Considérons maintenant 10 épreuves, comme les 3 de

2 à 10 sont 6, etles = , 4, nous avous à embrasser tous les

événemens dans lesquels se trouvent au plus 6 croix et au moins 4 piles , événemens dontle nombre des chances est donné par la partie

2r1o0abi + 252ab5 + o1oatbt du développement du binome (a +4), Ce nombre

des chances est donc 672, et la probabilité cherchée

; G72 G72 5 r te ES ç a devient ST jo nombre plus grand que 8°

Pour 20 épreuves, comme les = de 20 sont 12, et

Et ©

les 50 8, nous aurons à considérer, dans le développe ment de (a + b)°°, la partie 12597040? + 1650960a"b9 + 184756abi + 16796oab11 EL 12595oab"2

qu nous donne 572616 pour le nombre des chances.

PR La probabilité demandée est donc

nombre plus grand que Hi

Pour 100 épreuves, la probabilité devient environ

Seed

et elle peut ainsi se rapprocher à l'infini de l’unité

ou de Ja certitude. Si l’on choisissait des limites plus ; 3 2 ne RE L rapprochées que : et 5° la probabilité croiîtrait moins

rapidement, mais elle se rapprocherait encore à l'infini de l’unité.

La démonstration générale de la proposition de Bernouilli exige des détails qui ne peuvent trouver place

23. Avant que le calcul des probabilités formät un corps de doctrine , il était généralement convenu, dans les jeux de hasard , que la mise de chaque joueur devait être proportionnelle au nombre des chances qu’il a de gagner ; c’est-à-dire, par exemple, qu’un joueur qui pariait pour la sortie d’une face désignée dans le jet d’un dé ordinaire, contre un autre joueur qui prevait en sa faveur les cinq autres faces, ne devait déposer au jeu que la cinquième partie de cequ’y mettait son adversaire. La justice de cette convention, qui parait d’abord toute naturelle, devient bien plus évidente lorsque le calcul nous démontre qu’en multipliant indéfiniment les épreuves , chaque événement simple doit arriver dans le rapport de sa probabilité, et qu’ainsi celui qui parie pour une des faces du dé doit à la longue rencontrer juste une fois sur six , ce qui finit par compenser exactement la perte et le gain, condition nécessaire de tout pari équitable. Mais si le simple bon sens est suffsant pour régler la mise des joueurs, dans les jeux dont les chances sont peu nombreuses et facilement déterminables, il n’en est point ainsi pour les jeux très-compliqués, et même pour les diverses conventions dont les jeux simples sont susceptibles. Comme ce sont les questions de cette espèce qui ont donné naissance au calcul des probabilités, nous crovons devoir leur consacrer quelques mots.

On nomme règle des partis la règle d’après laquelle, si un jeu est interrompu avant le coup final, le partage de la somine déposée par les joueurs doit être fait entre eux. Pour que ce partage s'effectue d’une manière équitable, chaque joueur doit nécessairement recevoir une somme proportionnelle à la probabilité qu'il a de gagner le dernier coup qui n’est pas joué. Voici le plus simple des problèmes auquel s'applique la règle des partis :

Dans un jeu de hasard composé de deux chances

PR

parfaitement égales, deux joueurs, jouant à qui aura gagné le premier trois coups se séparent sans terminer , lorsque le premier en a gagné deux et le second un; on demande comment ils doivent partager lu mise ou l’enjeu.

Ce problème fut proposé à Pascal et à Fermat par le chevalier de Méré , qui n'avait pu le résoudre. Roberval y échoua aussi quoiqu'il füt un autre géomètre que ce chevalier, dont on ne connaît aujourd'hui que les faux raisonnemens sur les probabilités , rapportés dans une des lettres de Pascal, Voici la solution de ce dernier.

Lorsque deux joueurs, dit Pascal, ont déposé leurs mises, c’est-à-dire, qu'ils ont abdiqué la propriété pour en remettre la décision au sort, et qu'après quelques coups ils veulent se séparer sans attendre la fin du jeu, il est évident que, s'ils étaient égaux en points, ils auraient l’un et l’autre une égale espérance de gagner, un droit égal sur la somme déposée; ils devraient donc la partager également. Mais si avant le dernier coup qui lesa mis but à but, ils eussent voulu se séparer, le joueur le plus avancé en points eàt pu dire : Si je perds le coup prochain, nous sommes but à but; et en cessant alors le jeu j’emporterai la moitié de la mise totale; voilà donc déjà une moitié de cette somme qui m’appartient, quel que soit l'événement du coup qui va suivre ; ce n’est donc que l’autre moitié de la somme qui va être mise à la décision du sort; ainsi le coup que nous allons jouer pouvant m'être également favorable ou contraire, j'ai droit à la moitié de cette moitié, ce qui, joint à la moitié déjà acquise, fait les trois quarts de la somme déposée.

La solution de Fermat est plus directe et donne une méthode pour se diriger dans les questions semblables. Au point où en est la partie, dit-il, il est évident qu’elle sera terminée en deux coups au plus. Voyons donc quelles seront toutes les différences alternatives de gain ou de perte qui peuvent arriver en deux coups; le premier joueur peut d’abord les gagner tous deux , ou perdre le premier et gagner le second, ou gagner le premier et perdre le second, ou les perdre tous deux ; ainsi toutes ces alternatives peuvent être exprimées par les différentes combinaisons des lettres & et b prises deux à deux, et qui sont aa, ab, ba, bb. Or, de tous ces coups ou combinaisons de gain et de perte, ilyena trois favorables au joueur le plus avancé, et leur

nombre total n’est que de quatre; ainsi la probabilité

qu'il a de gagner est j? tandis que celle de son adver-