TOME Il

PO DST est la nature de ces points. En effet, si, en faisant croitre successivement l’abscisse, nous voyons l’ordonnée croître d’abord puis ensuite décroître , nous pourrons en conclure que la courbe, qui s’éloignait en premier lieu de l'axe des æ, arrivée à un certain point, cesse de s'écarter de cet axe et s’en rapproche au contraire. Or, à ce certain point la valeur de l’ordonnée devant être la plus grande , il suffit pour reconnaître ce cas , d’examiner si la valeur générale de cette ordonnée est susceptible d’un maxémun ; comme dansle cas contraire, c’està-dire , si la courbe, après s'être rapprochée de l’axe des x , s’en éloigne, il suffit, pour déterminer le point où le changement s’effectue, de chercher la valeur minimum de l’ordonnée.

Par exemple, proposons-nous l’équation

b y = = Vbar— 2]

Ea faisant x — 0, nous avons y — 0, ce qui nous apprend d’abord que la courbe passe par l’origine. Maintenant cherchons si y est susceptible d’un maximum ou d’un minimum. Nous aurons (voy.Mixima) en différentiant l’équation proposée

dy 2b(a — x)

dx dE: AV/9ax — x?

et, par conséquent, pour la condition du maximum ou du minimum,

ob(a— x) à

aV'2ax — x°

d’où

IL est facile de voir, sans chercher la seconde dérivée différentielle, que cette valeur de x répond à un ma-

ximum. Substituée dans l'équation , elle donne À == b.

Ainsi, depuis æ — 0 jusqu'à — a, les valeurs de y croissent de o à b; et en donnant à æ des valeurs plus grandes que a, celles de y deviendront plus petites que b. Si l’on fait x — 24, on trouve y — 0:

ILest donc visible que la courbe coupe l’axe des x en deux points ; et comme les valeurs de y croissent d’une manière régulière depuis o jusqu'à , et décroissent ensuite dela même manière depuis » jusqu’à o , il en résulte que cette courbe est parfaitement symétrique. C’est en effet une moiiié d’ellipse.

Mais cette valeur maximum qu’on trouve ici pour l’ordonnée d’une courbe , nous apprend seulement que le point de la courbe auquel elle se rapporte est plus éloigné de l’axe que ceux qui le précèdent et que ceux

qui le suivent; elle ne nous indique pas si ce point est un point ordinaire comme + dans la figure 2, pl. 55, ou un point de rebroussement comme x dans la fig. 3. Pour reconnaître un point singulier, il devient donc nécessaire d'examiner plus à fond la marche croissante ou décroissante des ordonnées.

Or, lorsque la courbe tourne sa concavité vers laxe des x, il est facile de voir que, dans la portion dont tous les points s’éloigaent de plus en plus de cet axe, les ac- Par exemple , en faisant croître l’abscisse AP (PI. 53, fig. 4)

croissemens des ordonnées vont en diminuant.

des quantités égales PQ et QR , l’ordonnée Pr, devient Qz et ensuite Ro, c’est-à-dire qu’elle croit successivement de bnet de do. Mais bn est plus grand que do ; car si du point »? on mène la tangente xc, cette tangente rencontrera l’ordonnée Ro prolongée en un point €, hors de la courbe; et comme, en supposant l'arc mn infiniment petit, on peut considérer z2ne comme une seule ligne droite, les deux triangles mb, ndc sont égaux et l’on a nb — cd; ainsi puisque cd est évidemment plus grand que do , on a aussi bn => do. Il est donc vrai que les différences infiniment petites dy, vont continuellement en décroissant tant que la courbe s'éloigne de l'axe desx , c’est-à-dire que les différences secondes ou les dy sont négatives. Le contraire a nécessairement lieu dans la portion æN (fig. 2) qui se rapproche de l'axe. Ainsi au point + , les d'y deviennent positives de négatives qu’elles étaient auparavant.

Les mêmes circonstances se reproduisent d’une manière inverse lorsque la courbe tourne sa convexité vers l'axe des æ. En effet, on voit à l'inspection de la figure 5, et par les considérations précédentes, que les ordonnées successives Pi, Qn, Po ont des différences croissantes , car do est plus grand que de, et par conséquent plus grand que bn, c’est-à-dire que les dy vont en croissant, ou que les différences secondes d'y sont posilives. Daus la portion de courbe qui se rapproche de l’axe des æ, comme æN (fig. 3), ces secondes différences deviennent donc négatives.

Il résulte, d’abord, de ces propriétés, que si la courbe a un point d'inflexion x (fig. G ets), c’est-à-dire un point où de concave elle devienne convexe, et ice versa, les différences secondes d'y deviendront à partir de ce point æ, positives de négatives qu'elles étaient avant, si les ordonnées vont toujours en croissaut; ou négatives de positives, si les ordonnées vont toujours en décroissant, Or, une quantité variable ne peut changer de signe sans passer par zéro ou par l'infini, donc au point x on a

dy —=0o,ou d'y = ©,

Il en serait de même pour le point x des courbes (fig. 2et 3), mais les ordonnées deviennent décrois-

PO

santes à ce point , tandis que dans celui des courbes (fig. 6 ets), elles continuent de croître. On pourra donc distinguer le point d’inflexion de celui de rebroussement, en ce que l’ordonnée du point d’iuflexion n’est ni un 22axinmuun , Di un minimum, tandis que celle du point de rebroussement est l’un ou l’autre.

Quelques exemples vont éclaircir cette théorie. Proposons-nous de trouver le point d’inflexion de la courbe

dont l’équation est a = y +) une première différentiation nous donne

2&x.dx

et, une seconde,

(onyx Gé xd

dy —

en considérant dx comme constant.

En égalant cette seconde différence à zéro, nous obtenons, après avoir fait disparaître les facteurs et le dénominateur communs

ouai — ha xt — Gr —o, d’où, en divisant par a + x, da — 6x? = 0

équation qui donne