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etc.
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Ainsi, pour reconnaître si un nombre A est premier,
il faut lui ajonter successivement les carrés de tous les
< ; , ÀA— à nombres naturels depuis 1 jusqu'à —-, et si aucune ‘»
des sommes, à l'exception de la dernière, n’est un carré parfait, on sera assuré que ce nombre est premier. Voici un exemple de calcul pour le nombre 17e
carrés. sommes, 179 1, = 18 17 + 4 = 17 + 9 — 926 17 16, =. 33 17 + 25 = 42
eo © cr O0
Ainsi aucune des sommes, excepté la dernière, celle de
17 + (=), n'étant un carré parfait, 17 est uu
nombre premier.
Oa peut simplifier le calcul en ajoutant successivement à la première somme les différences des carrés ou la suite des nombres impairs 1, 3, 5, 7,9,etc.; on ob-
tiendra de cette manière :
ns Î œ
18 + 3 — 21 21 + 5 — 26 26 + 7 — 33 33 + 9 — 42 42 Hi — 53 66 + 15 — 81 — 9
Ce qui réduit l’opération à une addition successive. Proposons-nous de déterminer si ot est un nombre premier. Eu opérant comme ci-dessus, nous aurons
Il n’y a pas besoin de poursuivre le calcul, car la troi-
sième somme étant un carré parfait, celui de 10, g1,ne peut être un nombre premier.
La dernière égalité qui revient à
91 + 9 = 100, ou 91 + 32 — 10°
peut servir à déterminer les facteurs de 91, caron en tire 2— 3 — (1043) {10—3) — 13 X 7.
On peut se rendre compte de la propriété sur laquelle est fondée cette méthode, en remarquant que si l’on a
A+ B'=C;, on doit avoir aussi A = C? — B: — (C+B) (C—B).
Ainsi, Cet B étant des nombres entiers, C4-B et C—B sont aussi des nombres entiers, et À, se trouvant formé par le produit de ces derniers, ne peut être un nombre premier que dans le cas où C—B=—7+, ce qui donne
est donc le
C+B=A et B— Be, le carré de
seul dont la somme avec A puisse être un carré parfait, lorsque A est un nombre premier.
=) est le plus
grand carré qui, ajouté à A, puisse former un carré parfait et, par conséquent, que l’on n’a pas besoin ,
Ilest visible, en outre, que (
PR
dans l'opération précédente, A—1
d'essayer les carrés des
nombres au-dessus de
Fermat a laissé plusieurs théorèmes curieux sur les nombres premiers; voici le principal : si » est un nombre premier et x un nombre quelconque non divisible par n, la quantité x —1—1 sera divisible par n.
Un autre théorème non moins célèbre est celui de Wilson :
par n. Cn a été publié par Waring, dans ses Wéditations
sin est un nombre premier, le produit 1.2.
(n—1) augmenté de l'unité, sera divisible
algéb. ; mais ni lui ni Wilson n'avaient pu le démontrer ; c’est Lagrange qui en a donné la première démonstration. (Nouv. Mémoires de Berlin, 1751.)
Si les produits de la forme 1.2.3.4.5.6... (n—1) n'augmentaient pas avec une extrême rapidité, à mesure que le nombre des facteurs augmente, le théorème de Wilson offrirait le procédé le plus simple et le plus direct pour reconnaître si un nombre est premier ou s'il ne l’est pas, car il suffit d'ajouter une unité au produit 1.2.3.4.5... (a—1) cet de diviser ensuite par 2: lorsque la division peut s'effectuer exactement, n est un nombre premier; dans le cas contraire n est composé ; mais le produit r.2.3.4.5... (n—1) atteint si promptement une grandeur énorme que ce procédé devient bientôt impraticable, En effet, pour les nombres 13 et 17, qui sont de très-petits nombres, il faut
déja former les produits 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12 — 4790016c0 ER
On tire de ce théorème les deux suivans, également remarquables :
I. Tout uombre premier #, compris sous la forme 4mæ+1, divise exactement la quantité
I. Tout nombre premier », de la forme 41 +5, divise exactement la quantité
(re2.3.4.... ) — 1
exactement l’une ou l'autre des
Ainsi z doit diviser deux quantités
Fist
