Sin(a—8—v

Sin x

Ez — F2: sinzPE .2.sin(v+5) sinPEz 4

sin x

et, par suite , (1)

z.sin (2—f85—+v)

ait En substituant ces valeurs der et y dans l'équation J (x,Y) = 0, on obtiendra l'équation polaire.

Si les axes sont rectangulaires, comme alors x — 90°, les formules deviennent simplement (2)

—a—+z.cos(v+6), y = b+ z.sin(v+5)

Elles se simplifient encore si l’on prend l’axe polaire parallèle à l’axe des x, car on a dans ce cas& — 0, et elles deviennent (3) :

æ—=a+z.cosv, y b+7z.sine.

Enfo, si l’on prend pour pôle l'origine même des coordonnées rectangulaires , ces formules se réduisent à (4)

D —= 3,005V ,Y —7.Sin V',

puisque a et b disparaissent.

Pour montrer l'application de ces formules, proposons de trouver les équations polaires des sections coniques , rapportées à leurs foyers comme pôles.

Le foyer de la parabole étant situé sur l'axe, à une distance du sommet égale au quart du paramètre, nous avons pour cette courbe, p désignant le paramètre

de DS

et, par conséquent , d’après (3) PE St + zcosv, y — z.sin v.

Mais l’angle v doit être compté à partir de l’origine ; il est donc réellement le supplément de celui qui entre dans ces formules, et l’on doit ychanger cos v en — cos v. Opérant ce changement et substituant les expressions précédentes dans l'équation de la parabole (Voy. ce mot)

f} = px on trouve

: 1 2? .Sin?v — 10 — p:.3.C0S v

ou (1 — cos’v) 2° + pz cos v LP = 0.

En résolvant cette équation du second degré, on ob. tient ces deux valeurs de z

La valeur positive se rapporte à l'une des branches et la valeur négative à l’autre , en considérant comine positifs les ravons vecteurs situés d’un côté de l’axe, et comme négatifs les rayons vecteurs situés du côté opposé. Mais sans tenir compte de la situation du rayon vecteur, la première valeur de z peut donner à elle seule tous les points de la parabole, en faisant varier » depuis o jusqu’à 360°.

Dans l'hyperbole, dont l'équation rapportée au centre est

dx =bar—æb,

la distance du foyer au centre étant égale à V/a°,+b° (voy. Hypersorr); si nous désignons cette distance

ar C, nous aurons d’après les expressions (3) ) 19 LT =C—2C0$V, y —7.sinv,

en donnant à cos v le signe — , pour la même raison que ci-dessus. Ces expressions substituées dans l'équa-

tion de la courbe, donnent après toutes les réductions

ct — a c— a

a + b. cos v

a —C. cos

La discussion de ces valeurs montre qu’elles se rap-

q P portent aux quatre branches del’hyperbole. Nous avons donné au mot Erurse, l'équation polaire de l’ellipse ,

en la déduisant de considérations directes.

POLE. On donne ce nom, en astronomie, aux deux extrémités de l’axe sur lequel la sphère céleste parait tourner ; et, en géographie , aux deux extrémités de l'axe de rotation de la terre. En général, les pôles d’un grand cercle d’une sphère sont les deux points de la surface de la sphère également éloignés de tous les points du cercle. Ainsi :

Les pôles du monde ou les pôles de l'équateur sont éloignés del’équateur de 00°. L’un se nomme pôle arctique, septentrional, borcal ou pôle-nord ; c'est celui qui est élevé au-dessus de notre horizon. L'autre se nomme pôle antarctique, méridional austral, ou pôle-sud. Les pôles de la terre portent respectivement les mêmes noms que les pôles célestes auxquels ils correspondent.

Les pôles de l'écliptique sont éloignés des pôles de

l'équateur d'une quantité égale à l'inclinaison de l'é-

cliptique.

Le zénith et le nadir sont les pôles de l'horizon. L'est et Fouest sont les pôles du méridien. (Foy.