Représeutons par a, bc; d; ef; .e,th,etc
une progression arithmétique quelconque croissante ou décroissante. Si 9 représente la différence constante , nous aurons
si la progression est décroissante, et
si elle est croissante. Dans le dernier cas, auquel on peut ramener le second en renversant l’ordre des termes, on a, d’après la nature de la progression
b— a—= ù Ce — b = à d—c—=û e—d—0 ct. — etc.
ou encore
Îl
d+Li—e etc. — etc.
On tire de ces dernières :
b=a+i c=a+i+i d=a+i+i+o) e=a+i+i+o etc. — etc.
c’est-à-dire, que chaque terme est égal au premier plus autant de fois la différence qu’il y a de termes moins un avant lui.
Uue progression croissante peut donc s'exprimer en
général par (a) La, a+9,a+Hod, a+39, a+ 49, etc... a H(n—1)d
n étant le nombre des termes. Cette expression a l’avantage de rendre sensible la construction des termes. 2. Quant aux progressions décroissantes , on voit aisé-
ment qu’on peut leur donner aussi la forme générale
a, a—9,a—2,a—30,a—4ÿ,etc.…. a(n—1)d.
Ainsi la forme (a) peut embrasser les deux cas en fai-
sant 9 positif ou négatif.
b] PR 3. Dans une progression arithmétique quelconque,
croissante ou décroissante , que nous désignerous par —— jy Ai À Ajy jy An, CC... Ame
deux termes quelconques a», am—n pris à égales distances des deux termes extrêmes &,, et &n, forment avec
ces extrèmes la proportion An — dj = Am — Ann.
En effet, on a
An = 6€o + no amn = @, + (min) Am 4, + M d’où An— 4 = 4, + ni — a, = ni Un— Am=n = 4 + MN — a, — (mn) = nd
et, par conséquent , ax — 4, = Am— Am-n.
4. On tire de cette égalité à, + an — an + Gm-n, c’est-à-dire que la somme de deux termes quelconques d’une progression arithmétique, pris à égales distances des extrèmes , est toujours égale à la somme de ces extrêmes.
Si la progression avait un nombre impair de termes, celui du milieu serait moyen proportionnel entre les extrêmes, et la somme des extrêmes serait le double de ce terme moyen.
5. Il résulte de cette propriété que la somme de tous les termes d’une progression arithmétique est égale à la moitié du produit de la somme des extrêmes multipliée par le nombre des termes.
Car, en renversant l’ordre des termes de la progression
— Go is À y A, , CÙC... Am, Am on a
— Am m1, Am—oy CC. Ar y Co
et en ajoutant les termes correspondans de ces deux suites , on a les sommes égales
a-am = di — ami = 43 + Am) = etc. = Am—1 +- &i = Am + &o-
Or, en additionnant toutes ces sommes, on aurait évidemment pour résultat deux fois la somme de tous les termes de la progression : ainsi, puisque ces sommes sont égales et qu’elles sont au nombre de »? +1, en multipliant par rm + 1 une quelconqued'entre elles, on aura la somme générale, Donc (4, + a).(m-H1) étant cette somme générale, on a pour celle de la progression , en la désigoant par S, l'expression (b) TONE HI,
PR
nl ; S = (+1) (as + Gm), ce qui est la proposition énoncée.
6. Appliquons cette formule à trouver la somme des seize nombres en progression arithmétique,
Nous avonsici à, = 1, 4m = 31, m—1—16et 9 — 2. Substituant dans (b), nous obtiendrons
