On demande la somme des carrés des nombres

impairs 1, 3, 5,7, Q, 113; ces carrés sont

En prenant les différences consécutives de ces nombres on trouve la suite

dont les différences 5, 8, 8, 8

sont égales. Les nombres proposés forment douc une

progression du second ordre. Ainsi dans la formule {g)

n° 15, faisant A, = 1, D, —8,D, —8, nous obtiendrons 6.5 6.5.4 - S = 6: — 8 2.8 — 256 » 6.) + . DE CRT 8 Le

20. On demande l'expression générale de la somme des carrés des nombres naturels :

30, etc...

Nous avons ici À, — 1, D

nn NO, 10, 29;

— 3; D: Substituant ces valeurs dans la formule (g), elle devient

= mn +

ce (m—3) (m—2) + qe (m—1) + 6m]

m(m+i)(2m+ ir)

Ainsi , pour avoir, par exemple, la somme des 10

carrés

PR 1, 4, 9, 25, 36, 49, 64, 8r, on fera »m — 10, et la dernière expression donnera

ses 1:29 mu

385 est donc la somme demandée.

»1. Trouver l'expression générale de la somme des

croisièmes puissances des nombres naturels :

1, 8, 27, 125, etc.

Les premières différences sont

Jr 19 37, 61, etc.

les secondes

12, 18, 24, etc.

et les troisièmes

6, 6, etc.

Les troisièmes différences étant égales, les nombres proposés forment une progression du troisième ordre ; —7,D =12et D, =6, et substituant ces valeurs -dans la formule (i) on aura

ainsi faisant A — 1, D

SL me m—3) EE

Réduisant tous les termes au même dénominateur 4, la somme des numérateurs peut se mettre sous la forme mf4 + 14 (m—1) + 8 (m—1) (m—2) + (m—1) (m—2) (m—3)]

Développant les produits et réduisant, on obtient définitivement

CEE [ (mm + à

Ainsi, par une particularité assez remarquable, la somme des troisièmes puissances des 72 premiers nombres naturels est égale au carré du nombre figuré du second ordre, du rang 7.

S'il s'agissait donc de la somme des 6 cubes 1, 8, 27, 64, 125, 216

on ferait »m —6, et la formule donnerait

22. Le problème de trouver le nombre des boulets qui composent une pile se réduit à la sommation des

PR 315 termes d’une progression du second ordre. Ces piles ont ordinairement pour bases un triangle équilatéral , un carré, où un rectangle. Si l'on désigne par 7 le nombre des boulets d’uu côté de la base, la somme des boulets des piles triangulaires et quadrangulaires est

donnée par les expressions

Pile triangulaire — (r + Je n +2) Pile quadrangulaire — uen nor + 3)

La somme des boulets des piles rectangulaires est, en désignant par » le nombre des boulets de la longueur de la base, et par » celui des boulets de la largeur de cette base,

Pile rectangulaire =

PROGRESsIONS GÉOMÉTRIQUES. Une progression géométrique est, comme nous l'avons déjà dit, une suite de nombres dont chacun est contenu dans celui qui le précède autant de fois qu’il contient celui qui le suit, ou vice versa. Telles sont les suites

La première est une progression géométrique croissante, et la seconde une progression géométrique decroissante.

gne =.

On nomme rapport de la progression le rapport,

On les désigne l’une et l’autre par le si-

toujours le même, de deux termes qui sesuivent. 1. Soit

une progression géométrique quelconque. Son rapport sera

et elle sera croissante si r est un nombre entier , et decroissante, s'il est une fraction. Ona, par la construction même de cette progres-

sion , la suite d’égalités

A, = Aï r

A3s—=A,r—= Arr

A,= A ShR—= AI TT

A,—= Air—= A,