque (b) C— B— A.

C’est sur ces deux schémas que se trouvent fondées respectivement l’addition et la soustraction.

give, il en résulte uue considération importante sur

, ces deux schémas étant identiques dans leur orila fonction particulière de la quantité B, dans les deux relations réciproques (a) et (b). Cette fonction ; considérée en elle-même et abstraction faite des opérations d'addition et de soustraction , se présente , dans la première de ses relations, avec le caractère d’une faculté d'augmentation, tandis que dans la seconde elle se présente avec le caractère d’une faculté de diminution. |

Cette diversité de la fonction du nombre B dans les deux relations en question est un produit de l'application de la seconde loi de l’entendement, celle de qualité, aux quantités algorithmiques, et c’est de cette application que résultent pour les quantités deux états différens nommés état positif et état négatif. Ainsi, dans la première relation , Best une quantité positive, et, dans la seconde, B est une quantité négative. (Foy. ALGirRE, 2.)

L'état positif et négatif des nombres porte donc essentiellement sur leur QUALITÉ; tandis que les opérations d’addition et de soustraction ne portent que sur leur quanrirÉ. C’est parce que, jusqu'ici, on a confondu ces deux points de vue si distincts, qu'on est tombé dans tant de contradictions au sujet des zombres négatifs.

56. L’algorithme de la reproduction consiste dans la neutralisation intellectuelle des deux algorithmes primitifs et opposés, la sommation et la graduation. C’est le moyen de remonter du premier au dernier, fondé sur la faculté du jugement , faculté intermédiaire entre l’entendement et la raison, qui serveut de fondemens respectifs aux algorithmes opposés.

Le schéma de cet algorithme, qui résulte de sa con-

ception générale , est

AHA+HAHAXHA...,8B fois = C

les nombres À, B, C étant donnés entièrement par l'algorithme de la sommation; car, pour concevoir cette génération, pour en former la première conception, ilest nécessaire que les nombres A et B soient donnés par le seul mode connu jusqu'ici de génération des nombres: la sommation; et alors le nombre C, comme produit par une génération de sommation, est encore un nombre entier où un nombre donné par l'algorithme de la sommation.

» Mais lorsque cette conception est formée, l'influence régulative de la raison, qui se manifeste déjà dans l'algorithme de reproduction dont il est question , introduit dans la génération des nombres A, Bet C, une détermination nouvelle et particulière, qui satisfait d'une part, au caractère d’agrégation, à la disconti. nutté de génération algorithwique, dominant dans l’algorithme primitif de la sommation et, de l’autre part, au caractère de croissance, à la continuité de génération algorithmique, dominant dans l'algorithme primitif de la graduation. Or c’est cette détermination particulière de la génération des nombres À, Bet C, dans laquelle se trouve la neutralisation des deux algorithmes primitifs et opposés, qui forme la Loi fondamentale de la théorie de la reproduction. — Le schéma de cette loi est (c)

AXB—C

où l'on suppose que parmi les trois nombres A, B,C, deux quelconques de ces nombres peuvent être donnés par l'algorithme de la sommation, ou bien, ce qui revient au même, que À, ou B, étant donné ainsi, le nombre C peut représenter tous les nombres formant la suite produite par la génération de sommation. » (Zntrod., page 160.) Le schéma (c) implique le schéma réciproque (4)

et c’est sur ces deux schémas (ce) et {d) que se trouvent fondées respectivement la multiplication et la division.

Les nombres C et B pouvant être des nombres quelconques donnés par l'algorithme de la sommation, la génération du nombre A, suivant le schéma réciproque (4), recoit dans certains cas un caractère particulier, une détermination plus intellectuelle, qui place ce nombre hors de la suite des nombres entiers, Ce caractère particulier, dû à l'influence régulative de la raison qui commence à se manifester dans l'algorithme de la reproduction, est ce qui distingue les nombres nommés nombres fractionnaires. (Foy. ALGèrar, 12.)

Quant à la fonction particulière du nombre B dans les deux relations réciproques (c) et{d), elle porte en-

PH core sur la conception de la qualité el consiste dans l'état positif ou négatif de l'exposant de graduation de ce nombre.

57. Nous avons dit (54) que l'algorithme de la graduation est fondé sur les lois régulatives de la raison. Ce sont ces lois qui viennent apporter la dernière unité intellectuelle dans nos connaissances (53) ; sans l'influence régulative de la raison, la science des nombres ne serait pas possible, car nous serions réduits au seul algorithme de la sommation dont l’objet et les lois sont identiques. Or le schéma purement algorithmique

de la graduation, est {e) A — C

dans lequel A, B, C peuvent être des nombres quelconques. Mais d'après la conception générale de l'objet de cet algorithme, conception qui repose sur l’idée de continuité indéfinie, et nous préseute un nombre quelconque comme engendré par la multiplication successive et indéfinie d'un autre nombre par lui-même , nous voyous que le schéma (e) est fondé sur le schéma

philosophique (f),

En effet, cette forme, qui porte essentiellement sur une génération indéfinie , et qui par conséquent implique l'idée de l'absolu , est évidemment la seule forme possible sous laquellenous pouvons concevoir, au moyen de l'algorithme élémentaire et primordial desommation, qui est un produit de l’entendemert, la continuité indi- Jinie de la génération d'un nombre que demande la raison. C’est évidemment sur cette génération du nombre mn que se fonde la possibilité algorithmique d'un exposant quelconque de ce nombre, entier, fractionnaire ; positif, négatif ou zéro. (Zatrod, pag. 163.)

Nous voyons ici se manifester d’une manière évidente la nature de la raison , de cette faculté supérieure. dont toutes les conceptions où idées pures sont doutes d'universalité absolue et qui tend sans cesse vers l’inconditionnel (30). Son principe suprême introduit dans la science des nombres les idées transcendantes de nombres infinis et infiniment petits, sans lesquelles il lui serait impossible d'apporter la dernière unité intellectuelle , non dans la génération des nombres eux-mêmes, mais dans la génération de la connaissance que nous avons de ces nombres. Comme la science serait impossible sans les lois régulativesde la raison , on peut juger du tact philosophique des géomètres qui ont voulu bannir l'infini des mathématiques.

Le schéma (e) donne le schéma réciproque (g)

et c’est sur ces deux schémas identiques que sont fondées les puissances et les racines.

Les nombres C et B peuvant être des nombres quelconques, la génération du nombre A suivant le schéma (g) reçoit en certains cas une détermination nouvelle et plus intellectuelle encore que celle qui, dans la théorie de la reproduction, donne naissance aux nombres fractionnaires. En effet, d’après (f), le schéma philosophique de cette génération est (A)

ee) B À = (: + w. 5)

Or, avec la possibilité de la génération intellectuelle du nombre À, on voit dans ce dernier schéma que la génération sensible de ce nombre, en la considérant en général , est nécessairement éndéfinie. C'est cette génération indéfinie, provenant de l'influence régulative et intellectuelle de la raison dans le domaine sensible de l’eutendement, qui est le caractère distinctif des nombres nommés nombres irrationnels. (Introd. pag. 164.)

Quant à la fonction particulière du nombre B dans les deux relations réciproques (e) et (g), elle est véritablement la même que celle du nombre B dans les deux relations réciproques (c) et (d) de la reproduction. Elle consiste dans la qualité positive ou négative de l’exposant de graduation de ce nombre.

Les relations réciproques (e) et (g) présentent un cas singulier, c’est celui où, C étant un nombre négatif, B est un nombre pair. Ilen résulte que la génération du nombre À implique dans ce cas une opposition iutellectuelle où une antinomie, comme on le dit dans la philosophie transcendantale. — « Cette antinomie provient de ce que le schéma philosophique (f) qui est le principe ou le fondement de la possibilité de l’algorithme de la graduation, ne porte que sur la génération de la quantité du nombre », laquelle, prise en général, est réellement susceptible d’une continuité indéfinie ; tandis que la qualité de ce nombre, comme produite essentiellement et exclusivement par l'algorithme de la sommation, implique nécessairement la discontinuité qui est le caractère de ce dernieralgorithme, c’est-à-dire qu’elle implique nécessairement l'opposition discontinue de l'état positifà l'état végatif du nombre ». Et, en effet, lorsqu'il s’agit d’un nombre négatifC, produit par la génération de graduation A", ou ne peut, en supposant le nombre A réel, considérer indifféremment l’exposant B comme un nombre pair ou impair, parce que ce serait supposer, à la génération du nombre négatif C, une continuité indéfinie qu’il n’a point réellement. — Toutefois ce qui n’est pas possible en réalité, dans le domaine sensible de l’entendement , l’est au moins en idée, dans le domaine intellectuel de la raison ; et cette

dernière faculté ne se désiste point, autant qu’il est en elle, de ramener toutes les fonctions algorithmiques à Ja loi de continuité indéfinie, ou, en général, à la loi de l'absolu. » (Zntrod. pag. 165.)

Les nombres correspondans à la génération idéale

sout ceux que l’on nomme très-inexactement nombres imaginaires. (Foy. IMAGINAIRE.)

58. Passons aux fonctions algorithmiques dérivees. Nous avons dit(Maru. 4) qu'il en existe deux seulement dont la dérivation est nécessaire, et que cette nécessité fait ranger au nombre des algorithmes élémentaires. Peu de mots suffiront ici pour compléter leur déduction.

Les trois algorithmes primitifs paraîtraient admettre quatre dérivations nécessaires correspondantes aux quatre manières différentes dont ils peuvent être combinés entre eux , en les prenant d’abord deux à deux , et ensuite tous les trois. Mais en considérant , en particulier, la nature de ces algorithmes, on voit aisément que la combinaison de l’algorithme dela sommation avec celui de la graduation se trouve déjà dans l’origine de l’algorithme de reproduction; de sorte qu'il ne reste de combinaisons réellement différentes, que celles de l’algorithme de la reproduction avec les algorithmes respectifs de la sommation et de la graduation. Ce sont ces combinaisons qui produisent les deux algorithmes élémentaires dérives que l’on nomme la NuMÉRATION et les rACULTES. (Foy. Maru. 4.)

59. Ces deux algorithmes dérivés viendraient clore la partie élémentaire de la théorie de l'algorithmie, s'il ne se trouvait dans la nature de la numération et des facultés le principe d’une conséquence ultérieure et également nécessaire. Ce principe consiste en ce que la reproduction, qui est commune à ces deux algorithmes dérivés, établit entre eux une liaison, une espèce d’unité ; d’où résulte , comme conclusion nécessaire , la proposition, du moins problématique, de la transition de la théorie de la numération à celle des facultés, et réciproquement de la théorie des facultés à celle de la numération. Les schémas de ces deux questions nécessaires, qui doivent définitivement terminer le système de tous les algorithmes élémentaires possibles pour l'homme, sont :

1° Transition de la numération aux facultés ,

ox, + px, + pr, etc. = fr, .x,.æ,. etc.);

2° Transition des facultés à la numération ,

PL, PT PT. CLC, = px, x, + x, + etc,)

en désignant par æ1, æ,, æ:,etc., des quantités varia-

bles quelconques, et par la caractéristique ? les fonctions inconnues respectives qui peuvent répondre à ces questions. {/ntrod. pag. 10.)

Go. Pour la première de ces deux questions, il est évident d’abord que la fonction, dont il s'agit, est l'exposant d'une quantité donnée qui forme, avec cet exposant, la valeur de la quantité variable; car à étant une

quantité constante, si l’on à

on aura aussi Lt ur etc. =afTi.afts.nfts etc. =dftitrertsrytelc.

et conséquemment

pri + ox, + px, + elc. = 9x, xx. etc.)

Il ne reste donc qu’à découvrir la nature de cette fonction 9, et à savoir si elle est une fonction dérivée élementaire, où seulement une combinaison des autres fonctions élémentaires. Or, la nature transcendante de cette fonction , qui constitue les LOGARITHMES, nOuS apprend qu’elle est une fonction dérivée élémentaire. (Foy. LoGaRITRMES, 11.)

61. Quant à la seconde des deux questions (56) proposées par la nature même de notre savoir, il est encore évident que les fonctions exponentielles, qui appartiennent entièrement à l'algorithme de la graduation, lui répondent d'une manière complète. En effet, si a et mr sont des quantités constantes, on aura la fonction expouentielle

px — amx

qui donve PL, pa, pr etc. = anti, amv gnr ele, — amxi+ti+x3 tete.)

et, conséquemment ,

ox +x,+x,+ etc.)

Ainsi, en cousidérant les fonctiors exponentielles

PT, .PX,.pT3. EC.

dans toute leur généralité , la seconde des deux questions rationnelles dont il s’agit, la transition des facultés à la numération, ne donnerait lieu à aucun algoritbme nouveau. Il ue pourrait donc s’en trouver ici que dans le cas particulier où l’exposant 77 recevrait une valeur qui placerait les fonctions exponentielles hors de la classe des puissances ordinaires et susceptibles d'une signification immédiate. Ce cas a lieu effectivement lorsque l'exposant »1 est imaginaire , et particulièrement lorsqu'on a m—\/— 1. (Introd. pag. 15.)

G2. Pour déterminer la nature de la fonction transcendante

9x = ai

observons que nous avons en général, z étant un nombre quelconque et Lz son logarithme naturel ,

] Li

s—1+". Li + 3(Lz) + etc.

(Foy. LoGarirame, 15), et par conséquent , (i)

L’a dt —-— 2, \/—1+-etc.

EE Va . 2

en faisant arx#—1 2, d'où xV/—1.Le —Lz.

L'expression {i) se trouve composée de deux suites, l’une réelle, l’autre imaginaire. En désignant par Fx la première de ces suites et par fx la somme des cocffi-

ciens de V/—1 , on a

: La}.x! | (La)t.xri (La)6.x6 pen naar 4 (Lait, (La FA Fr . TES Le TETE or

: (Laÿ.z3 (La).x° (Laÿ.27

XL — L X — — —= : à PERMET RES Pia ES No

Ainsi la nature de la fonction #x en question sera donc:

or —= Fx — fx V—1

dans laquelle les deux quantités Fx et fx sont deux fonctions déterminées de x, susceptibles de valeurs réelles,

Maïs à cause du double signe + du radical qui entre d’unemanière générale dans les fonctions yx, on a les

deux relations Fz + fe. \/—1 Fa — fa.y —1

atxf 1

lesquelles donnent

fat + ai |

Îl

VE Lara — a]

Tellessont donc définitivement les fonctions nouvelles susceptibles de valeurs réelles, qui sont impliquées dans la fonction #x en question. La dernière de ces fonctions est ce qu’on appelle sinus et la première ce qu’on nomme cosinus. ( Pour plus de détails, voy. Sinus.)

Ainsi les fonctions nommées en général sinus sont des fonctions algorithmiques élémentaires ; et la Taro- RIE DES sinus forme une des branches nécessaires de l’algorithmie.

63. Jusqu'ici nous n’avons considéré la théorie algorithmique élémentaire que sous le point de vue trans-

cendantal , point de vue qui sert à découvrir la gencration méme des quantités ; il nous resterait donc à lenvisager sous le point de vue logique, mais comme ce dernier ne sert à découvrir que la relation réciproque des quantités, relation qui ne peut avoir ici de lois particu.

|Péles opposés, fon-

| dés sur les facultés opposées de l'en-

tendement et de la

raison.

Algorithmes

théoriques

PH lières, nous renverrons à ce que nous en avons dit, Mau. 7, taire dans le tableau suivant qui présente les principes

et nous résumerons toute la théorie élémen-

philosophiques de celui que nous avons donné à l’arti-

cle et au numéro cités.

Progressive. — ADDITION.

Génération discon-

p Nombres positifs.

linue,