Jusqu'ici nous avons considéré le nombre des

chances qui donnent un événement comme entièrement connu, et nous avons déterminé à priori la probabilité de cet événement; nous allons maintenant supposer que ce nombre est inconnu, et que l’on n’a pour déterminer la probabilité de l'apparition future de l'évéuement que l'observation de ses apparitions antérieures.

Pour éclaircir ce nouveau point de vue, prenons l'exemple, donné par Condorcet, d'une urine qui renferme 4 boules, dont les unes sont blanches et les autres noires, mais dont on ignore combien il y en a de chaque espèce. Supposons qu’en 4 épreuves, après chacune desquelles la boule tirée a été remise dans l'urne , afin de conserver les mêmes conditions, on ait amené trois boules blanches et une noire, et proposons-nous de trouver la probabilité d'amener une boule blanche dans une cinquième épreuve.

566 PR Or, nous pouvons supposer que l'urne contient ou

3 boules blanches et x noire, ce qui donne a=3, b—1 Un

en désignant par a le nombre inconnu des boules blanches, et par b celui des boules noires.

Mais d’après (15) le nombre des chances de l'événement composé de la sortie de 3 boules blanches et d’une

boule noire est 4 &b

Ainsi substituant dans cette expression les valeurs de a et de b relatives à chacune des hypothèses, nous obtiendrons le nombre de chances qui, dans chacune de ces hypothèses, appartient à l'événement composé que

nous considérons, Nous aurons ainsi

et l'hypothèse qui donne le plus grand nombre de chances est aussi celle qui est la plus probable, puisqu'elle s'accorde le mieux avec la possibilité de l’événement observé.

Puisque les trois hypothèses embrassent tous les cas possibles , une d’entre elles a nécessairement lieu ; ainsi la somme de leurs probabilités doit être égale à l’unité, et comme, dans cet exemple, ces probabilités sont proportionnelles aux nombres 27, 16, 3, dont la somme

est 46, elles se trouvent exprimées par les fractions Le | 27 16 5

Pemarquons maintenant que pour tirer une boule blanche , duns une nouvelle épreuve, la probabilité de la

p'emière hypothèse étant E ,et celle d'amener une 4 )

boule blanche, dans cette hypothèse, étant 7 la pro-

ne te 27.0

babilité du concours de ces deux événemens est 46 X 3°

On à de même pour le tirage d’une boule blanche dans

. 16 2 ses

la seconde hypothèse -, €t dans la troisième

s 3 1 é Mo iS > hypothèse, — X —. Ces trois probabilités 27 X >;, : 46 4 46 ” 4

D. 3 1 = y doivent s'ajouter, car elles se rap- 36% 3 46 * 4 ie Do

portent à la même unité qui représente la certitude, et elles sont par conséquent trois parties de la probabilité demandée.

On a donc pour la probabilité de la sortie d’une boule blanche au cinquième tirage

On trouverait de la même manière pour celle de la sortie d’une boule noire

En analysant la marche que nous venons de suivre, on verra qu'elle repose sur les trois principes suivans :

I. Les probabilités des hypothèses établies sont proportionnelles aux nombres des chances que ces hypothèses donnent pour les événemens observes.

IT. Les probabilités des diverses hypothèses se forment en divisant le nombre des chances de l'événement composé, calculé dans chaque hypothèse, par la somme des chances dans toutes les hypothèses.

UT, La probabilité d'un nouvel événement simple s'obtient en formant la somme des produits des probabilités des hypothèses par celles de l'événement prises dans chaque hypothèse.

25. On peut, d’après les principes précédens, construire des formules générales applicables à tous les cas particuliers , et déduire ensuite de ces formules les lois des probabilités à posteriori. Mais ces formules, d’ailleurs très-compliquées , exigent l’emploi du calcul intégral , et leur déduction dépasse nos limites. Nous pouvons seulement signaler leurs principales conséquences,

Supposons, dans le cas de l’urne contenant quatre boules , qu’on ait fait quatre nouveaux tirages et qu’on ait encore amené trois boules blanches et une noire; alors nos données sont un événement composé de la sortie de six boules blanches et de deux boules noires, dont le nombre des chances est (15).

Es ah.

Donnant successivement à a et b les valeurs correspondantes à chacune des hypothèses, nous obtiendrons les

trois nombres 204125 708 1,» 252)

et comme la somme de ces trois nombres est 27822, les

probabilités des hypothèses devienuent

En les comparant avec celles qui résultent des quatre

premières épreuves :

on voit que la probabilité de la première hypothèse,

celle de trois blanches et une noire, est devenue beaucoup plus grande , tandis que les autres ont diminué.

Douze tirages, qui amèneraient neuf blanches et trois noires, feraient encore croître la probabilité de la première hypothèse et diminuer celle des autres ; et enfin , en admettant que dans un très-yrand nombre de tirages le rapport des sorties des boules blanches à celles des boules noires füt celui de 3 x 1 , ou n’en différät que de très-peu , l'hypothèse de trois boules blanches et une noire dans l'urne acquerrait une valeur d’autant plus grande ou différerait d'autant moins de la certitude que le nombre des épreuves serait plus grand,

Ceci résulte naturellement de la proposition fondamentale de Bernouilli, car puisque en multipliant les épreuves, la probabilité d'obtenir chaque événement simple dans le rapport du nombre de ses chances peut devenir aussi grande qu’on le voudra , il s'ensuit que , dans toute série d’événemens simples donnée , le rapport du wombre d’apparitions d’un des événemens au doit différer d’autant moins de Ja probabilité simple de cet événement que le

nombre total des événemens

nombre total des événemens est plus grand. Ainsi, en admettant que dans cent épreuves on ait tiré soixantequinze boules blanches et viugt-cinq noires, l'hypothèse qui donne pour probabilité simple à la sortie

m5 3 blanche ——— ou -

degré de probabilité; ce degré augmente si, sur deux

d'une boule acquiert un grand

cents épreuves , on amène cent cinquante boules blanches , et il finirait par arriver à l’unité ou à la certitude, si le nombre des épreuves devenant infini, celui de la sortie des boules blanches en était toujours les trois quarts.

Ce résultat, qui se démontre d’une manière trèsrigoureuse , est d'une haute importance dans le calcul des probabilités à posteriori , il prouve qu’on peut toujours désigner un nombre d'observations tel que la probabilité simple qui en résulte , pour un événement dont on ne connaît pas le nombre des chances, ne s’écarte pas de la probabilité exacte de cet événement audelà de limites données , qaelque resserrées qu'elles soient; et c’est sur lui que reposent les théories sur la vie humaine, les tontines, les assurances, les rentes viagères , la probabilité des témoiguages , celle des jugemers par jury, etc.

26. Le problème des rentes viagères est celui qui montre de la manière la plus évidente l'utilité du calcul des probabilités , car constituer une rente viagère sur la tête d’un homme d'un âge donné, c’est stipuler avec lui qu’on reçoit son argent sous la condition qu'on lui en paicra l'intérêt légal avec un surcroît d'intérêt à imputer sur le capital, et qui soit tel qu’à sa mort il se trouve entièrement remboursé, intérêts et capital.

PR 567 Ainsi, le problème se ramène à la détermination du nombre d'années qu’a‘probablement à vivre un homme d’un âge connu ; mais cette détermination ne peut être effectuée qu'à posteriori; car ce n’est que l’observation qui peut nous apprendre combien sur un nombre d’hommes qui naissent en même temps, 1l y eu a qui parviennent à l'âge le plus avancé ; et, d'après ce qui précède, il est nécessaire d’avoir un très-grand nombre de ces observations pour parvenir à des résultats d’une probabilité suffisante. Ces questions seront traitées ailleurs. (Foy. Vie et Vracrr ; Voy. aussi AssuRANCE et ToxrinE.)

27. Les applications du calcul des probabilités aux questions judiciaires et politiques ont été traitées par Condorcet, dans son Essai d'applcation de l'analyse aux decisions qui se donnent à la pluralité des voix. Cet écrit remarquable contient des conclusions que les législateurs ne sauraient trop méditer.Dans notre impossibilité de donner plus d’étendue à cet article, nous devons au moivs indiquer à nos lecteurs les sources principales où ils peuvent puiser. Ce sont : l’Ars conjertandi de Bernouilli ; l’Æssai d'analyse sur les jeux de hasard de Moutmort; The doctrine of chances de Moivre ; l'Essar sur la probabilité de la vie humaine de Deparcieux ; les Recherches sur les rentes, les emprunts, les remboursemens, etc. de Duvillard ; le Traité elémentaire du calcul des probabilités de Lacroix; et enfin la Théorie analyrique des probabilités de Laplace, ouvrage jusqu'ici le plus complet et le plus profond.

M. Poisson, qui s’est beaucoup occupé de la théorie des probabilités, a lu dernièrement, à l'Iostitut , un mémoire qui parait contenir des vues nouvelles et des lois très-importantes. La haute réputation de ce géomètre , un des premiers de notre époque , fait désirer vivement la prompte publication de cet écrit.

PROBLÈME. Proposition dans laquelle on se propose un but à atteindre, comme, en géomctrie, de construire une certaine figure , et, en algèbre, de trouver un nombre qui satisfasse à certaines conditions,

(Foy. Résozuriox.)

PROCLUS, chef de la secte néo-platonicienne, est célèbre dans l'histoire de la science pour avoir transporté à Athènes l’enseignement supérieur des mathématiques , qui jusqu'alors avait été le partage de l’école d'Alexandrie. Cet événement eut lieu vers le milieu du cinquième siècle de notre ère. Ce philosophe, qui, comme l'illustre maître dont il professait les doctrines, plaçait avec raison les mathématiques au premier rang des connaissances humaines, n’a point fait de découvertes remarquables dans ces sciences, mais il contribua du moins, à une époque de décadence, par ses travaux et ses leçons, à en perpétuer l'éclat quelque temps en-

core. Tous les ouvrages de Proclus nous out été conservés; ceux qui ont pour objet les mathématiques n'offrent aujourd'hui qu’un intérêt secondaire; ce sont deux livres intitulés : Du mouvement, imprimés d’abord à Bäle, en grec (15371, in-5), ensuite traduits en français par Forcade et imprimés à Paris (1563). Cet ouvrage n’est qu’une reproduction des théories d’Aristote en physique. IT. Des scholies ou commentaires sur le premier livre des Élémens & Euclide. Padoue, 1560, in-folio, traduction latine de Barocci. II. Traité de la sphère, imprimé par Alde à Venise, 1499, in-folio. Ce n’est que Ja reproduction à peu près littérale de louvrage de Geminus sur le même sujet. IV. Et enfin : Positions astronomiques ou plutôt Æxposition des hypothèses astronomiques de Ptolémée. Bâle, 1540, in4, traduction française de l'abbé Halma, Paris, 1820. C'est plutôt un abrégé qu'un commentaire de l’4/mageste. Les ouvrages philosophiques de Proclus sont plus importaus et ont un caractère plus prononcé d'originalité et de talent. Un écrivain moderne, à qui l’on doit déjà une version des principaux écrits de Platon, en a récemment publié une traduction française dont nous avons point à apprécier le mérite.

On croit que Proclus, né à Xante ou à Constantinople, le 8 février 412, est mort à Athènes, où il reçut des honneurs funèbres qui rappellent l’enthousiasme de la Grèce antique pour les hommes de génie,

le 13 janvier 454.

PROCYON. (454) Nom d’une étoile de la première

grandeur renfermée dans la constellation du petit chien.

PRODUIT. (4ig. et Arith.) Résultat d’une multiplication. (Voy. ce mot.)

PROFONDEUR. (Geom.) Une des trois dimensions des solides; on la nomme autrement hauteur. (Foy. ce

mot.)

PROGRESSION. (4/g.) Suite de nombres en proportion continue, c’est-à-dire , dont chacun est moyen proportionnel entre celui qui le précède et celui qui le suit. (Woy. Maru. 7 et Proronrion.)

Une progression est dite arithmétique où géométrique selon que le rapport qui règne entre ses termes est arithimétique ou géométrique. Nous allons examiner ces deux classes de progressions.

PROGRESSION aArITaMÉTIQUE. Une suite de termes comme

2,4: 070, 105112 ,N74, etc.

qui croissent par différences égales se nomme progression croissante ; et une suite comme

275 26% 25:, 24; 23,292, 91, etc.

qui décroïssent pat différences égales ; se uomme pro-

gression décroissante.