Proposons-nous de trouver l'expression générale

PR de la somme d'un nombre quelconque de termes d’une progression géométrique.

Une telle progression

se As AS 03 SAUT A EL. Àx

n’est que l'expression abrégée de la suite des rapports égaux

À, : À = A,:A;—A,:A,— A, A, =etc,

Or, dans une suite de rapports égaux, la somme des antécédens est à la somme des conséquens dans ce même rapport commun (voy. Proporrion); on a doncici:

(A,+A,+ etc... Am-;):(A,+A,+ etc....+A ) À À, ;

mais À, A + A; etc... + A; est la somme des termes de la progression moins le dernier A, et A, + A; A,—+etc... + A, est la somme des mêmes termes moins le premier A. Désignant donc cette somme par S , la proportion ci-dessus devient

d’où l’on tire

Pour rendre cette expression indépendante du second terme A,, nous ferons observer que A, — A,r, eten

substituant nous obtiendrons

À, .Amr—A À,

A,(Amr—A;) Asr—A, Ar)

se =

et définitivement (a)

Amr— À À

Donc, pour trouver la somme des termes d’une progression géométrique ,£/ faut multiplier le dernier terme par le rapport, retrancher de ce produit le premier terme et diviser le reste par le rapport diminué d'une unité,

5. Par exemple, pour avoir la somme des dix termes de la progression croissante,

rs0: 4:86: 16: 32: 64: 198: 296": 5ra,

dont le rapport est 2, on fera, dans l'expression (a),

A, =1, Ân = 512, r —2,et ou trouvera:

Si la progression était décroissante, on pourrait con-

sidérer le premier termecomme étant le dernier, et le dernier comme étant le premier : alors la formule ne change pas, car il est évident qu’il faut toujours prendre pour A» le plus grand des extrêmes et pour A, le plus petit. Seulement il devient nécessaire de renverser le rapport, C'est-à-dire de faire . = r, au lieu de F ir:

Ainsi, si l’on demandait la somme des huit termes

on ferait An — : Ai — RE r — 2, et l’on aurait L 1 s — ? 256 1. 255 hear L T6 250

6. L'expression (a) nous donne le moyen de sommer toute série indéfinie dont les termes forment une progression géométrique décroissante. En effet, pour avoir la somme de la série

I pee 5G + 3 + etc... à l'infini,

on remarquera que le dernier terme devant être infini-

ment petit , il suffit de faire A» — st A =g,et

r— 2; en substituant ces valeurs on obtient

7 : A 1 ; en faisant disparaitre æ dui n’a aucune valeur devant