LT

Cette abscisse est celle d’un point d’inflexion ; car en substituant sa valeur dans celle de dy, le résultat ne devient pas zéro; ce qui nous apprend que l’ordonnée correspondante n’est ni un #aæémunm, niuu PNEU : condition du point de rebroussement. Faisant donc AC

(fig. 8) égale à la moyenne proportionnelle entre a

et - 4, l’ordonnée correspondante CD rencontrera la

courbe au point cherché.

Cherchons maintenant le point de rebroussement de

la courbe dont l'équation est y =a— bx—c)

nous avons d’abord

et ensuite

PO

En égalant cette dernière valeur à o, on n’en peut rien conclure pour la valeur de æ, mais en la faisant égale à & onentire x —c. C’est l’abscisse d'un point de rebroussement ; car, en la substituant dans dy, on trouve EE æ,ce qui nous apprend que l’ordonnée correspondante est un #7aximum. La courbe de l'équation proposée est celle de la fig. 3.

Pour distinguer un point de rebroussement, tel que celui dont nous venons de nous occuper, du point x de la courbe fig. 2, il faudra reconnaître la nature de Ja courbe en discutant les valeurs de y aux environs de ce poiut.

Où nomme eu général pornts multiples ceux où plu: sieurs branches d’une même courbe se réunissent ou se rencontrent, et particulièrement points doubles, triples, etc., selon le nombre des branches.

Pour examiner les caractères auxquels on peut reconnaître ces points, soit nom'zn'm (PI. 53, fig. 0) une courbe dont deux branches au moins se coupent au point o. l est évident que pour chaque abscisse AP — x, il répond, excepté au point o,un certain nombre de valeurs Pm, Pr’ pour Fordonnée y, c’esta-dire que l'équation de la courbe devant être telle qu'à chaque abscisse répondent plusieurs ordonnées, les diverses ordonnées du point o sont égales entre elles.

De même Ay étant l'axe des ordonnées, ü faut qu'a chaque ordonnée Ag, répondent généralement plusieurs abscisses gn", qn', gn, èt que ceiles qui répondent aux branches qui do vent se rencontrer deviennent égales à ce point de rencontre.

Donc si l’on représente par a la valeur de x et par b celle de y qui conviennent au point multiple, l’équation de la courbe doit être telle que lorsqu'on mettra a pour x on trouve pour y autant de valeurs égales à b qu'il y a de branches qui passent par le point multiple, et que lorsqu'on y mettra » pour y, on trouve un même nombre de valeurs 4 pour x.

Il suit de Jà que la forme générale de l'équation d’une telle courbe est (1)

À (æ— ay LB (x—a}"—1 (y—b)

+ C(x—a) m2 (y—b} + ete... LE Z (y—b)e — 0 m, exprimant le degré de multiplicité du point en question , et À, B, C, etc., étant des fonctions quelconques de x et de y.

En effet, si l’on fait x — à, l'équation se réduit à

équation qui à 7» racines y = b; et si l'on fait y —b, elle devient A (x— a)" — 0

équation qui à également 72 racines x — «.

Or, en prenant les différentielles successives de l’équation (1), il est visible que celle de l’ordre »: ne contiendra plus aucun terme affecté des facteurs x—a , æ—b; tandis que toutes celles des degrés inférieurs contiendront nécessairement ces mêmes facteurs. Donc, lorsqu'il y a un point multiple les différentielles premières, secondes, etc., doivent s’anéantir toutes lorsqu'on y fait x = a et x — b, excepté celle dont l’ordre est marqué par 72.

Il en résulte 1° qu’au point multiple on ne peut avoir la valeur de la dérivée : exprimée autrement que par 2 si ce n’est par la dernière équation différentielle; 2 qu’on obtient la dernière équation différentielle en différentiant la proposée 2 fois de suite.

Ainsi pour trouver les valeurs de x et de y qui répondent aux points multiples dans les courbes qui ont de tels points, il faut différentier l'équation de la courbe, en tirer la valeur de . , et égaler ensuite séparément à zéro le numérateur et le dénominateur de cette quanüté. Pour s'assurer ensuite s’il existe véritablement un point multiple, on substituera les valeurs trouvées pour æ et y dans l'équation de la courbe ; car dans ce cas elles doivent satisfaire à cette équation.

Pour connaitre ensuite le degré de multiplicité du point, on différentiera successivement l’équation de la courbe jusqu'à ce que la substitution des valeurs trouvées n’anéantisse plus tous les termes de l'équation différentielle. Alors le nombre des différentiations qu'il aura fallu faire pour arriver à ce résultat sera le nombre de multiplicité du point.

Proposons-nous, par exemple, de trouver, s’il y en a, les points multiples de la courbe dont l'équation est

Ji — axy* + bxi = 0.

On obtient en différentiant 4y°dy —2axydy — aydx+ 3bxdx =0, d’où

dy 4y°—2axy dx 3bx? — ay?

faisant donc

4ÿ$ — 2axy = 0, 3bxt — ay — 0 la première équation donne J=0,ety—=+:Vax.

La valeury — 0, substituée dans la seconde équation donne 3bx— 0 , d’où x — 0. Or, les deux valeurs

x —0,7=—=0 satisfont à la proposée ; ainsi la courbe

540 PO a un point multiple dans l'endroit de ces valeurs, c’estàdire à l’origine des coordonnées.

Quant à la seconde valeur y —ÆV/ax , en la substi-

tuant dans 3bx? — ay? — 0, ona 3bx2 — +@xX —=0

qui donne

mais les valeurs y — 4V/ax etx — 0, ou y —:V/ax

a ; ; ' rs à ne satisfont pas à la proposée; ainsi il

et x—= — ; À . ; at n’y a d'autre point multiple que celui qui est à l'origine. Pour connaître le nombre de multiplicité de ce point, différentions une seconde fois la proposée, en considé-

rant dx et dy comme constants, nous obtiendrons 19y2.dy—2ax.dy?—o2ay .dxdy— 2aydxdy + 6bxdx?

dont tous les termes s’anéantissent en faisant x = 0 et 3 —0. Différentions une troisième fois, nous aurons

24y dy} — 2adxdy"— 2adzdy — sadxrdy + 66dx* qui se réduit à GbdxŸ —- Galxdy?

en faisant æ —0, y — 0. Comme cette différentielle troisième ne s’anéantit pas , le point en question est un point triple. La forme de la courbe à laquelle il appartient est celle de la fig. 10.

La théorie des points singuliers contient encore un grand nombre de cas remarquables pour lesquels nous devons renvoyer à l'Analyse des lignes courbes de Cra-

mer, et au Traité de calcul différentiel de Lacroix.

POISSONS. (451.) Nom du douzième signe du zodiaque, marqué X , et d’une constellation composée de 113 étoiles, dans le catalogue de Flamsteed. Des deux poissons qui forment cette constellation, l’un est appelé septentrional et l'autre méridional.

POISSON AUSTRAL. (451) Constellation méridionale qui renferme une étoile de première grandeur nommé fomalhaut. Elle est composée de 14 étoiles dans le catalogue de Flamsteed.

POISSON VOLANT. (4se.) Petite constellation méridionale introduite par Bayer. (Foy. CoxsrrLLarton.)

POLAIRE, (454.) Se dit en général de tout ce qui a rapport aux pôles du monde.

L'étoile polaire est la dernière étoile de la queue de la petite ourse, elle fut ainsi nommée par les premiers observateurs qui remarquèrent que le ciel parait tourner autour du point qu’elle occupe. Elle est en effet

PO si près du pôle, que le petit cercle qu’elle décrit est presque insensible , de sorte qu'on la voit toujours vers

le même point du ciel; cependant la distance de cette

étoile au pôle change annuellement. (Joy. Pnicession.)

On nomme cercles polaires, deux petits cercles de la sphère voisins des pôles. (Foy. ARMILLAIRE, 21.)

En géométrie , lorsqu'on rapporte une courbe à un point fixe d’où l’on fait partir toutes les ordonnées, l’équation qui exprime la relation entre ces ordonnées et leurs distances angulaires à l’axe prend le nom d’Équi- TION POLAIRE, parce qu’on considère ce point fixe comme un pole. ‘

Pour fixer les idées , considérons une courbe MN (PI. 53, fig. 12), etun point arbitraire P, pris pour pôle. Si de ce point on mène d’abord une droite AB qui représente l'axe, puis des ordonnées Px, Px', Px”, etc. , à tous les points de la courbe, il est évident que si l’on établit une relation générale entre une ordonnée quelconque Px et l'angle xPB qu’elle fait avec l’axe, cette relation ayant lieu pour tous les points de la courbe, représentera cette courbe tout aussi bien que celle qui peut exister entre ses coordonnées rectilignes.

Les ordonnées particulières Px, Px' etc., prennent le nom de rayons vecteurs. Ces rayons et les angles qu'ils font avec l’axe se nomment coordonnées polaires.

Lorsqu'on connait l'équation d’une courbe en coordonnées rectilignes, on peut aisément trouver son équation en coordonnées polaires et vice versa. Nous allons indiquer le procédé de cette transformation.

Soit MN (PI. 55, fig. 13), une courbe quelconquerapportée aux axes coordonnées AX , AY faisant entre eux un angle quelconque , et dont l'équation soit