Voy. Dirr
Dans le cas où les termes de la série seraient alternativement positifs etnégatifs , tels que
1 1 us te es + 3 LE + etc... à l'infini,
on pourrait toujours la considérer comme la différence de deux séries géométriques,
G+ g+ ns — — + etc... à l'infini.) ï LI ( if . ». = (G + + + ë + 566 + etc … à l'infini).
Or, la somme de la première est
I 1 1 ? b SE ?, it celle de la seconde 1 l VA -4 = UE ee 4—i 3.”
ainsi, la somme demandée devient
S =Ss sr — ? 1 1 US Se HN 0 7. Si, dans l'expression Se Am — À; .
re—1
on substitue à la place de A» sa valeur Asrm--1, elle deviendra (b),
se à Ci
uS —=
Au moyen de cette dernière on peut trouver la somme d’une progression géométrique dont on connait le premier terme, le rapport et le nombre des termes.
Lorsque la série est décroissante, le rapport est une fraction plus petite que l'unité, et l’ou donne à l’expression (b) la forme (c),
: A(1—rm Sn) Ir “. ; , à Ir ces deux formes sont d’ailleurs identiques, puisque per rx TI"
8. La division de 7°— 1 par r — 1 reproduit les termes dont S exprime la somme, et peut servir au besoin de démonstration à l’expression (b). En effet, ou trouve, en opérant la division,
rm:
— < —2 13 A L 3 2 =. pr 1 + pm + rm etc. 1 +7 +r+r,
d’où
A (rm) ; pepe =A;+A;r+ Ar + Air + etc... + A rai,
9. Proposons-nous de trouver la somme d'un nombre quelconque de termes de la progression géométrique décroissante
d I 1 I 1 I à st zr: — — = — : elc.
3 * 6 ra 24 45 96 qe TI I 1 Le ravpor* étant 4: - = -—- nous ferons À, = - 092 62
PR
-, et substituant dans (c), nous obtiendrons
Pour avoir, par exemple, la somme de 8 termes, nous
ferons m —8, et nous trouverons
s 2 I re 1 — 3)
On voit ici facilement que plus on prend de termes
poire. 2 et plus - diminue, et qu’en faisant » = , la somme 27 1
de la série, continuée à linfini, est rigoureusement
(a) .. Am — AÀ,,rm—i, : Am.r—A (b). . S —= + À (rm— (c). :S- = < là n) É T— 1
renferment la solution de tous les problèmes qu’on peut se proposer sur les progressions géométriques.
On tire de la première : 1
Am À = —— ; rm—i expression qui sert à calculer le premier terme au moyen du dernier, du rapport et du nombre des termes; 2°
expression qui sert à calculer le rapport par le premier terme , le dernier et le nombre des termes. Et, 3°
LogAn—LogA; Logr
expression qui fait connaitre le nombre des termes au moyen des logarithmes du premier terme, du dernier et du rapport.
L'application de ces formules ne présentant aucune difficulté, nous nous contenterons d’en donner un seul exemple.
Insérer entre 2 et 128 cing moyens proportionnels géométriques, ou trouver cinq nombres, u, V, &,ÿ,2, tels que l’on ait (d)
= 2 UMR TES): 2 1a0.
Il est évident que si le rapport de la progression était
connu , on obtiendrait les termes demandés eu multipliant successivement le premier terme 2 par cerapport ; c’est donc ce rapport qu’il s’agit de trouver. Or, nous connaissons ici le premier terme A; — 2, le dernier terme Am — 128 et le nombre des termes »% = 3; ainsi , substituant ces valeurs dans la seconde des trois
expressions précédentes, il viendra
6 6 128 1/6 | Er — —— = 64 = 2.
VE f Nous aurons donc u — 2.2, v — 2.2, x — 0.2}, Y = 2.21, 3 —2.2°, et, par conséquent la progression est 0:4:8:16 : 64 : 128.
La propriété que nous avons démontrée ci-dessus au n° 3, nous offre, pour résoudre le même problème, un moyen que nous devons signaler. D’après cette propriété, la progression (d) fournit la proportion
