B(A+C)=AC;@B= LE
15. Les anciens se sont beaucoup occupés des propriétés des moyennes proportionnelles, tant arithmétiques que géométriques et harmoniques. Pappus, dans ses collections, en mentionne plusieurs au nombre desquelles se trouve la suivante : si 4, b, € sont trois nombres tels que b soit moyen proportionnel arithmétique ou géométrique ou harmonique entre les deux autres, on aura dans le cas du moyen
arithmétique.... a:a::a—b:b—c géométrique..... a:b::a—b: b—c harmonique. .... a:c:i:a—b:b—c
Cette expression des trois différens moyens proporuonnels à l’aide de la seule proportion géométrique est remarquable par son élégance, On tire aisément de
chacune de ces proportions la valeur du »20yen qu'elle renferme. Ces valeurs sont en effet :
. ne a b
Moyen arithmétique... b — En Moyeu géométrique... b = V/ac . 2ac
Moyen harmonique.... b — :
Poy. les mots HanmoniQue et CONTREHARMONIQUE.
PROPORTIONNEL se dit de ce qui a rapport à une proportion ; ainsi ou dit des parties proportionnelles, des échelles proportionnelles , etc. , etc.
Le problème de trouver géométriquement deux moyennes proportionnelles entre denx ligues données, est célèbre depuis la plus haute antiquité, c’est le même que celui de la duplication du cube (voy. ce mot), comme nous allons le faire voir. Suien! x et y les moyennes proportiounelles demandées eutre un nombre aet son double a, ou soit la propoirtiou continue
a: XL! T'Y: Y:24
D'après les propriétés des progressions géométriques , on a (voy. Proc. GÉOM. n° 3)
d:xi::a:1a d’où
Ainsi a et x étant respectivement les côtés de deux cubes, comme ces solides sont entre eux dans le rapport des troisièmes puissances de leurs côtés (voy. So- LIDEs), le cube dont le côté est x sera le double de celui dont le côté est a. [! ;'agit donc de trouver la valeur de x ou de la premicre des deux moyennes proportionnelles entre a et 24.
La solution géométrique de ce problème ou la construction de la ligne x est impossible sous les conditions exigées par les anciens, c’estéh-dire à l’aide seulement de la règle et du compas, car la valeur de x tirée
3 3 de l'expression précédente est x = Voa = aV2, et
l’on ne saurait construire des quantités irrationnelles du troisième degré sans avoir recours à d’autres courbes que le cercle, dont les intersections avec des lignes droites ne peuveut fournir que la construction de ce qu’on nomme lieux du premier ordre. (Voy. Aprzica- TION, 6.) Après avoir reconnu que la géométrie élémentaire était insuffisante dans ce cas, les mathématiciens grecs s’efforcérent à l’envi de chercher des procédés plus relevés. Plusieurs trouvèrent des courbes très-ingénieuses, telles que la conchoïde et la cissoïde (voy. ces mots) ; d’autres imagiuèrent des instrumens ;
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et Platon, le premier instigateur de tous ces travaux, s’y distingua particulièrement en inventant l’instrument très-simple que nous allons faire connaitre. C’est une équerre GRM (PI. 27, fig. 2) qui porte à l’un de ses bras GR une règle mobile PS disposée de manière à pouvoir glisser le long de ce bras sans cesser de lui être perpendiculaire.
Pour trouver avec cet instrument deux moyennes proportionuelles entre deux lignes quelconques données AB et BC, après avoir mis ces deux lignes à angles droits au point B, on les prolonge indéfiniment vers R et P. Cette préparation étant faite, on place l'angle de l’équerre en un point R, tel que sa branche RM passant par l'extrémité À de la ligne AB, son autre branche RG coupe le prolongement BP en un point P,où la règle mobile PS étant amenée passe par l'extrémité C de la seconde ligne BC, ce que quelques tâtonnemens feront découvrir; dans cette position, les deux lignes BR et BP sont les deux moyennes propor. tiounelles demandées. En effet, le triangle ARP étant rectaugle en R et la droite RB perpendiculaire sur l'hypothénuse PB de ce triangle, on a
