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Soit, par exemple, lasuite des nombres triangulaires,
156,6, 10, 195 21, 98, 36, Et,
en formant les sommes successives de 1,2, 3,4, ete. termes, on a la suite
de nombres pyramidaux.
On nomme en particulier #riangulaires pyramidaux, carrés pyramidaux, pentagones pyramidaux , etc., les nombres engendrés par les nombres tiangulaires, carrés, pentagones, etc. Mais généralement 6n appelle du nom simple de pyramidaux les nombres ci-dessus 1, 4,10, etc., formés par l'addition des nombres triangulaires, 1, 3,6 , etc. Le terme général de cette suite est
(Foy. Ficuré ,'Pozvcoxe et Procression.)
PYRAMIDE. (Gcom.) Solide, ayant pour base un polygone quelconque, et dont toutes les autres faces sont des triangles qui concourent dans un seul point nommé le sommet de la pyramide.
Telle est (PI. 54, fig. 6) la pyramide SABCDE, ayant pour base le pentagone ABCDE, et pour sommet le point S.
La perpendiculaire SF abaissée du sommet sur le plan de la base est la hauteur de la pyramide.
Une pyramide est dite triangulaire (PI, 54, Ag. 7), quadrangulaire (Fig. 11), pentagonale (Fig. 6, 8 et 9), hexagonale, etc., etc. , selon le nombre des côtés de sa base. Elle est régulière, lorsqu’ayant pour base un polygone régulier, sa hauteur, ou la perpendiculaire abaissée de son sommet , tombe sur le centre de ce polygone.
Les principales propriétés des pyramides sont :
1. Une pyramide quelconque est le tiers d’un prisme de même base et de même hauteur.
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1. Deux pyramides de même base et de même hauteur sont équivalentes.
3. La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone semblable à cette base. Les aires de la base et de la section sont entre elles comme les carrés de leurs distances au sommet.
4. Les pyramides qui ont des bases équivalentes sont entre elles comme leurs hauteurs.
5. Les pyramides de même hauteur sont entre elles comine leurs bases.
6. Deux pyramides quelconques sont entre elles comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs.
7. Le volume d'une pyramide est équivalent au produit de l’aire de sa base par le tiers de sa hauteur.
9. La surface d'une pyramide régulière, sans y comprendre la base, est équivalente à la moitié du produit du périmètre de sa base par son apothème.
On nomme apothème d'une pyramide régulière la droite menée perpendiculairement du sommet commun à la base dans une face triangulaire.
9. Toute pyramidetriangulaire peut être inscrite dans une sphère.
10. On nomme pyramide tronquée la portion d'une pyramide comprise entre sa base et un plan qui la coupe parallèlement à cette base.
Si l’on désigne par A l'aire de la base, par & l'aire de la section, et par 2 la hauteur de la section au-dessus de la base, le volume de la pyramide tronquée est représenté par la formule
LE + Via + a h.
(Foy. Sozine.)
PYRAMIDOIÏDE,. (Géom.) Solide ressemblant à une
pyramide.
PYTHAGORE. Les travaux de cet illustre philosophe signalent une époque remarquable dans l’histoire de l'esprit humain, Néanmoins aucun de ses ouvrages, si toutefois il en a jamais écrit, n’est venu jusqu’à nous; sa biographie méme a été le sujet des disseutimens les plus vifs parmi les écrivains de l'antiquité, soit qu'ils appartinssent à des écoles rivales, soit qu'ils fussent attachés à ses doctrines, déja cependant modifiées ou perverties par l'esprit de secte. La mémoire des nations, la tradition plus fidèle à ce beau génie, nous a heureusement transmis avec le souvenir des actes principaux de sa vie, celui des découvertes scientifiques qui lui sont communément attribuées et qui certainement prirent naissance au sein de l'illustre école d'Italie, dont il fut le fondateur. D'ailleurs les anciens histo-
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riens m’étaient peut-être pas à même de comprendre la mission de Pythagore, car tel est le nom qu'il convient de donner au passage sur la terre de ces hommes privilégiés qui paraissent n'être venus que pour indiquer au monde des voies nouvelles, en donnant une forme rationnelle aux vagues pressentimens de l'avenir qui doivent agiter les sociétés dans l’enfance. Il est remarquable que dans l’âge historique de la fatalité (roy. V'Ix- TRODUCTION ) toutes les tentatives qui ont pour objet la vérité ont un caractère d’individualité qui en atténue la puissance ; et ce n’est que lentement que les préjugés se retirent dévant elles, et que le germe de progrès qu’elles contenaient se developpe dans l'humanité. En laissant de côté la prétendue civilisation de l'Égypte et de l'Inde, dont l'histoire est mêlée à tant de fables, Pythagore doit être considéré comme le premier sage de l’ancien monde qui ait apporté, dans la morale comme dans la science, un principe supérieur, qui dans l’une a été confirmé par le christianisme, dans l’autre par d’étonnautes découvertes. En effet, la plus simple expression de ses doctrines est la philosophie, le spiritualisme et l'abstraction ou l'infini dans la science des nombres et celle de l'étendue. Pourquoi ces sublimes doctrines ne sont elles pas devenues, comme la législation de Moïse, la base absolue de la croyance et du savoir, chez les nations déjà éclairées où elles furent produites? La solution de cette question, comme les considérations qui nous ont amenés à la poser, appartiennent à la philosophie de l'histoire; nous ne pouvons que les énoncer ici. ( Joy. Géomérrie et Puicosopnte DES MATHÉMATIQUES. )
On ignore l’époque précise de la naissance de Pythagore, mais il résulte de toutes les controverses auxquelles cette question historique a donné lieu que ce grand homme vivait vers la fin du sixième siècle avant J.-C. Les témoignages de l'antiquité diffèrent également sur le lieu où il naquit, mais la plus commune opinion est qu’il reçut le jour à Samos. Cette île était alors dans un état florissant; elle étendait au loin ses relations commerciales, et il est permis de croire que ce fut d’abord en accompagnant Mnésarque , son père, qui exerçait le négoce, que Pythagore contracta le goût des voyages qu’il entreprit depuis dans un but plus élevé. Sans doute, doué comme il l'était d’un espritélevé, d’un amour ardent pour la vérité, possédant toute l'instruction qu'il était alors permis d'acquérir, Pythagore dut profiter, dans ses longs et nombreux pélerinages, d’une foule de connaissances qu’il trouva chez des peuples plus anciens en civilisation que ses compatriotes, Mais il serait absurde d'attribuer à cette
source les idées philosophiques et les découvertes dans
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l'arithmétique, la géométrie et l'astronomie qui n’ap-
partiennent qu'à son génie. La science ne se perd pas;
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ce produit de la raison humaine survit aux civilisations
mêmes qui le virent se constituer sous sa forme systématique. Ce qui nous est resté de la science des Chaldéens, des Égyptiens et des anciens Indiens, ne permet pas de penser que Pythagore y ait puisé les connaissances auxquelles il doit son immortalité. (Voy. ASTRONOMIE 1. 2.) Quoi qu’il en soit, de retour dans sa patrie, Pythagore euseigua quelque temps à Samos la géométrie et l’arithmétique, et il passa ensuite dans la grande Grèce où il établit cette école à jamais célèbre, dont l’organisation a plus d’un rapport avec les monastères des premiers siècles du christianisme. Sa réputation de sagesse et de savoir, lui attira une foule de disciples qui devinrent les législateurs et les chefs des états florissans de cette partie de l'Europe. Les vérités mathématiques formaient la branche la plus essentielle de l’enseignement de Pythagore. À part la découverte de la propriété du triangle rectangle, c’est-à dire la démonstration du carré de l’hvpothénuse, on attribue avec raison à ce philosophe une foule de théories alors nouvelles, en géométrie, dont la vulgarisation a singulièrement contribué aux progrès de la science. Il résulte des différens rapports des écrivains de l'antiquité qui nous ont transmis ses opinions , qu'il avait les idées les plus justes sur les points fondamentaux de l'astronomie : ainsi il enseignait à ses disciples la distribution de la sphère céleste, l'obliquité de l’écliptique, la sphéricité de la terre et celle du soleil, la cause de la lumière de la lune, celle des éclipses de ces deux astres, et enfin le mouvement de la terre. Pythagore apprit encore à ses disciples à regarder comme des astres aussi anciens que l'univers, qui font leur révolution autour du soleil, les comètes, objet de terreur pour le vulgaire. Il faut recounoitre que quelques unes de ces idées, déjà avancées par Thalès, ne peuvent être considérées comme des découvertes de Pythagore, mais acceptées par lui et faisant partie d’un système complet : elles déposent du moins de la perspicacité de ce grand homme et de son amour pour la vérité, Pythagore et l’école qu’il a fondée attachèrent sans doute une importance presque puérile à l'influence des nombres, mais les découvertes importantes et réelles qui leur sont dues doivent faire oublier ces doctrines mystiques qu’on leur reproche et dont d’ailleurs nous ne pouvons aujourd'hui bien apprécier la véritable portée ; aussiles meilleurs esprits n°y ont-ils vu que desemblèmes dont nous avons perdu l’explication. Pythagore détermina les rapports mathémati-. ques des intervalles musicaux , et donna ainsi naissance, dit Montucla, à une quatrième branche des mathématiques, c'est-à-dire, à la musique. On sait qu'il exista dès-lors deux sectes de musiciens dont l’une, qui reconnaissait Pythagore pour chef, se distinguait par cette détermination calculée de l'harmonie des sons de l’au-
