AB : BR :: BR : BP

De même, letriangle RPC est rectangle en P et la droite PB perpendiculaire sur son hypothénuse; on a donc

aussi BR : BP :: BP : BC donc

AB : BR :: BR : BP :: BP : BC

Descartes a laissé bien loin derrière lui tous les ancieos qui se sont occupés de la duylication du cube ; sans parler de l’élégante solution qu’il donne de ce problème dans sa géométrie, nous allons décrire l'instrument qu’il a inventé pour trouver, sans aucun tàtonnement, non seulement deux moyennes proportionnelles, mais encore tel nombre que l’on en veut.

Cet instrument est une espèce de compas composé de deux règles AB et BC mobiles autour d’une charnière B (PL. 27, fig. 3). Sur ces règles sont disposées plusieurs équerres, suivant le nombre des moyennes proportionnelles que l’on cherche: il faut trois équerres pour deux moyennes, quatre pour trois, cinq pour quatre, et ainsi de suite. Chacune de ces équerres touche l’angle de sa voisine, comme on le voit aux points f g, À, mm, 0. Les branches dp, fs, gt, hx, my, ou, etc. , peuvent glisser snr les règles AB et BC; par conséquent les autres branches df, fg, dg, hm, etc., étant forcées de se mouvoir, si l’on arrête la première équerre fdp au point d sur la règle BC, en ouvrant l’angle ou le compas ABC, l’équerre pdf fera glisser sa voisine g/fs sur la règle AB; l’équerre gfs chassée chassera l’é-

PT querre Agt sur la règle BC, et ainsi de suite; de sorte que par le même mouvement toutes ces équerres se poussent et se chassent en même temps, et lorsqu'on ferme entièrement le compas, c’est-à-dire lorsque les deux règles AB et BC se touchent, tous les points 0,m, g, h, f, d, viennent se réunir au point a.

Pour obtenir à l’aide de cet instrument deux moyennes proportionuelles entre les droites données BD et BH , il suffit de transporter la plus petite BD sur la règle BC de B en 4, et la plus grande BH, sur la règle AB de B en À ; ceci fait, on pose l’angle de la première équerre au poiut d'où on la fixe , puis on ouvre le compas jusqu’à ce que la troisième équerre Agt passe par l'extrémité À de la plus grande des deux ligues données ; dans cette position , l'instrument montre les deux lignes B/ , Bg, qui sont les deux moyennes proportionnelles demandées. Il est facile de voir à l'inspection des triangles rectangles formés par les côtés des équerres et ceux du compas qu’on a

Bd : Bf :: Bf : Bg :: Bg : BA.

Si lon demandait trois moyennes proportionnelles aux deux ligoes BD et BM, il faudrait employer quatre équerres ; alors on transporterait la plus petite ligne de B end, et la plus grande de B en "2 ; on fixerait la première équerre en d, et l’on ouvrirait le compas jusqu’à ce que la quatrième équerre passe par l’extrémité "1 de la plus grande Br des deux lignes données. Dans cette position, les trois lignes Bf, Bg, BA, seraient les trois movennes proportionnelles demandées. Il est évident que cet instrument s'étend à tel nombre de moyennes proportionnelles que l’on voudra.

PROPOSITION. C’est, en mathématiques, une vérité avancée et qui doit être démontrée, ou wne opération proposée et qui doit être exécutée. Dans le premier cas, la proposition prend le nom de théorème, dans le second celui de problème.

PROSTAPHERÉSE. (45£.) C’est la même chose que

l'équation du centre.

PTOLÉMÉE (Czaune, Kaævdies Nrexigeaios), L'antiquité, frappée de l’ensemble majestueux du système complet d'astronomie que présente l’almageste, et oubliant le génie et les travaux d'Hipparque, proclama l’auteur de ce livre célèbre le plus grand astronome qui eût jamais existé, et lui décerna souvent dans son admiration le titre de divin. Durant de longs siècles, cette opinion fut respectée comme une vérité historique incontestable, et la science demeura renfermée dans l'almageste. Sans doute Ptolémée a été loué avec trop d'exagération , sans doute ses travaux ont été acceptés loug-temps avec trop de confiance comme le dernier et

PE 383 le plus sublime effort de l'esprit humain dans la science astronomique ; mais les progrès étonnans qui ont détruit ses principales hypothèses ne sauraient entièrement le dépouiller de sa gloire, et 1e système astronomique auquel son nom est attaché n’en demeure pas moins l’œuvre la plus ingénieuse et la plus admirable qu’on puisse considérer en dehors de la vérité. La critique historique a également objecté avec raison que ce système n’était point la pensée unique et spontanée de Ptolémée , mais au contraire le résultat des travaux et des recherches de toute l’antiquité ; on ne peut cependant dénier à ce grand homme l'honneur de quelques découvertes importantes que nous allons signaler, et d’ailleurs il aurait toujours rendu à la science un éminent service , et son mérite serait encore incomparable quand il n'aurait fait que coordonner les travaux des astronomes qui l’avaient devancé, en en formant un grand tableau systématique qui a servi de base à la science durant quatorze siècles! Ptolémée doit donc apparaître dans l’histoire de la science comme un de ces beaux et rares génies dont les errcurs mêmes ne peuvent atténuer l'éclat,

On a cru long-temps que Ptolémée était né à Péluse; d’après le témoignage de quelques anciens écrivains, on s’accorde aujourd'hui à penser, sans cependant l'affirmer, qu’il était né à Ptolémaide, en Égypte, et qu’il vécut dans le milieu du second siècle de notre ère. Mais outre qu’il reste encore quelques incertitudes sur le lieu véritable de sa naissance, il est impossible d’en déterminer l’époque précise, non plus que celle de sa mort. Ce n’est pas une des singularités les moins frappantes de l'histoire, que l'absence complète de tous les renseignemens biographiques sur un homme dont la célébrité a été si grande. Aussi ses travaux nous occuperont-ils plus que les événemens de sa vie; mais nous croyons devoir surtout nous attacher à donner une idée précise de son système du monde, el nous suivrons l'exposition claire et remarquable qui en a été faite par le savant Laplace.

Une des découvertes les plus importantes de Ptolémée est celle de l’évection de la lune. Avant Hipparque, on n’avait considéré les mouvemens de cet astre que relativement aux éclipses, dans lesquelles il suffisait d’avoir égard à son équation du centre, surtout en supposant avec cet astronome l'équation du centre du soleil plus grande que la véritable, ce qui remplaçait en partie l’équation annuelle de la lune. Il paraît qu'Hipparque avait reconnu que cela ne représentait plus le mouvement de la lune dans ses quadratures, et que les observations offraient à cet égard de grandes anomalies. Ptolémée suivit avec soin ces anomalies, il en détermina la loi, et ilen fixa la valeur avec beaucoup de précision, Pour les représenter, il fit mouvoir

la lune sur un épicvcle porté par un excentrique dont le centre tournait autour de la terre, en sens contraire du mouvement de lépicycle.

Ce fat dans l'antiquité une opinion générale, que le mouvement uniforme et circulaire, comme le plus parfait, devait être celui des astres. Cette erreur s’est maintenue jusqu’à Keppler qu’elle arrêta pendant long-temps dans ses recherches. Ptolémée ladopta: et plaçant la terre au centre des mouvemens célestes, il essaya de représenter leurs inégalités dans cette hypothèse. Que l’on imagine en mouvement ; sur une première circonférence dont la terre occupe le centre, celui d’une circonférence sur laquelle se meut le centre d’une troisième circonférence , et ainsi de suite jusqu'a la dernière que l’astre décrit uniformément. Si le rayon d’une de ces circonférences surpasse la somme des autres rayons, le mouvement apparent de l’astre autour de la terre sera composé d’un moyen mouvement uniforme et de plusieurs inégalités dépendantes des rapports qu'out entre eux les rayons des diverses circonférences et les mouvemens de leurs centres et de l’astre. On peut donc, en les multipliant et en déterminant convenablement ces quantités, représenter toutes les inégalités de ce mouvement apparent. Telle est la manière la plus générale d'envisager l'hypothèse des épicycles et des excentriques, Car un excentrique peut être considéré comme un cercle dont le centre se meut autour de la terre avec une vitesse plus ou moins grande, et qui devient nulle s’il est immobile. Les géomètres avant Ptolémée s'étaient occupés des apparences du mouvement des planètes dans cette hypothèse, et l’on voit dans l'aimageste que le grand géomètre Apollonius avait déjà résolu le problème de leurs stations et de leurs rétrogradations. Ptolémée supposa le soleil, la lune et les planètes en mouvement autour de la terre dans cet ordre de distance : la Lune, Mercure ,Vérus, le Soleil, Mars, Jupiter et Saturne. Chacune des planètes supérieures au soleil était mue sur un épicycle dovt le centre décrivait autour de la terre un excentrique dans un temps égal à celui de la révolution de la planète. La période du mouvement de l’astre sur l'épicycle était celle d’une révolution solaire, et il se trouvait toujours en opposition au soleil lorsqu'il atteignait le point de l'épicycle le plus près de la terre. Rien ne déterminait dans ce système Ja graudeur absolue des cercles et des épicycles; Ptolémée n'avait eu le soin que de connaitre le rapport du rayon de chaque épicycle à celui du cercle décrit par son centre. Il faisait mouvoir pareille: ment chaque planète inférieure sur un épicycle dont le centre décrivait un excentrique autour de laterre ; mais le mouvement de ce point était égal au mouvement s0laire, et la planète parcourait son épicycle pendant un temps qui , dans l'astronomie moderne, est celui de sa

PT

révolution autour du soleil; la planète était toujours en conjonction avec lui, lorsqu'elle parvenait au point le plus bas de son épicycle. Rien ne déterminait encore ici la grandeur absolue des cercles et des épicycles; les astronomes antérieurs à Ptolémée étaient partagés sur les rangs de Mercure et de Vénus dans le système planétaire. Les plus anciens dont il suivit l'opinion les imettaient au-dessous du soleil ; les autres plaçaieut les astres au-dessus ; enfin quelques Égyptiens les faisaient mouvoir autour du soleil.

Telles sont les hypothèses auxquelles on a donné le nom de système de Ptolémée. H n’est pas de notre sujet d’entrer ici dans la discussion dont elles ont été l'objet tant de fois, ni de démontrer combien il eût été facile en apportant quelques modifications à cesystème, telles, par exemple , que l'hypothèse des Égyptiens, d'en reconnaitre les erreurs et de se rapprocher davantage du véritable système du monde. Les successeurs de Ptolémée se coutentèrent de rectifier par de nouvelles observations les élémens déterminés par cet illustre astronome sans rien changer à ses hypothèses. L’almageste contenait en outre la description de tous les instrumens nécessaires à l'observation des astres : cet ouvrage , qui renfermait ainsi l’histoire de la science, et la science de ces temps tout entière, est le mouvement scientifique et littéraire le plus précieux que l'antiquité nous ait légué.

Ptolémée coufirma le mouvement des équinoxes découvert par Hipparque , et outre l’almageste il a écrit d'autres ouvrages qui ne nous sont pas tous parvenus. Il a rendu de grands services à la géographie en rassemblant toutes les détermiuations de longitude et de latitude des lieux connus , et en jetant les fondemens de la méthode des projections pour la construction des cartes géographiques. Il a fait un traité d'optique dans lequel il expose avec étendue le phénomène des réfractions astronomiques. On lui attribue encore la compositiou de divers ouvrages sur la musique, la chronologie, la gnomonique et la mécanique. En considérant la nature et l’étendue des travaux de Ptolémée, il est impossible de ne pas lui assigner un rang distingué dans l'histoire de la science, et de s'étonner de l’enthousiasme dont sa personne et ses écrits ont été si longtemps l’objet. Nous l'avons dit en commençant, on ne sait rien de positif sur la vie de Ptolémée; il résulte seulement d’un écrit philosophique qui lui est attribué, et qui a été traduit et publié par Boulliau (Traité du jugement et de l'empire de l'ame, Paris, 1660) que ce grand homme demeura quarante ans dans les Pières ou ailes du temple de Canope , et qu'il y grava sur des co- Jonnes les résultats de tous ses travaux avec cette inscription : Au dieu sauveur, Claude Ptolémce consacre ses élémens et ses hypothèses mathématiques, Les

PU ouvrages de Ptolémée ont été traduits dans toutes les langues et réimprimés souvent. Nous citerons ici les éditions les plus estimées des principaux d’entre eux, à part le plus considérable de tous, auquel nous avons consacré un article spécial. (Foy. ÉCOLE D'ALEXANDRIE et AzmaGEsTE.) Î. Ptolemæt opera omnia, præter geographiam latine versd. Bäle, 1541, in-folio. L'omission exprimée dans le üitre n’est pas la seule qu’on remarque dans cette collection, où nese trouve ni le Planisphère ni l’Analemme. U. Ptolemcæus de annalernmate, cum Frederict commandini commentario. Rome, 156», in-4, 20. 1552, in-4. I. Prolemæus planispherium , sphera atque astrorum cælestium ratio, natura et motus. Bäle-Venise, 1536-1558. IV. Piolemaæt de hypothesibus planetarum ; procli sphæra. Londres, 1620, in-4. V. Piolemcæi liber de apparentiis inerrantium. Paris, 1630, in-folio. VI. Gcographia. Amsterdam, 1618, in-folio , avec les cartes de Mercator. Lyon,

PUISSANCE. (4/g.

(Foy. ELÉVATION AUX puiss.)

PUISSANCE. (Méc.) Force capable de soutenir ou de vaincre un effort. Les mots force et puissance ont à peu près la même acception en mécanique, seulement le mot force désigne plus généralement toute cause de mouvement, tandis que le mot puissance désigue une force appliquée à une machine. Les puissances sont ordinairement des hommes, des chevaux, des poids, etc.

Une puissance, comme toute force en général , se mesure par son effet ou par la quantité de mouvement qu’elle produit. (Foy. l'once, Mouvemenr et Macuixe.)

On donnait jadis le nom de PuissaNCES MÉCANIQUES aux six machines simples , le levier, le plan incliné, la poulie, le coin, la vis etle treuil. Cette dénomination inexacte n’est plus employée dans les ouvrages mo-

dernes.

PURBACH (ou plutôt PEURBACII Gronezs), le maitre et l'ami du célèbre Jean-Muller { Regiomontanus) et l’un des restaurateurs des sciences mathématiques au quinzième siècle, naquit en Allemagne, dans un village dont il prit le nom, en 1423. Il fat le disciple de Jean de Gmunden qui ensciguait l’astronomie dans l’université de Vienne; mais le disciple a fait oublier le maître. Le jeune Purbach puisa néanmoins dans ses leçons le goût qu'il eut toujours pour cette branche de la science. Après un voyage en Europe, entrepris dans le but de profiter des connaissances de ceux qui cultivaient l'astronomie, Purbach revint à Vienne, où il succéda à son maître. Sa renommée était dès-lors assez grande pour qu'il fût sollicité d'occuper les chaires de Bologne et de Padoue; mais les bienfaits de l’em-