NATURE
PROJECTION. (Gcom.) Représentation sur un plan, donné de position, d’une figure située dans l’espace hors de ce plan. C’est la trace déterminée par les intersections des droites que l’on peut mener de tous les points de la figure sur le plan,
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Si toutes les droites, menées des divers points de la
figure sur le plan, sont perpendiculaires à ce plan, la projection est dite orthogonale. Si toutes ces droites concourent au contraire vers un même point, la projection est dite centrale. a b (PI. 55, fig. 1)estla projection orthogonale de la droite AB sur le plan MN, et ce d(PI. 55, fig. 2) est la projection centrale de la droite CD sur le plan MN. Dans ce dernier cas, le point o, où concourent toutes les droites dont les intersections avec le plan MN déterminent cd, se nomme le centre de projection. La théorie des projections est l’objet général de la GÉOMÉTRIE DEscRIPTIVE. (Ÿ’oy. ce mot.) Les projections centrales sont le fondement de la pEr- SPECTIVE. (’oy. ce mot.)
La PROJECTION de la sphère sur un plan est une représentation des différens points de la sphère et des cercles tracés sur sa surface, qui est principalement en usage dans la construction des mappemondes et des cartes géographiques. On la divise ordinairement en projection orthographique et en projection stéréographique. |
La PROJECTION orthographique est celle qui est faite sur un plan qui passe par le centre de la sphère, l'œil, ou le point de concours des droites projectives, étant supposé à une distance infinie sur la droite qui passe par le centre perpendiculairement au plan.
La PROJECTION stéréographique est celle qui est faite sur le plan d’un grand cercle de la sphère, l’œil étant supposé au pôle de ce cercle.
A ces deux espèces de projections on peut ajouter la PROJECTION gnomonique qui est celle où l’on suppose l'œil au centre de la sphère. (Voy. GNomonIQuE.)
Dans la projection orthographique, les droites projectives ne concourant qu’à une distance infinie, sont parallèles entr'elles, et comme le point de concours est sur une perpendiculaire au plan dé projection, toutes ces droites sont aussi perpendiculaires’ à ce plan. Les lois de cette espèce de projection sont donc les mêmes que celle des projections orthogonales (voy. Descrir- TIVE) ; ainsi :
1° Une droite perpendiculaire au plan de projection se projette par un seul point qui est celui où elle coupe ce plan.
2° Une droite oblique au plan de projection se projette par une droite dont les extrémités sout déterminées par les perpendiculaires abaissées des extrémités de cette oblique sur le plan.
3° Si la droite projetée est parallèle au plan de projection , sa projection lui sera égale. Dans tous les autres cas, sa projection sera une droite plus petite qu’elle.
4° Une surface plane perpendiculaire au plan de projection se projette par une simple ligne droite qui est l'intersection commune du plan de cette surface et
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du plan de projection. Par conséquent tout cercle dont le plan est perpendiculaire au plan de projection , et qui a son centre sur ce plan, se projette par son diamètre. Tout arc, d’un tel cercle, dont une des extré mités répondrait perpendiculairement au centre commun de la sphère et du plan de projection, se projette par son sinus. Le complément de cet arc se projette par son sinus verse.
5° Un cercle parallèle au plan de projection se pro jette par un cercle égal, et un cercle oblique à ce plan se projette par une ellipse.
La projection orthographique de la sphère est employée en astronomie pour construire et résoudre les triangles sphériques avec la règle et le compas, lorsqu'on n’a pas besoin d’une extrême précision ; nous en avons donné un exemple au mot AnaremmE. Cagnoli, dans son traité de trigonomeétrie , a consacré un chapitre à ces constructions.
Dans la projection stéréographique , les droites projectives concourant à un point de la surface de lasphire, la projection est centrale ; elle est donc soumise aux lois de la perspective ; ainsi :
1° Tout grand cercle CABD (PI. 55, fig. 3) qui passe par le centre o de l'œil se projette par une droite CD. Cette droite est le diamètre de la sphère, on la nomme ligne des mesures.
2° Tout petit cercle AGBH dont le plan est parallèle au plan de projection se projette par un cercle agbh.
3° Tout petit cercle ABCD ( PI. 55, fig. 4) oblique par rapport au plan de projection se projette encore par un autre cerete abcd.
4° La projection d’un grand cercle oblique ABCD (PI. 55, fig. 5) est un cercle BGFE dont le centre se trouve sur la ligne des mesures. La distance de ce centre au centre de la sphère est égale à la tangeute de langle d’inclinaison du plan du cercle oblique sur le plan de projection.
5° Les diamètres des cercles de projectiou sont égaux à la moitié de la somme des tangentes de la plus grande et de la plus petite distance des cercles projetés au pôle du plan de projection, lorsque les cercles projetés entourent ce pôle; et ils sont égaux à la différence de ces mêmes tangentes lorsqu'ils ne renferment pas ce pôle.
6° Les angles que font sur la surface de la sphère les cercles projetés sont égaux à ceux que font leurs projections respectives sur le plan de projection.
La projection stéréographique sert principalement pour la construction des mappemondes ou cartes qui représentent la surface d’un hémisphère entier du globe terrestre. Telles sont les cartes planches 35 et 36. On prend ordinairement pour plan de projection le plan d’un méridien, et alors les pôles de la terre sont
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deux points du cercle principal de projection, et les divers méridiens sont représentés par des arcs de cercle passant tous par ces pôles. Lorsqu'on prend le plan de l’équateur pour plan de projection, le pôle est au centre du cercle principal de projection qui représente l'équateur terrestre, et les divers méridiens sont représentés par les rayons de ce cercle. On nomme les cartes construites sur ce principe #appemondes polaires. (Foy. STÉRÉOGRAPHIQUE.)
La projection centrale des figures géométriques sur un plan donne naissance à un grand nombre de considérations importantes sur les relations qui existent entre ces figures et leurs représentations projectives. Nos limites ne nous permettent pas d'aborder ce sujet pour lequel on doit consulter le traité des propriétés projectives des figures , de M. Poncelet.
PROPORTION. (4lg.) Égalité de deux rapports.
(Foy. nor. PRÉLIM. 16 et RAPPORT.)
La proportion se nomme arithmétique ou géométrique selon que les rapports qui la composent sont arithmétiques où géométriques.
1. PRoPORTION ARITHMÉTIQUE. Si deux nombres A et B ont la même différence que deux autres nombres Cet D, l'expression de cette relation d'égalité (a)
A—B—C—D que l’on écrivait jadis
A'BECDE,
est une proporlion arithmétique.
Le premier et le dernier terme de la proportion prennent le nom d’extrémes , et le second et le troisième celui de moyens.
En ajoutant aux deux membres de l'égalité (a) la quantité B + D, elle devient (c)
A+D—C+B c’est-à-dire que dans toute proportion arithmétique la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens.
2. Cette propriété fondamentale donne le moyen de calculer un des termes de la proportion à l’aide des trois autres, car de (c) on tire :
