Si l’on a une suite de proportions qui aient un

rapport commun, telles que

A:B::M:N GC: D:::M : N Ba t:eM.,: IN G2:H::M:N etc efc.

ce qui donne

A:B::C:D::E:F::G:H::etc.....::M:N.

la somme de tous les premiers antécédens et la somme de tous les premiers conséquens auront entre elles ce même rapport commun.

En effet de

on tire

à la place du rapport C:D, substituant dans cette dernière proportion le rapport E : F qui luiest égal, elle deviendra

(A+C):(B+D)::E:F et l’on en tirera encore

(ASCHE):(B+D4+F: "EL

substituant dans celle-ci à la place du rapport E:F

on trouvera de même

le rapport égal G : H, (A+HCHELG):B+D+<F+N)::G:H

et ainsi de suite. On a donc en général

(AHCHE + G—etc.) : {B4HD+F+H<+etc.) :: M: N.

14. On donne le nom de PROPORTION HARMONIQUE à celle qui a lieu entre trois nombres, tels que le rapport du premier au troisième est égal au rapport des différences qu’il y a entre le second et les deux autres. Par exemple les trois nombres 2, 3, 6 sont en proportion

harmonique, parce qu’on a 2:6::3—2:6—3,0u2:6::1:3

En général , si les nombres A, B, C donnent la proportion A:C::B—A:C—B

ces nombres sont en proportion harmonique. Le second aombre B prend le nom de moyen harmonique. On obtient sa valeur, lorsque celles des deux autres nombres sont données, en divisant le double produit de ces nombres par leur somme. En effet on tire de la proportion ci-dessus

A (C—B)—C(B— A), où AC— AB — BC— AC ce qui donne